幾何概型的經(jīng)典題型及答案(完整版)
【正文】 的點(diǎn)到的距離大于1的概率為. 故選B.例 如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)．從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm, m外射箭．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？思路點(diǎn)撥 此為幾何概型，只與面積有關(guān)．解 記“射中黃心”為事件B,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為.即：“射中黃心”.方法技巧 事件的發(fā)生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環(huán)的圓面積．例在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為 。[解法1].設(shè)EF與E1F1是長(zhǎng)度等于R的兩條弦，直徑MN垂直于EF和E1F1，與他們分別相交于K和K1(圖12)。依題設(shè)條件，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是直徑MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的長(zhǎng)度與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場(chǎng)合所對(duì)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是KK1，有以幾何概率公式得。解析：如圖：區(qū)域D表示邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），而區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。f(1)0成立，即(－－a－b)(＋a－b)0，則(＋a＋b)(＋a－b)0，可化為或由線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系aOb中畫(huà)出這兩個(gè)不等式組所表示的可行域，再由幾何概型可以知道，函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為可行域的面積除以直線(xiàn)a＝0，a＝1，b＝0，b＝1圍成的正方形的面積，計(jì)算可得面積之比為。例在等腰Rt△ABC中，C=900，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求的概率（答案：）（四）、與體積有關(guān)的幾何概型例在5升水中有一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1升水，含有病毒的概率是多大？分析：病毒在這5升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的1升水可以看作構(gòu)成事件的區(qū)域，5升水可以看作是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此可以用體積比公式計(jì)算其概率.解：“取出1升水，其中含有病毒”這一事件記作事件A，則.例任取三條不大于a的線(xiàn)段，求這三條線(xiàn)段能夠成一個(gè)三角形的概率。例兩人約定在20：00到21：00之間相見(jiàn)，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率．思路點(diǎn)撥 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40分鐘，即小時(shí)．設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)≤xy≤，因此轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題，利用幾何概型求解．解 設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)≤xy≤.兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來(lái)表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來(lái)表示．因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為.方法技巧 會(huì)面的問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題的幾何概型．難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y),從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問(wèn)題．（六）、與線(xiàn)性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型例小明家的晚報(bào)在下午5：30～6：30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家在下午6：00～7：？分析：該題題意明確，設(shè)晚報(bào)送到和晚飯開(kāi)始的時(shí)間分別為，然后把這兩個(gè)變量所滿(mǎn)足的條件寫(xiě)成集合的形式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解. 解：，則所有可能結(jié)果為：，即為圖3中正方形的面積；記晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到為事件，則事件的結(jié)果為：，即為圖2中陰影部分區(qū)域. ，.所以所求概率為：.故晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率是.反思：此類(lèi)問(wèn)題常會(huì)涉及兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，其求解的步驟為：（1），設(shè)為；（2），兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集.（3），并求出集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積.（4）.（七）、與定積分有關(guān)的幾何概型例在區(qū)間上任取兩數(shù)，求二次方程的兩根都是實(shí)根的概率.分析：，再利用幾何概型來(lái)解答.解：用表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：，即為圖3中正方形的面積；由方程有實(shí)根得：，則方程有實(shí)根的可能結(jié)果為，所以所求概率為：.（八）、與隨機(jī)模擬有關(guān)的幾何概型例如圖5，面積為的正方形中有一個(gè)不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計(jì)的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，若個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)落入中，則的面積的估計(jì)值為，假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，以表示落入中的點(diǎn)的數(shù)目．（I）求的均值；（II）求用以上方法估計(jì)的面積時(shí)，的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率．附表：分析：本題從表面來(lái)看似乎與幾何概型無(wú)關(guān)，其實(shí)它是一個(gè)幾何概型的逆向問(wèn)題與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的綜合題，而且本題有別于常規(guī)的面積型概率計(jì)算，設(shè)計(jì)新穎，通過(guò)隨機(jī)模擬來(lái)求不規(guī)則圖形的面積。[思考方法] 本題的難處，在于題中沒(méi)有直接指明等可能值參數(shù)，為此，需發(fā)掘“任意的往平面上投一直徑為2cm的圓”之真實(shí)含義，找出具有某種等可能的隨機(jī)點(diǎn)。解：設(shè)為張三、李四與基地的距離，表示區(qū)域總面積為1200，可以交談即故例某勘探隊(duì)勘測(cè)到，在1萬(wàn)平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的
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