【正文】 F. 設(shè)點 D 的坐標(biāo)為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3), 則點 F 的坐標(biāo)為 ( m 1 , 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) . ∴ DF= ??12+ 2 m 1 + 3 ( 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) = ??12+ (2 c+ 4) m 1 ( c2+ 4 c ) = [ m 1 ( c+ 2)]2+ 4, 當(dāng) m 1 = c+ 2 時 , DF 最大 , 則 △ DPQ 的面積最大 . 此時 , △ DPQ 的面積 =12 4 D F=12 4 4 = 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 【分層分析】 (1) 用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式 . (2) ① 根據(jù)題意 , 先求得 P , Q 兩點的坐標(biāo) , 再用待定系數(shù)法求直線 PQ 的表達(dá)式 . 過點 D 作 DF ⊥ x 軸于 G ,交 PQ 于 F. 直尺的 寬度一定 , 當(dāng) DF 最長時 , △ DPQ 的面積最大 . 設(shè)點 D 的坐標(biāo)為 ( m , m2+ 2 m+ 3), 則點 F的坐標(biāo)為 m , m+54, 求得 DF 的最大值 , 然后根據(jù)三角形的面積公式 , 求得 △ DPQ 面積的最大值 . ② 同理 , 設(shè) P ( c , c2+ 2 c+ 3), Q ( c+ 4, c2 6 c 5), 則直線 PQ 的表達(dá)式可求 。東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1) (3) 若 C 為線段 AB 上的一個動點 , 當(dāng)點 A , 點 B 到直線 OC 的距離之 和最大時 , 求 ∠ BOC 的大小及點 C 的坐標(biāo) . 圖 Z8 3 解 :(1 ) 因為點 A (1, 3 ), B (3, 3 ) 在拋物線 y=a x2 +bx 上 , 所以 ?? + ?? = 3 ,9 ?? + 3 ?? = 3 . 解 得 ?? = 23 3 ,?? =53 3 . 所以拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y= 23 3 x 2 +53 3 x. 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 ?? ???? ??= 3 .∵ cos ∠ BOC =?? ???? ??=12,∴∠ BOC = 60176。龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (1)當(dāng)頂點坐標(biāo)為 (1,0)時 ,求拋物線的表達(dá)式 。 深圳 ] 已知頂點為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點 B 32,2 , 點 C52,2 . (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點 M , 不 y 軸相交于點 E , 拋物線不 y 軸相交于點 F , 在直線 AB 上有一點 P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 2 m 4 ?? 1 =m2 1 . 化簡 ,得 4 ?? 1 = 2 戒 4 ?? 1 = 2( 丌可能 , 故舍去 ), ∴ 4 m 1 = 22= 4, 解得 m= 54. ∴ Q 點的坐標(biāo)為 54,32. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 當(dāng)點 Q 在線段 BC 上時 , 如圖 , 可設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為 ( n ,2), 則 N 的坐標(biāo)為 ( n , 1), 則 Q N= 2 ( 1) = 3, EN=| n|. 由將△ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 =QN= 3, EN 1 =EN =| n|. 設(shè)點 N 1 的坐標(biāo)為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x n )2+ 22, E ??12=x2+ 12. ∴ ( x n )2+ 22= 32① , x2+ 12=n2② . 由 ① 得 ( x n )2= 5, 解得 x=n 177。麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點 E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點 A在點 B的左邊 ),點 C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時 ,AD=4. (3)保持 t=2時的矩形 ABCD丌動 ,向右平秱拋物線 . 當(dāng)平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個交點 G,H,且直線 GH平分矩形的面積時 ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 (3) 連接 DB , 取 DB 的中點 , 記為 P , 則點 P 為矩形 ABCD 的中心 . 由矩形的對稱性知 , 平分矩形 ABC D 面積的直線必過點 P. 連接 OD , 取 OD 的中點 Q , 連接 PQ. 當(dāng)t= 2 時 , 點 A , B , C , D 的坐標(biāo)分別為 (2 ,0),( 8,0 ),(8 ,4 ),(2 ,4) . 結(jié)合圖象知 , 當(dāng)點 G , H 分別落在線段 AB , DC 上且直線 GH 過點 P 時 , 直線 GH平分矩形 ABC D 的面積 . ∵ AB ∥ CD ,∴ 線段 OD 平秱后得到線段 GH , 線段 OD 的中點 Q 平秱后的對應(yīng)點是 P. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) ∴ 拋物線的平秱距離 =OG= DH=QP. 在 △ OBD 中 , PQ 是中位線 ,∴ PQ=12OB= 4 . ∴ 拋物線向右平秱的距離是 4 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 x 90176。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點 ,點 B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點 C(0,3). (2)如圖② ,點 P在 x軸下方的拋物線上 ,過點 P的直線 y=x+m不直線 BC交于點 E,不 y軸交于點 F,求證 :△CFE是等腰直角三角形 . 【分層分析】 求出 ∠ OCB和 ∠ CFE的度數(shù) ,即可證明 △CFE是等腰直角三角形 . 圖 Z8 7② (2) 證明 : 由題意 , 得 O B=O C. ∴ ∠ O CB= 45176。=PH=(yCyP)=(3yP),當(dāng) yP最小時 ,PE+EF取最大值 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3 ) 方法 1( 代數(shù)法 ): 如圖 ① , 過 P 作 PG ∥ CF , 交 CB 于點 G. ∵ △ CF E 為等腰直角三角形 ,∴ △ GPE 為等腰直角三角形 . 由題意易得 F ( 0 , m ), ∴ EF= 22CF = 22(3 m ), PE= 22PG. 由 B (3 ,0), C ( 0 ,3 ) 得直線 BC 的解析式為 y= x+ 3 . 設(shè)點 P 的橫坐標(biāo)為 t (1 t 3 ), 則 PE= 22PG= 22( t+ 3 t m ) = 22( m 2 t+ 3) .∵ t2 4 t+ 3 = t +m ,∴ m =t2 5 t+ 3 . ∴ P E +E F = 22( m 2 t+ 3) + 22(3 m ) = 22( 2 t 2 m+ 6) = 2 ( t +m 3) = 2 ( t2 4 t ) = 2 ( t 2)2+ 4 2 . ∴ 當(dāng) t= 2 時 , P E +E F 取得最大值 4 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 方法 2( 幾何法 ): ∵ △ CEF 為等腰直角三角形 , 以 BC 為對稱軸將 △ FCE 對稱得到 △ F39。 . 設(shè) D (2, m ), 由 DT=12BC=3 22, 得 32 2 2+ 32 m 2= 3 22 2. 解得 m=3 177。 . ∵ 頂點 M ??2 ??,4 ?? ?? ??24 ??,∴??2 4 ?? ??4 ??= 3212 ?? 2 c .∴ b2+ 2 b+ 1 = 3 2 ?? + 2 .∴ b= 1( b= 2 3 1 舍去 ) . 當(dāng) b= 1 時 , b2 4 ac= 0, 點 A , B 重合 , 故丌能組成等邊三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 圖 Z8 10 (2) 設(shè)直線 AE 的解析式為 y=kx+b , 則 12 ?? + ?? = 0 ,?? = 48 ?? . 解得 ?? = 4 ?? ,?? = 48 ?? . 所以直線 AE 的解析式為 y= 4 mx 48 m. 由 ?? = 4 ?? ?? 48 ?? ,?? = ?? ?? 2 16 ?? ?? + 48 ?? , 解得 ?? = 8 ,?? = 16 ?? 戒 ?? = 12 ,?? = 0 . 所以 D (8, 16 m ) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點 ,不 y軸交于點 C,點 P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點 ,且點 P的橫坐標(biāo)為 t. (3)如圖② ,連接 BC,PB,PC,設(shè) △PBC的面積為 S. ①求 S關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。 ( t t2+ 2 t+ 3 3) =32( t2+ 3 t ) = 32t2+92t. ∴ S 關(guān)于 t 的函數(shù)表達(dá)式為 S= 32t2+92t. ② ∵ B (3 ,0 ), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 .∴ BC= 3 2 . 設(shè)點 P 到直線 BC 的距離為 h , 則 △ PBC 的面積S=12 3 2 h=3 22h. ∵ S= 32t2+92t ,∴3 22h= 32t2+92t , h= 22( t2 3 t ) = 22t2 3 t+9494= 22t 322+9 28. ∴ 當(dāng) t=32時 , h 有最大值為9 28, 此時點 P 的坐標(biāo)為32,154. 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 【分層分析】 ( 1 ) 由點 A , B 的坐標(biāo) , 利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式 . ( 2 ) 本題由點 A , B 的坐標(biāo)可得出對稱軸 l 為直線 x= 1 , 分 t= 2 和 t ≠ 2 兩種情況考慮 : 當(dāng) t= 2 時 , 由拋物線的對稱性可得出此時存在點 M , 使得四邊形 CD P M 是平行四邊形 , 再根據(jù)點 C 的坐標(biāo) , 利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點 P , M 的坐標(biāo) 。 OB , 即 62+ ( 12 m )2= 4 12 . 解得m= 36( 負(fù)值舍去 ) . 所以拋物線的解析式為 y= 36x28 33x + 8 3 , 即 y= 36( x 8)28 33, 故點 P 的縱坐標(biāo) y 0 ≥ 8 33.又 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 = 2 ??02 12 3 y 0 50 = 2( y 0 + 3 3 )2+ 4, 對稱軸為直線 y 0 = 3 3 , 而 y 0 ≥ 8 33, 要使 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 對任意點 P 總成立 , 則 n+16≥ 2 8 33+ 3 32+ 4, 即 n+16≥103, 即 n ≥196. 故所求實數(shù) n的最小值為196. 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022 2 c= 8 ac= 8 . ∴ b= 2 2 ( b= 2 2 舍去 ) .∴ 方程可化為1??x 2 2 2 x+c= 0 .∴ x 1 =2 2 42 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直 角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=a x2+ bx 2 不 x 軸交于點