【正文】 對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng) ,直觀判斷可觀測(cè)性是困難的。 ? 因此 ,由觀測(cè)到的恒為零的輸出變量 y(t)不能確定狀態(tài)變量 x1(t)和 x2(t)的值 ,即由輸出 i3(t)不能確定通過(guò)兩個(gè)電感的電流值 i1(t)和 i2(t)。 ? 下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明可觀測(cè)性的意義。 ? 例題： 試判斷如下系統(tǒng)的輸出可控性 uxyux]0[]11[110000????????????????x?? 解 由輸出可控性的代數(shù)判據(jù)有 rank[CB CAB D]=rank[2 0 0]=1=m 故系統(tǒng)輸出完全可控。 2. 缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值 二、 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性 ? 在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中 ,系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量 ,而是系統(tǒng)的輸出變量。 4 1 0 0 0( 2 ) 0 4 0 0 00 0 3 1 1x? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xu狀態(tài)空間 x1x2x3不完全可控 狀態(tài)子空間 x1x2不完全可控 狀態(tài)變量 x3完全可控 狀態(tài)變量 x2完全不可控 狀態(tài)變量 x1完全不可控 ? 解 由于 A中特征值 4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的 B的分塊的最后一行線性無(wú)關(guān) , ? 且 A中特征值 3的約旦塊所對(duì)應(yīng)的 B的分塊的最后一行不全為零 ,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 12( ) ( ) ( )nx t x t B t?????????????u（ 3） 模態(tài)判據(jù) ? 例題： 判斷下述系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 721 5 517( ) ( ) ( ) ( )t t u t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xx722 5 019( ) ( ) ( ) ( )t t u t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xx7 0 13 5 4 01 7 5( ) ( ) ( ) ( )t t t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?x x u? 例題： 對(duì)于如圖所示的系統(tǒng)，列寫(xiě)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并判斷該系統(tǒng)的可控性。 ? 根據(jù)狀態(tài)方程解的表達(dá)式 ,有 ? 證明 在證明可控性判據(jù)之前 ,下面首先證明線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全可控等價(jià)于下述方程對(duì)任意的初始狀態(tài) x(0)有控制輸入 u(t)的解。 ? 對(duì)時(shí)變系統(tǒng) ,控制時(shí)間的長(zhǎng)短 ,即 t1t0的值 ,與初始時(shí)刻t0有關(guān)。 ? 下面將通過(guò)給出狀態(tài)可控性的嚴(yán)格定義 ,來(lái)導(dǎo)出判定系統(tǒng)可控性的充要條件。 ? 上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說(shuō)明了可控性的基本含義 ,可控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個(gè)例子說(shuō)明。 1 Q 1 O h 1 h 2 Q 2 Q O Q O 2 ?例 某并聯(lián)雙水槽系統(tǒng)如圖 2所示 ,其截面積均為 A,它們通過(guò)閥門(mén) O均勻地輸入等量液體 ,即其流量 QO相同。 ? 該電橋系統(tǒng)中 ,電源電壓 u(t)為輸入變量 ,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量 x1(t)和 x2(t)。 ? 狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高 ,這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問(wèn)題。 狀 態(tài) x ( t ) u ( t ) y ( t ) 能觀測(cè) ? ? 為什么經(jīng)典控制理論沒(méi)有涉及到可控性和可觀測(cè)性問(wèn)題 ? ? 這是因?yàn)榻?jīng)典控制理論所討論的是 SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問(wèn)題 ,它的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。其后的發(fā)展表明 ,這兩個(gè)概念對(duì)回答被控系統(tǒng)能否進(jìn)行控制與綜合等基本性問(wèn)題 ,對(duì)于控制和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的研究 ,有著極其重要的意義。 ? 因此 ,在這里不存在輸出能否測(cè)量 (觀測(cè) )的問(wèn)題。 ? 如果狀態(tài)變量 x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入 (控制項(xiàng) )來(lái)影響 ,并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn) ,那么稱系統(tǒng)是可控的 , ? 或者更確切地說(shuō) ,是狀態(tài)可控的。 ? 由狀態(tài)空間模型來(lái)看 , ? 當(dāng)選擇兩電容器兩端電壓為狀態(tài)變量x1(t)和 x2(t)時(shí) ,可得如下?tīng)顟B(tài)方程 : 2221111111xRCxuRCxRCx??????? u R + + + C 1 C 2 x 1 x 2 R R R 由上述狀態(tài)方程可知 ,狀態(tài)變量 x2(t)的值 ,即電橋中電容 C2的電壓 ,是自由衰減的 ,并不受輸入 u的控制。 ?????????????????????22221111/dd/ddQRhthAQRhthAOO? 由各水槽中所盛水量的平衡關(guān)系和流量與壓力 (水面高度 )的關(guān)系 ,有 1 Q 1 O h 1 h2 Q 2 Q O QO 2 其中 ?代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量。 ? 例 : 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ? 因此 ,x1(t)和 x1(t)不能在有限時(shí)間內(nèi)同時(shí)被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài) ,只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。 ? 若對(duì) t0時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控 ,則稱系統(tǒng)在 t0時(shí)刻狀態(tài)完全可控 。 ? u(t)為分段連續(xù)的條件 ,在工程上是很容易滿足的。 例題： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 判斷其狀態(tài)可控性。 u52x ????????????????5007)1( x?? 解 由對(duì)角型判據(jù)可知 ,A為特征值互異的對(duì)角線矩陣 ,且 B中各行不全為零 ,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 ? 可控性判據(jù)小結(jié) 判定方法 特點(diǎn) 判據(jù) 秩判據(jù) 規(guī)范型判據(jù) PBH秩判據(jù) 可控性矩陣 Qc=[B AB … An1B]滿秩 約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的 B矩陣分塊的最后一行線性無(wú)關(guān) 對(duì)于所有特征值 ? , rank[?IA B]=n 1. 計(jì)算簡(jiǎn)便可行。 ? 定義 ： 若線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B,C,D), ? 對(duì)初始時(shí)刻 t0(t0?T,T為系統(tǒng)的時(shí)間定義域 )和任意初始輸出值 y(t0), ? 存在另一有限時(shí)刻 t1(t1t0,t1?T),可以找到一個(gè)輸入控制向量 u(t), ? 能在有限時(shí)間 [t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)從初始輸出 y(t0)控制到原點(diǎn) ,即 y(t1)=0, 則稱系統(tǒng)輸出完全可控 ,簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)輸出可控。 ? 本節(jié)講授順序?yàn)?: ? 可觀測(cè)性的直觀討論 ? 狀態(tài)可觀測(cè)性的定義 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù) 三、 線性連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性 1. 可觀測(cè)性的直觀討論 ? 狀態(tài)可觀測(cè)性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測(cè)量的輸出 y(t) 來(lái)確定或反映系統(tǒng)狀態(tài)的能力。 圖 電網(wǎng)絡(luò) ? 但當(dāng)電阻 R1?R2或電感 L1?L2時(shí) ,則上述由輸出 y(t)不能確定狀態(tài)變量 x1(t)和 x2(t)的值的特性可能不成立。 ? 故 ,該電網(wǎng)絡(luò)在開(kāi)關(guān) K斷開(kāi)后 ,是狀態(tài)不可觀測(cè)的。 ? 所以線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性僅與輸出 y(t),以及系統(tǒng)矩陣 A和輸出矩陣 C有關(guān) ,與輸入矩陣 B和輸入 u(t)無(wú)關(guān)。 ,由于系統(tǒng)矩陣 A(t)和輸出矩陣 C(t)都為常數(shù)矩陣 ,與時(shí)間無(wú)關(guān) , ? 因此不必在定義中強(qiáng)調(diào)“ 在所有時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè) ” ,而為“ 某一時(shí)刻狀態(tài)完全可觀測(cè) ,則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè) ”。 ? 根據(jù)輸出方程解的表達(dá)式 ,有 y(t)=CeAtx(0) ? 由可觀測(cè)性的定義可知 ,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全可觀測(cè) ,等價(jià)于上述方程是否有 x(0)的唯一解問(wèn)題。 x3yx]0[5007)1(??????????x?? 解 由定理 48可知 ,A為特征值互異的對(duì)角線矩陣 ,但 C中的第 2列全為零 ,故該系統(tǒng)的狀態(tài) x2不可觀測(cè) ,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。 2. 缺點(diǎn)為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形 1. 易于分析哪些特征值 (極點(diǎn) )可觀測(cè)。 ? 若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控 ,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全可控 。 ? 下面我們先引入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。 ? 由線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解公式 ,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) …… y(n1)=Cx(n1)=CGn1x(0) ? 將上述 n個(gè)方程寫(xiě)成矩陣的形式 ,有 ? 因此 ,由線性方程的解存在性理論可知 ,無(wú)論輸出向量的維數(shù)是否大于 1,上述方程有 x(0)的唯一解的充分必要條件為 ? rankQo=n ? 由可觀測(cè)性的定義可知 ,上式亦為線性定常離散系統(tǒng)?(G,C)狀態(tài)完全可觀的充要條件。 ? 可控性矩陣和可觀測(cè)性矩陣為 : ? 由于系統(tǒng)矩陣 G非奇異矩陣 ,故由定理 412和定理 413可知 , ? 離散化系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控和完全可觀的充分必要條件為可控性矩陣 Qc和可觀測(cè)性矩陣 Qo均滿秩。 ? 所以當(dāng) T?2k?/Im[?i?j]=k? k=1,2,3,…… 時(shí) ,離散化系統(tǒng)才狀態(tài)完全可控和完全可觀。下面進(jìn)行證明。為了便于分析與設(shè)計(jì)，需要對(duì)動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行規(guī)范分解。 ? 若取 T?k?(k=1,2,…), 即 sinT?0,cosT??1,則有 |Qc|=sinT(sin2Tcos2T+2cosT1)=2sinT(cosT1)?0 |Qo|=sinT?0 即 Qc和 Qo均為滿秩矩陣 ,則此時(shí)離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全可控又完全可觀。 )(001100)()(203120101)1(kkkkxyxx?????????????????????? 例 ： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性 ? 解 由狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)有 nCGCGCQ o ??????????????????????????? 2311201000000291310r a n kr a n kr a n k2? 系統(tǒng)不完全可觀測(cè) ?3 連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測(cè)性 ? 這里所要討論的線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)可控性 /可觀測(cè)性問(wèn)題 ,是指 : 1. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化后是否仍能保持其狀態(tài)可控性 /可觀測(cè)性 ? 2. 離散化系統(tǒng)可控性和可觀測(cè)性與原連續(xù)系統(tǒng)的可控性 /可觀測(cè)性之間的關(guān)系 ? ? 該問(wèn)題是計(jì)算機(jī)控制中一個(gè)十分重要的問(wèn)題。 ? 若對(duì)狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可觀 ,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀 ,簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)可觀。 ? 在上述狀態(tài)可控性定義中 ,只要求在 n步之內(nèi)尋找控制作用 ,使得系統(tǒng)狀態(tài)在第 n步上到達(dá)原點(diǎn)。 ? 對(duì)單輸出系統(tǒng)， c(sIA) 1無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消是系統(tǒng) 完全可觀測(cè) 的 充要條件。 ? 解 由于 A中特征值 4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的 C的分塊的第一列線性相關(guān) ,該系統(tǒng)的狀態(tài) x1,x2和 x4不完全可觀測(cè) ,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測(cè)。 ? 對(duì)角規(guī)范型判據(jù)： 對(duì)為對(duì)角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)?(A,C), 有： 1) 若 A的所有特征值互異 ,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為： ? C中不包含元素全為 0的列； 2) 若 A有重特征值 ,則系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件為： ? 重特征值對(duì)應(yīng)的 C中的列線性無(wú)關(guān)。 這是因?yàn)?,輸出變量 y(t)的維數(shù) m一般總是小于狀態(tài)變量 x(t)的維數(shù) n。 ? 因此 ,我們有如下線性系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性的定義。 ? 例 :給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 212211xxyxxxx???????????? 由狀態(tài)方程可知 : ? 狀態(tài)變量 x1(t)和 x2(t)可分別由初始狀態(tài) x1(t0)和 x2(t0)唯一決定 ,并可表示為 xi(t)=etxi(0) i=1,2 ? 因此 ,輸出變量 y(t)可表示為 y(t)=et[x1(0)+x2(0)] 由 y(t)的解可知 ,由 y(t)并不能唯一地分別確定初始狀態(tài) x1(t0)和 x2(