【正文】 用水量數(shù)據(jù)（單位： m3）和使用了節(jié)水龍頭 50 天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭 50 天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 ? ?0 ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， 頻數(shù) 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭 50 天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 ? ?0 ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ， 頻數(shù) 1 5 13 10 16 5 ⑴在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭 50 天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： 7 ⑵估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于 的概率； ⑶估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按 365 天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表 ． ） 解：（ 1） （ 2） 由題可知用水量在 [,] 的頻數(shù)為 10，所以可估計在 [,) 的頻數(shù)為 5 ，故用水量小于 的頻數(shù)為 1 5 13 5 24? ? ? ? ，其概率為 24 ?? . （ 3） 未使用節(jié)水龍頭時， 50 天中平均每日用水量為： 31 ( 0 .0 5 1 0 .1 5 3 0 .2 5 2 0 .3 5 4 0 .4 5 9 0 .5 5 2 6 0 .6 5 7 ) 0 . 50650 m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 一年的平均用水量則為 30 .5 0 6 3 6 5 1 8 4 .6 9m?? . 8 使用節(jié)水龍頭后， 50 天中平均每日用水量為： 31 ( 0 .0 5 1 0 .1 5 5 0 .2 5 1 3 0 .3 5 1 0 0 .4 5 1 6 0 .5 5 5 ) 0 .3 550 m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 一年的平均用水量則為 30. 35 36 5 12 7. 75 m?? ， ∴一年能節(jié)省 31 8 4 .6 9 1 2 7 .7 5 5 6 .9 4 m??. 20． （ 12 分） 設拋物線 2 2C y x?： ，點 ? ?20A ， ， ? ?20B?， ，過點 A 的直線 l 與 C 交于 M ， N 兩點 ． ⑴當 l 與 x 軸垂直時，求直線 BM 的方程； ⑵證明： ABM ABN?∠ ∠ ． 解：（ 1）當 l 與 x 軸垂直時， l 的方程為 2x? ，代入2 2yx? ，∴ (2, 2), (2, 2)MN? 或 (2, 2) , (2, 2)MN?，∴BM 的方程為： 2 2 0,yx? ? ? 或 2 2 0yx? ? ? . （ 2）設 MN 的方程為 2x my??，設1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y，聯(lián)立方程 2 22x myyx???? ?? ，得2 2 4 0y my? ? ?，∴ 1 2 1 22 , 4y y m y y? ? ? ?，1 1 2 22 , 2x m y x m y? ? ? ?， ∴ 1 2 1 21 2 1 22 2 4 4B M B Ny y y ykk x x m y m y? ? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 2122 4( ) 0( 4) ( 4)m y y y ym y m y??????， ∴ BM BNkk?? ，∴ ABM ABN? ?? . 21． （ 12 分 ） 已知函數(shù) ? ? ln 1xf x ae x? ? ?． ⑴設 2x? 是 ??fx的極值點 ． 求 a ，并求 ??fx的單調(diào)區(qū)間； ⑵證明：當 1ae≥， ? ? 0fx≥ ． 9 解：（ 1） ()fx定義域為 (0, )?? ， 1() xf x aex? ??. ∵ 2x? 是 ()fx極值點，∴ (2) 0f? ? ，∴ 2211022ae a e? ? ? ?. ∵ xe 在 (0, )?? 上增， 0a? ，∴ xae 在 (0, )?? 上增 . 又 1x在 (0, )?? 上減，∴ ()fx? 在 (0, )?? 上增 .又 (2) 0f? ? ， ∴當 (0,2)x? 時， ( ) 0fx? ? ， ()fx減；當 (2, )x? ?? 時， ( ) 0fx? ? ， ()fx增 . 綜上，212a e?，單調(diào)增區(qū)間為 (2, )?? ，單調(diào)減區(qū)間為 (0,2) . （ 2）∵ 0xe? ，∴當 1ae?時有 11x x xae e ee ?? ? ?， ∴ 1( ) l n 1 l n 1xxf x a e x e x?? ? ? ? ? ?. 令 1( ) ln 1xg x e x?? ? ?， (0, )x? ?? . 1 1() xg x e x?? ??，同（ 1）可證 ()gx? 在 (0, )?? 上增，又 11 1(1) 01ge?? ? ? ?， ∴當 (0,1)x? 時， ( ) 0gx? ? ， ()gx減；當 (1, )x? ?? 時， ( ) 0gx? ? ， ()gx增 . ∴ 11m i n( ) ( 1 ) l n 1 1 1 0 1 0g x g e ?? ? ? ? ? ? ? ?， ∴當 1a e? 時， ( ) ( ) 0f x g x??. （二）選考題：共 10 分。 1． ? ?i 2 3i?? A． 32i? B． 32i? C． 3 2i?? D． 3 2i?? 解析： 2( 2 3 ) 2 3 3 2i i i i i? ? ? ? ? ?，故答案為 D . 2． 已知集合 ? ?1,3,5,7A? ， ? ?2,3,4,5B? ，則 AB? A． ??3 B． ??5 C． ??3,5 D． ? ?1,2,3,4,5,7 解析： 3,5 是 集合 A,B 的公共元素，所以 {3,5}AB?? ，故答案為 B. 3． 函數(shù) ? ?2eexxfx x ??? 的圖 像 大致 為 解析： 0x? 時， ( ) ( )f x f x?? ， ()fx為奇函數(shù)，所以 A 不正確；又 1(1) 0fee? ? ? ，所以 D 不正確；又 x??? 時， ()fx??? ，所以 B 正確，故答案為 B. 4． 已知向量 a ， b 滿足 | | 1?a ， 1? ??ab ，則 (2 )? ? ?a a b A． 4 B． 3 C． 2 D． 0 解析： 5．從 2 名男同學和 3 名女同學中任選 2 人參加社區(qū)服務，則選中的 2 人都是女同學的概率為 A． B． C． D． 解析 ：設 2 名男同學分別為 A,B， 3 名女同學分 別為 1,2,3，那么從這 5 名同學中任選 2 人的選法有 A， 1； A,2。 2， 10 種選法，其中 2 人都是女生的選法有 3 種，利用古典概型的概率計算公式可知所求概率為 3 ? ，故答案為 D. 12 6．雙曲線 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 3 ，則其漸近線方程為 A． 2yx?? B． 3yx?? C． 22yx?? D． 32yx?? 解析：因為 23 1 ( ) ,bea? ? ? 所以 2,ba? 所以漸近線的方程為 2by x xa? ? ? ? ，故答案為 A. 7．在 ABC△ 中， 5cos25C?， 1BC? ， 5AC? ，則 AB? A． 42 B． 30 C． 29 D． 25 解析：因為 22 53c o s 2 c o s 1 2 ( ) 12 5 5CC ? ? ? ? ? ? ?，所以 2 2 2 2 c o sc a b ab C? ? ? 31 2 5 2 1 5 ( ) 3 25? ? ? ? ? ? ? ?， 4 2,c? 故答案為 A. 8．為計算 1 1 1 1 112 3 4 9 9 1 0 0S ? ? ? ? ? ? ?，設計了 如圖 的程序框圖，則在空白框中應填入 A． 1ii?? B． 2ii?? C． 3ii?? D． 4ii?? 解析：由 1 1 1 1 11 2 3 4 9 9 1 0 0S ? ? ? ? ? ? ?…，及所給程序框圖知，先對奇數(shù)項累加、偶數(shù)項累加，再對和作差，故在空白框內(nèi)應填入 2ii?? ，故答案為 B. 9． 在 正 方體 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， E 為棱 1CC 的中點，則異面直線 AE 與CD 所成角的正切值為 A． 22 B． 32 C． 52 D． 72 解析：在正方體 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， CD//AB,所以異面直線 AE 與 CD 所成角 是 EAB? ，設正方體的邊長 為 2a，則 ,5CE a BE a??，55ta n 22B E aEAB A B a? ? ? ?，故答案為 C. 10．若 ( ) cos sinf x x x??在 [0, ]a 是減函數(shù)，則 a 的最大值是 開 始0 , 0N T? ?S N T? ?S輸 出1i ?1 0 0i ?1N Ni? ?11T Ti? ??結 束是 否 13 A． π4 B． π2 C． 3π4 D． π 解析： ( ) c o s s in 2 c o s ( )4f x x x x ?? ? ? ?，由 2 2 ( )4k x k k z?? ? ?? ? ? ? ?得 32244k x k????? ? ? ? ?，因為 3[0, ] [ , ]44a ???? ，從而有 30 4a ??? ，故答案為 C. 11．已知 1F ， 2F 是橢圓 C 的兩個焦點， P 是 C 上的一點， 若 12PF PF? ，且 21 60PFF? ? ? ，則C 的離心率為 A． 312? B． 23? C． 312? D． 31? 解析：由 12PF PF? ， 21 60PFF? ? ? ， F1 F2=2c，得 12| | 3 , | |PF c PF c??，由橢 圓的定義得2 3 ,a c c??所以離心率2 3131e ? ? ??，故答案為 D. 12．已知 ()fx 是定義域為 ( , )???? 的奇函數(shù)，滿足 (1 ) (1 )f x f x? ? ? ．若 (1) 2f ? ，則(1) (2) (3)f f f?? (50)f? ? ? A． 50? B． 0 C． 2 D． 50 解析：因為 ()fx為奇函數(shù)且 (1 ) (1 )f x f x? ? ? ，所以 ( 1) ( 1)f x f x? ? ? ?，所以 ()fx為周期函數(shù)， 4T? ， 又 (1) 2 , ( 2 ) (0 ) 0 ,f f f? ? ?( 3 ) ( 1 ) (1 ) 2 ,f f f? ? ? ? ? ?( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) 0f f f? ? ? ? ?，所以一個周期內(nèi)的和為 0， 50 項共 12 個周期余 2 項，和為 2，故答案為 C. 二、 填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。． 所以 OM= 253， CH= sinOC MC ACBOM? ? ? = 455．