【正文】 多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對原函數(shù) f(t)的研究轉(zhuǎn)化為對其權(quán)系數(shù)，及傅里葉變換 F(ω)的研究。隨著時間 的變化， g(t)所確定的“時間窗”在 t軸上移動，使f(t)“逐漸” 進行分析。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。信號長度為 M時， Fourier變換（左）和小波變換（右）計算復(fù)雜性分別如下公式： 第 12頁 (6) 小波基表示發(fā)生的時間和頻率 Fourier變換的基（上）小波變換基（中） 和時間采樣基（下） 傅里葉變換 (Fourier)基 小波基 時間采樣基 第 13頁 二、連續(xù)小波變換 )()( 2 RLt ?? ?????????? d2)(?)(t? )(???)(t?設(shè)函數(shù) ，如果滿足： 則稱 為一個基本小波和小波母函數(shù)，式中 為函數(shù) 的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。簡單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖 6所示。 第 21頁 圖 8 計算系數(shù)值 C 原 始 信 號小 波 信 號C ＝ 0 . 0 1 0 2二、連續(xù)小波變換 第 22頁 圖 9 計算平移后系數(shù)值 C 原 始 信 號小 波 信 號二、連續(xù)小波變換 第 23頁 圖 10 計算尺度后系數(shù)值 C 原 始 信 號小 波 信 號C ＝ 0 . 2 2 4 7二、連續(xù)小波變換 第 24頁 第五步：對于所有縮放 ， 重復(fù)第一步至第四步 。 三、一維離散小波變換與重構(gòu) 第 28頁 小波變換就是將 “ 原始信號 s ” 變換 成 “ 小波 系數(shù) w ” ， w=[wa , wd] （ 近似系數(shù) wa與細(xì)節(jié)系數(shù) wd ) 則 原始信號 s可分解成小波近似 a與小波細(xì)節(jié) d之和。 三、一維離散小波變換 第 34頁 由圖 11可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹 。 ↓ 三、一維離散小波變換 第 37頁 圖 13 小波分解下采樣示意圖 SDA1 0 0 0 個 采 樣 點1 0 0 0 個 采 樣 點1 0 0 0 個 采 樣 點ScDcA1 0 0 0 個 采 樣 點約 5 0 0 個 D W T 系數(shù)約 5 0 0 個 D W T 系數(shù)三、一維離散小波變換 第 38頁 在 Matlab中，離散小波變換分解算法主要使用如下幾個常用命令： dwt 用于信號的單層分解 wavedec 用于信號的多層分解 wmaxlev 在多層分解前求最大的分解層數(shù) 三、一維離散小波變換 第 39頁 將信號的小波分解的分量進行處理后 ， 一般還要根據(jù)需要把信號恢復(fù)出來 ， 也就是利用信號的小波分解的系數(shù)還原出原始信號 ， 這一過程稱為小波重構(gòu)（ Wavelet Reconstruction） 或叫做小波合成 （ Wavelet Synthesis） 。 信號重構(gòu)中 ， 濾波器的選擇非常重要 ， 關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號 。特別適合于信號和圖像分析，綜合，去噪，壓縮等領(lǐng)域的研究人員。 第 51頁 幾種常用小波 1. Haar小波 2. Daubechies小波 3. Symlet小波 4. 雙正交小波（ ） 5. Coiflet小波 6. Morlet小波 7. Mexico草帽小波 8. Meyer小波 ? 具有對稱性的小波不產(chǎn)生相位畸變，在圖像處理中非常有用。meyr39。 wname： 小波基名稱 H： 低通濾波器 G： 高通濾波器 二維信號的多層小波分解： [A,L]=wavedec2(X,N， ’wname’) [A,L]=wavedec2(X,N,H,G) 其中： A ： 各層分量， L： 各層分量長度 N： 分解層數(shù) X： 輸入信號。 ? wpdec 一維信號的小波包分解。 ? 提升小波變換（ Lifting scheme wavelet transform) 值得關(guān)注的幾個發(fā)展方向： 多小波變換： ? 在圖像處理和信號分析的實際應(yīng)用中，我們需要小波具有正交性和對稱性。 去除 1級噪聲：去除 1級小波細(xì)節(jié)分解中小于“閾值 1”部分。 ? 有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系數(shù)進行比特分配。 ? 無損壓縮：選擇 “整數(shù) 小波變換 ” ，無舍入誤差。 恢復(fù)： 將小波近似分解，加上去噪聲后小波細(xì)節(jié)分解，即獲得去除噪聲的信號 2. 小波 去噪聲 兩級分解 噪聲去除， 括號內(nèi)保留部分?jǐn)?shù)據(jù) 原始信號 (紅 ),去噪后 (黃) wd1 兩級小波系數(shù) wd2 2. 小波 去噪聲 |wd1 | 1級去噪前絕對值 |wd1 | 1級去噪后絕對值 |wd2 | 2級去噪后絕對值 |wd2 | 2級去噪前絕對值 原始信號 (紅 ),去噪后 (黃 ) 1 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) 2 級細(xì)節(jié)小波系數(shù) [1,1,4,3,1,1,2,6] [6,3,6,8] 兩級 小波系數(shù) 閾值 1 wd1 wd2 閾值 2 2. 小波 去噪聲 16點原始信號 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ] 小波去噪聲 兩級分解 3 、小波分析在圖象處理中的應(yīng)用 圖象是二維信號 ， 其小波變換相當(dāng)于二次一維信號的小波變換： 。 ? Goodman等提出多小波的概念，其基本思想是將單小波中由單個尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間，擴展為由多個尺度函數(shù)生成，以此來獲得更大的自由度。 ? wpfun 小波包函數(shù)族 ? wpjoin 小波包分解樹的節(jié)點合并 ? wprec 一維信號的小波包信號重構(gòu)。 ? isnode 判斷指定位置是否存在節(jié)點。morl39。 ? 小波函數(shù)和尺度函數(shù)如果存在消失矩，在壓縮時有用。 ? 連續(xù)小波變換及其應(yīng)用。 三、一維離散小波變換與重構(gòu) 第 44頁 圖 16 多層小波重構(gòu)示意圖 A3D3A2D2SA1D1三、一維離散小波變換與重構(gòu) 第 45頁 圖 17 多層小波分解和重構(gòu)示意圖 S 1 0 0 0HL5 0 02 5 02 5 0D W T… …小 波 系 數(shù)S1 0 0 0L ′I D W TH ′H ′L ′LH ′三、一維離散小波變換與重構(gòu) 第 46頁 用于離散小波重構(gòu)的命令主要有如下幾個： idwt 用于單層小波重構(gòu) waverec 用于多層小波重構(gòu)原始信號，要求輸入?yún)?shù) 同小波分解得到結(jié)果的格式一致 wrcoef 用于重構(gòu)小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)? 數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致 upcoef 用于重構(gòu)小波系數(shù)至上一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分 解得到結(jié)果的格式一致 用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有以下幾個： detcoef 求得某一層次的細(xì)節(jié)系數(shù) appcoef 求得某一層次的近似系數(shù) upwlev 重構(gòu)組織小