詳解十五道高中立體幾何典型易錯題(完整版)
【正文】 點引這個角所在平面的斜線．如果斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在的直線．另外，還有一個值得注意的結(jié)論就是：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊所在直線的距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上．典型例題九例9 如圖所示，已知：直三棱柱中，是的中點．求證：．分析：根據(jù)條件，正三棱柱形狀和大小及點的位置都是確定的，故可通過計算求出與兩異面直線所成的角．因為，所以側(cè)面．是斜線在平面的射影，設(shè)與的交點為，只需證得即可．證明：∵，與交于點，∴面．∵為的中點，∴．在中，∴，．在中，．在中，．又∽且，∴，．在中，∴，∴．說明：證明兩直線垂直，應(yīng)用三垂線定理或逆定理是重要方法之一．證明過程中的有關(guān)計算要求快捷準(zhǔn)確，不可忽視．本題證明兩異面直線垂直，也可用異面直線所成的角，在側(cè)面的一側(cè)或上方一個與之全等的矩形，平移或，確定兩異面直線所成的角，然后在有關(guān)三角形中通過計算可獲得證明．典型例題十例10 長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，求這個長方體的一條對角線長．分析：要求長方體對角線長，只要求長方體的一個頂點上的三條棱的長即可．解：設(shè)此長方體的長、寬、高分別為、對角線長為，則由題意得：由②得：，從而由長方體對角線性質(zhì)得：．∴長方體一條對角線長為5．說明：(1)本題考查長方體的有關(guān)概念和計算，以及代數(shù)式的恒等變形能力．在求解過程中，并不需要把、單個都求出來，而要由方程組的①②從整體上導(dǎo)出，這需要同學(xué)們掌握一些代數(shù)變形的技巧，需要有靈活性．(2)本題采用了整體性思維的處理方法，所謂整體性思維就是在探究數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)研究問題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)或?qū)栴}的數(shù)的特征、形的特征、結(jié)構(gòu)特征作出整體性處理．整體思維的含義很廣，根據(jù)問題的具體要求，需對代數(shù)式作整體變換，或整體代入，也可以對圖形作出整體處理．典型例題十一例11 如圖，長方體中，并且．求沿著長方體的表面自到的最短線路的長．分析：解本題可將長方體表面展開，可利用在平面內(nèi)兩點間的線段長是兩點間的最短距離來解答．解：將長方體相鄰兩個展開有下列三種可能，如圖．三個圖形甲、乙、丙中的長分別為：∵，∴．故最短線路的長為．說明：(1)防止只畫出一個圖形就下結(jié)論，或者以為長方體的對角線是最短線路．(2)解答多面體表面上兩點間，最短線路問題，一般地都是將多面體表面展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點間線段長．典型例題十二例12 設(shè)直平行六面體的底面是菱形，經(jīng)下底面的一邊及與它相對的上義面的一邊的截面與底面成的二面角，面積為，求直平行六面體的全面積．
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