詳解十五道高中立體幾何典型易錯(cuò)題(完整版)
【正文】 點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線(xiàn)．如果斜線(xiàn)和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線(xiàn)在平面上的射影是這個(gè)角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)．另外，還有一個(gè)值得注意的結(jié)論就是：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊所在直線(xiàn)的距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)上．典型例題九例9 如圖所示，已知：直三棱柱中，是的中點(diǎn)．求證：．分析：根據(jù)條件，正三棱柱形狀和大小及點(diǎn)的位置都是確定的，故可通過(guò)計(jì)算求出與兩異面直線(xiàn)所成的角．因?yàn)?，所以?cè)面．是斜線(xiàn)在平面的射影，設(shè)與的交點(diǎn)為，只需證得即可．證明：∵，與交于點(diǎn)，∴面．∵為的中點(diǎn)，∴．在中，∴，．在中，．在中，．又∽且，∴，．在中，∴，∴．說(shuō)明：證明兩直線(xiàn)垂直，應(yīng)用三垂線(xiàn)定理或逆定理是重要方法之一．證明過(guò)程中的有關(guān)計(jì)算要求快捷準(zhǔn)確，不可忽視．本題證明兩異面直線(xiàn)垂直，也可用異面直線(xiàn)所成的角，在側(cè)面的一側(cè)或上方一個(gè)與之全等的矩形，平移或，確定兩異面直線(xiàn)所成的角，然后在有關(guān)三角形中通過(guò)計(jì)算可獲得證明．典型例題十例10 長(zhǎng)方體的全面積為11，十二條棱長(zhǎng)度之和為24，求這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．分析：要求長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，只要求長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)即可．解：設(shè)此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，則由題意得：由②得：，從而由長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)得：．∴長(zhǎng)方體一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為5．說(shuō)明：(1)本題考查長(zhǎng)方體的有關(guān)概念和計(jì)算，以及代數(shù)式的恒等變形能力．在求解過(guò)程中，并不需要把、單個(gè)都求出來(lái)，而要由方程組的①②從整體上導(dǎo)出，這需要同學(xué)們掌握一些代數(shù)變形的技巧，需要有靈活性．(2)本題采用了整體性思維的處理方法，所謂整體性思維就是在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)研究問(wèn)題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)或?qū)?wèn)題的數(shù)的特征、形的特征、結(jié)構(gòu)特征作出整體性處理．整體思維的含義很廣，根據(jù)問(wèn)題的具體要求，需對(duì)代數(shù)式作整體變換，或整體代入，也可以對(duì)圖形作出整體處理．典型例題十一例11 如圖，長(zhǎng)方體中，并且．求沿著長(zhǎng)方體的表面自到的最短線(xiàn)路的長(zhǎng)．分析：解本題可將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，可利用在平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線(xiàn)段長(zhǎng)是兩點(diǎn)間的最短距離來(lái)解答．解：將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)展開(kāi)有下列三種可能，如圖．三個(gè)圖形甲、乙、丙中的長(zhǎng)分別為：∵，∴．故最短線(xiàn)路的長(zhǎng)為．說(shuō)明：(1)防止只畫(huà)出一個(gè)圖形就下結(jié)論，或者以為長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)是最短線(xiàn)路．(2)解答多面體表面上兩點(diǎn)間，最短線(xiàn)路問(wèn)題，一般地都是將多面體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間線(xiàn)段長(zhǎng)．典型例題十二例12 設(shè)直平行六面體的底面是菱形，經(jīng)下底面的一邊及與它相對(duì)的上義面的一邊的截面與底面成的二面角，面積為，求直平行六面體的全面積．
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