詳解十五道高中立體幾何典型易錯(cuò)題(更新版)
【正文】 分析：如圖，由于面．作出截面與底面所成的二面角的平面角后，因中，可分別求出、和的值．又上下底面的邊長是相等的，便可進(jìn)一步求出全面積．解：設(shè)平行六面體為，過作，為垂足，連結(jié)．∵平面，∴，∴，．又在菱形中，有，∴截面的面積為：．側(cè)面的面積為：底面的面積為：．所以．典型例題十三例13 設(shè)有三個(gè)命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是直平行六面體．以上命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）．A．0 B．1 C．2 D．3解：甲命題是真命題，因?yàn)樗褪瞧叫辛骟w的定義；乙命題不是真命題，因?yàn)槠叫辛骟w的側(cè)棱不一定垂直于底面；丙命題也不是真命題，因?yàn)樗睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危鄳?yīng)選B．說明：要認(rèn)真搞清平行六面體、直平行六面體、長方體等特殊四棱柱的有關(guān)概念及性質(zhì)．典型例題十四例14 如圖，是直三棱柱，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．若，則與所成角的余弦值是（ ?。瓵． B． C． D．解：可將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線的角，取的中點(diǎn)，并連結(jié)、．∵，∴，∴是與所成角．設(shè)，則，．∴，．∴∴應(yīng)選A．說明：本題主要考查棱柱的性質(zhì)，以及兩條異面直線所成的角、勾股定理、余弦定理等內(nèi)容：對運(yùn)算能力和空間想象能力也有較高的要求．典型例題十五例15 如圖，已知是正三棱柱，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)假設(shè)，求以為棱，與為面的二面角的度數(shù)．(1)證明：∵是正三棱柱，∴四邊形是矩形．連結(jié)交于，則是的中點(diǎn)．連結(jié)．∵、分別是、的中點(diǎn)，∴．又平面，平面，．∴平面．(2)解：作于，則平面，連結(jié)則是在平面上的射影．∵又．∴．根據(jù)三垂線定理的逆定理，得．從而是二面角的平面角，即，設(shè)，則∵是正三角形，∴在中，有，取的中點(diǎn)，∵，∴．在中，而，∴，∴，∴在中，．∴，即．從而所求二面角的大小為．說明：(1)縱觀近十年高考題，其中解答題大多都是以多面體進(jìn)行專利權(quán)查，解答此類題，有些同學(xué)往往忽略或忘記了多面體的性質(zhì)，從而解題時(shí)，思維受阻．今后要引以為戒．(2)本題考查空間的線面關(guān)系，正棱柱的概念和性質(zhì)，空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．本題涉及到的知識面寬，有一定的深度，但入手不難，逐漸加深；邏輯推理和幾何計(jì)算交織為一體；正三棱柱放倒，與課本習(xí)題不同，加強(qiáng)了對空間想象能力的考查；在解答過程中，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，不僅考查了識圖，而且考查了作圖．本題是一道綜合性試題，較深入和全面地考查了各種數(shù)學(xué)能力，正確解答本題，要求同學(xué)們有較高的數(shù)學(xué)素質(zhì)． 17 / 17
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