詳解十五道高中立體幾何典型易錯題(更新版)
【正文】 分析：如圖，由于面．作出截面與底面所成的二面角的平面角后，因中，可分別求出、和的值．又上下底面的邊長是相等的，便可進一步求出全面積．解：設平行六面體為，過作，為垂足，連結．∵平面，∴，∴，．又在菱形中，有，∴截面的面積為：．側面的面積為：底面的面積為：．所以．典型例題十三例13 設有三個命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是直平行六面體．以上命題中，真命題的個數是（ ）．A．0 B．1 C．2 D．3解：甲命題是真命題，因為它就是平行六面體的定義；乙命題不是真命題，因為平行六面體的側棱不一定垂直于底面；丙命題也不是真命題，因為四棱柱的底面不一定是平行四邊形．∴應選B．說明：要認真搞清平行六面體、直平行六面體、長方體等特殊四棱柱的有關概念及性質．典型例題十四例14 如圖，是直三棱柱，點、分別是、的中點．若，則與所成角的余弦值是（ ?。瓵． B． C． D．解：可將異面直線所成角轉化為相交直線的角，取的中點，并連結、．∵，∴，∴是與所成角．設，則，．∴，．∴∴應選A．說明：本題主要考查棱柱的性質，以及兩條異面直線所成的角、勾股定理、余弦定理等內容：對運算能力和空間想象能力也有較高的要求．典型例題十五例15 如圖，已知是正三棱柱，是的中點．(1)證明：平面；(2)假設，求以為棱，與為面的二面角的度數．(1)證明：∵是正三棱柱，∴四邊形是矩形．連結交于，則是的中點．連結．∵、分別是、的中點，∴．又平面，平面，．∴平面．(2)解：作于，則平面，連結則是在平面上的射影．∵又．∴．根據三垂線定理的逆定理，得．從而是二面角的平面角，即，設，則∵是正三角形，∴在中，有，取的中點，∵，∴．在中，而，∴，∴，∴在中，．∴，即．從而所求二面角的大小為．說明：(1)縱觀近十年高考題，其中解答題大多都是以多面體進行專利權查，解答此類題，有些同學往往忽略或忘記了多面體的性質，從而解題時，思維受阻．今后要引以為戒．(2)本題考查空間的線面關系，正棱柱的概念和性質，空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．本題涉及到的知識面寬，有一定的深度，但入手不難，逐漸加深；邏輯推理和幾何計算交織為一體；正三棱柱放倒，與課本習題不同，加強了對空間想象能力的考查；在解答過程中，必須添加適當的輔助線，不僅考查了識圖，而且考查了作圖．本題是一道綜合性試題，較深入和全面地考查了各種數學能力，正確解答本題，要求同學們有較高的數學素質． 17 / 17
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