【正文】 程 之中。對于更復(fù)雜的體系，其薛定諤方程的具體表達式，關(guān)鍵在于寫出其哈密頓算符。 這表明，算符 di dt和 2 2 ()2 Vrm? ? ?是相當?shù)模?這即可以從它們作用于定態(tài) （ 19） 式的結(jié)果看出，也可以從薛定諤方程 （ 8） 看出，它們作用于體系的任意一個波函數(shù)上都是相當?shù)摹? 提示：利用 ? ?0x? ，? ? 2, e x p [ ] e x p [ ]4 2m i m x m xixt t t t???? ? ? ? （ ）1 ,02i k xk x e d x????????? ?（ ） （ ）24l i m i i a xaa e e x? ?????? （ ）書中 P26，第 5題 證明： 的 Fourier展開為 ? ?,xt?1, e x p [ ( ) ]2x t k i k x t d k? ? ?????????（ ） （ ）21e x p [ ( ) ]22 kk i k x t d km????????? （ ）221 m x m xe x p { [ ( ) ] }2 t t2tk i k dm k??????? ? ? ?? （ ） （ ）221 2 m x m x2e x p ( ) { e x p ( ) e x p [ ( ) ] } e x p ( )44 2 t 2 t2tmt miik i k i d ktm??????????? ? ? ?? （ ）21 2 m x m xe x p ( ) e x p ( )4 t 2 t2 mik k i d kt?????????? ? ?? （ ） （ ）2e x p [ ] e x p [ ]4 2m i m x m xit t t? ?? ? ? ? （ ）E??22pEm?pk?? 不含時間的薛定諤方程，定態(tài) ?定態(tài) 在一般情況下，從初始狀態(tài) ( , 0)r?求 ( , )rt?是不容易的（在后面將介紹近似方法求解它）。)G r t r tr?r( , 。, 39。 39。)G r t r t( , )rt?( 39。()tt? 稱為 傳播子 。, 39。)( 2 )39。) ] ( 39。而電子是費米子，不可能有兩個電子處于同一狀態(tài)（ Pauli 原理 )，故一般認為不會有宏觀體現(xiàn)，但低溫超導(dǎo)提供了反例：超導(dǎo)是金屬中大量的 電子庫泊 (Cooper)對 的相干關(guān)聯(lián)產(chǎn)生的現(xiàn)象，此時 電子對可近似地看成 玻色子。 （ 9） ? ?3 / 2 ,0r ? ?????? 幾率流密度（粒子流密度）守恒定律 我們知道在時刻 t，在點 周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度，它可表為 *( , ) ( , ) ( , )r t r t r t? ? ? ?于是，由上述推導(dǎo)可看出，顯然有 ** * *() Jt t t?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?0Jt?? ? ? ? ??即 （ 10） r此即 幾率守恒的微分表達式 ，其形式與流體力學(xué)中的連續(xù)性方程一樣。 式 （ 8） 就是勢場 ()Vr 作用下的 薛定諤 方程。 （ 1） （ 2） 再對 （ 1） 式求對坐標的二次微商，得 222222222222xyzxyz???? ? ?????? ? ?????? ? ??將以上三式相加，得到 2 2 2 222 2 2 2x y z? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（ 3） 利用自由粒子的能量和動量關(guān)系式（非相對論情形） 22m???式中 m是粒子質(zhì)量，并比較 （ 2） 和 （ 3） 式，即可得到 222i tm?? ? ? ? ??上式表明，至少對自由粒子來說，平面波的解可由方程 （ 5） 的一個特解給出 。方程的系數(shù)只含有粒子的質(zhì)量 m。當我們用坐標表象中的波函數(shù)來計算動量平均值時，需要引進 動量算符 ，除此之外，能量算符和角動量算符也可依此引進： 22??()2?()?()?()?()x z yy x zz y xpiH V rmL r iL y p zp i y zzyL zp x p i z xxzL x p y p i x yyx? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ???(30) 一般地，微觀粒子的任何一個力學(xué)量 F的平均值總可以表示為 * ?o o d r??? ? ? ??? ? ?( , ) ( , )O O r p O r i? ? ? ?p 其中 是力學(xué)量 相應(yīng)的算符。*3239。對以波函數(shù) 描寫的狀態(tài)，按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋， 表示在 t時刻在 中找到粒子的幾率，因此坐標 的平均值顯然是 ( , )rt?2( , )r t dr?r r d r??r2* ( , ) ( , )( , )r t r r t d rrrr t d r???????????? ? ? ???(11) 假設(shè)波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，即 則上式可寫為 ( , )rt? 2( , ) 1r t d r???????* ( , ) ( , )r r r t r r t dr???????? ?? ? 坐標 的函數(shù) 的平均值是 r ()Fr*( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )F r F r r t F r r t d r???????? ?? ?(12) 這里假設(shè)波函數(shù)已歸一化 其物理意義和我們對 所做的解釋一樣：它是對 N個大量數(shù)目的、等價的，彼此獨立的且由同一波函數(shù) 表示的體系做 測量結(jié)果的平均值。利用統(tǒng)計平均的方法，可以算出該力學(xué)量的平均值，進而和實驗觀測值做比較。 圖表示這兩個波包的 函數(shù) 2| ( ) |p? 在點 p0 出現(xiàn)十分尖銳的峰值， p0 的 0 ( / )p p n a???時達到），極小值被一些 極 20[1 /( ) ]pp? 減小，人們可以 ()p? 主要地集中在 主 | ( ) |p? 的第 一對 2/pa??? 之間。這兩種表示是完全等價的 . 為自變量， 關(guān)于 表象理論 ，以及關(guān)于上述坐標空間和動量空間的嚴格意義，我們在后面將作深入討論。但當入射粒子以包含不同動量的波包入射到晶體上，粒子的狀態(tài) 可以表示為取各種可能的動量值 的平面波的線性疊加 ： p? 粒子經(jīng)過晶體表面反射后所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，就是這許多平面波 p?相互干涉的結(jié)果。 因此，即使歸一化后，波函數(shù)仍有一 不確定 的相因子 e x p ( )i?為了方面，可取 C為正實數(shù)，于是歸一化波函數(shù)可寫作 3001( ) e x p ( )rraa????， ? 試對下列波函數(shù)進行歸一化 ? ? ? ?e x p , 0 , 0x i k x a x a k a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22e x p / , 0x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?? 多粒子體系的波函數(shù) 以上關(guān)于單粒子波函數(shù)的討論，很容易推廣到 N個粒子體系的情況，它的波函數(shù)可表為 1( , , , )Nr r t?3311| ( , , , ) |NNr r t d r d r? 表示 t時刻 1 1 1( , )r r d r?粒子 2出現(xiàn)在 2 2 2( , )r r d r? … … … … … 粒子 N出現(xiàn)在 ( , )N N Nr r d r?粒子 1出現(xiàn)在 中 中 中 的幾率。 例如，在空間點 應(yīng)強調(diào)指出，對于幾率分布來說，重要的是相對 幾率分布。故波函數(shù)在其變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個條件： 平方可積性 （ 有限性） 、 連續(xù)性 和 單值性 。它是粒子位置坐標和時間的復(fù)值函數(shù)，是不可測量的。 三、 電子雙縫實驗 干涉圖樣的 Born幾率詮釋 電子通過雙縫后的 數(shù)密度分布呈現(xiàn)干涉圖樣反映了電子的波粒二象性 , 從而我們可得到物質(zhì)波的 Born幾率詮釋。這樣，穿過該縫的電子必定同時散射光子。 ?1??2?2112 ??? ??12? 當實驗使電子從 確定的狹縫 通過時 ,電子表現(xiàn)得象粒子。 現(xiàn)在先把縫 2遮住，只允許電子從縫 1通過。 如圖 a所示。 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 （ de Broglie假設(shè)） de Broglie關(guān)系 具有確定動量的 自由粒子 被一 平面波 所描 述 pk? hP? ?2k ??? ?? ?波 數(shù) ， ( ) ( )i k r t i p r E tA e A e?? ? ?? ? ? 將粒子所具有的微粒性和波動性統(tǒng)一起來 ， 這在經(jīng)典物理學(xué)中看來是不可能的 ， 因 經(jīng)典粒子 經(jīng)典波 √ 原子性 （ 整體性 ） 實在物理量的空間分布 軌道 √ 干涉 ， 衍射 這兩者是不相容的 。這時如果我們在后障上各處布滿檢測器，則會發(fā)現(xiàn)，每次只有一個檢測器發(fā)出咔噠聲。 直到 1970年代才有人發(fā)表干涉實驗的結(jié) 果。 上世紀九十年代中后期的 “ 哪條路檢測器 ” 實驗結(jié)果是，每個電子都只穿過一條縫 ,從未觀察到某個電子同時穿過兩縫的情況。 電子是以它自己的獨特方式穿過雙縫的。這樣 ,粒子的波動性只是反映了微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性。 這就是波函數(shù)的 幾率詮釋 ,也就是物質(zhì)波的幾率詮釋，是 M. Born研究散射問題時提出的。因此， 波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不確定性。 滿足，即 2|| dr???1A因此波函數(shù) 例：已知基態(tài)氫原子的電子由波函數(shù) 0( ) e x p ( )rrCa? ??描寫，試計算歸一化常數(shù) C。那么 ,測量粒子的其它物理量例如 動量 ,能量及角動量 等 ,情況將如何 ?先討論動量。由以上討論可以看出： r當 ( , )rt? 給定后， ( , )pt? 就可由 (3)式完全確定， 反之，當 ( , )pt? 給定后， ( , )rt? 就可由 (4)式 確定。在同一時刻，粒子只可能有在一定限度以內(nèi)的比較確定的動量和比較確定的位置。 賦予粒子以精確位置和動量的想法值在作用量子可以忽略的程度內(nèi)，也就是在經(jīng)典理論成立的范圍內(nèi)，才是正確的。但 波函數(shù)本身不是直接的可觀測量 ， 當微觀粒子處于某一狀態(tài)時，粒子的力學(xué)量一般不具有確定的值，而是具有一系列的可能值，每一可能值以一定的幾率出現(xiàn) 。 2( , )pt?p2 *( , ) ( , ) ( , )p p t p d p p t p p t d p? ? ?? ? ? ???( , )rt?給出。按照德布羅意關(guān)系，波長越短，動量越大。dinger）方程 ?Schr246。為了做到這一點，我們必須知道決定 隨 t變化規(guī)律的方程式。 關(guān)于 算符 的概念，將在后面章節(jié)中作系統(tǒng)介紹。在非相對論（低能）情形下，實物粒子（ m≠0）沒有產(chǎn)生或湮滅的現(xiàn)象，所以在隨時間變化的過程中，粒子數(shù)目將保持不變。 eJ eJ?同理可得出量子力學(xué)中 （統(tǒng)計意義上） 的質(zhì)量 守恒定律： 00mmmmSJtd r J d St????? ? ? ???? ? ? ?? ??（ 微分形式 ） （ 積分形式 ） 補記： 只有大量相同粒子處在相同狀態(tài)，用同樣波函數(shù) 描述 ， 才 可以把 |Ψ|2 解釋成 粒子密度 ，如每個粒子帶電荷 q，于是 q|Ψ|2 代表 電荷密度 ， 代表電流密度 ，故如有大量的粒子處于完全相同狀態(tài)，則波函數(shù)將具有實在的物理意義而伸