【正文】 fy(y1) dydx = 1/4*(x3)*(x+1)/(x1)^2 時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由 決定： 時(shí) , 函數(shù)嚴(yán)格遞增 , 時(shí) , 遞減， 為極大點(diǎn)， 為極小點(diǎn)。 與弦的位置關(guān)系 。 對(duì)已知的函數(shù) , 希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度 . 三 Taylor( 1685— 1731 )多項(xiàng)式 : 分析前述任務(wù)，引出用來(lái)逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式 定義 Taylor 多項(xiàng)式 及 Maclaurin 多項(xiàng)式 四 Taylor 公式和誤差估計(jì) : 稱 為余項(xiàng) . 稱給出 的定量或定性描述的式 為函數(shù) 的 Taylor 公式 . 1. 誤差的定量刻畫 ( 整體性質(zhì) ) —— Taylor 中值定理 : 定理 設(shè)函數(shù) 滿足條件 : ⅰ ) 在閉區(qū)間 上 有直到 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 。 2176。 例 3 設(shè) 在 上可導(dǎo)， ，并設(shè)有實(shí)數(shù) A＞ 0，使得≤ 在 上 成立，試證 證明 ： 在 [0， ]上連續(xù)，故存在 ] 使得 = =M 于是 M= ≤ A ≤ ≤ 。 推論 4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上可導(dǎo) , 且 ( 證 ) 定理 ( Darboux ) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上可導(dǎo)且 . 若 為介于 與 之間的任一實(shí)數(shù) , 則 這就證得 在區(qū)間 I上任何兩點(diǎn)之值相等。拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據(jù)不同問(wèn)題的特 點(diǎn)，在不同場(chǎng)合靈活采用： 注 5176。 證明：因?yàn)?在［ a,b］上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用 M 與 m表示，現(xiàn)分兩種情況討論： (i)若 M = m , 則 在［ a,b］上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成 立。這就把一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和周圍的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)，就能在運(yùn)動(dòng)中把握運(yùn)動(dòng)；取差其實(shí)就是對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)作了分割，一分割就使勻”和“不勻”這 對(duì)矛盾的兩個(gè)方面發(fā)生了轉(zhuǎn)化：整體上的“不勻”，轉(zhuǎn)化為局部的“勻”，然后“以勻代替不勻”求出平均速度 。在物理學(xué)中導(dǎo)數(shù) yˊ也常用牛頓記號(hào) y` 表示，而記號(hào) 是萊布尼茨 首先引用的。 如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是： 定理 若函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，則 存在的充分必要條件是： 都存在，且 = 。 前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù) .因此我們有下述定理： 定理 一切基本初等函數(shù) 都是定義域上的連續(xù)性函數(shù) . 由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到 ,所以有： 定理 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù) . 第五 部分 導(dǎo)數(shù)與微分 167。 167。 設(shè) ，且 則 ，對(duì)任給的 可在 的兩側(cè)各取異于 的兩點(diǎn) （ ），使它們與 的距離小于 （參見(jiàn)上圖） . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 32 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 設(shè) ，由函 數(shù)的嚴(yán) 格遞增 性， 必分別落在 的兩側(cè)，即當(dāng) 時(shí)，令 ， 則當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 的值必落在 之間，從而 . 應(yīng)用單側(cè)極限的定義，同樣可證 在區(qū)間端點(diǎn)也是連續(xù)的。 2 給出證明 . 推論：（有界性）若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上有界。 例 因連 續(xù) ，可推出多項(xiàng)式函數(shù) 和有理函數(shù) 為多項(xiàng)式）在定義域的每 一點(diǎn)連續(xù)。 3） 左、右極限至少一個(gè)不存在 據(jù)此，函數(shù) )(xf 的間斷點(diǎn)可作如下分類： 間斷點(diǎn)及其分類 1）、可去間斷點(diǎn) 對(duì)于情況 1），即若： （存在），而在點(diǎn) 無(wú)定義，或有定義但 ，則稱： 為可去間斷點(diǎn)（或可 去不連續(xù)點(diǎn)）； 三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 定義 若函數(shù) 在區(qū)間 I 上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 為 I 上的連續(xù)函數(shù) ,對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性 則按左、右連續(xù)來(lái)確定。 第 3）種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷 ，我們稱這種情況即： )()(lim 0xfAxfxox ??? 時(shí)， 在 處連續(xù)。 充分性 設(shè)數(shù)列 且 。 下證 。如在 定理 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某空心右鄰域 有定義。這類函數(shù)極限的精確定義如下： 定義 2（函數(shù)極限的 定義）設(shè)函數(shù) 在 某個(gè)空心鄰域 內(nèi)有定義， 為定數(shù)。因此，當(dāng) 趨于 時(shí)函數(shù) 以 為極限意味著： 的任意小鄰域內(nèi)必含有 在 的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。 下面我們通過(guò)圖示，對(duì)數(shù)列定義作幾點(diǎn)說(shuō)明： （ 1） 的任意性 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 11 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 （ 2） 的相應(yīng)性 三、用極限定義證明 的例題 2. 數(shù)列極限的等價(jià)定義 : 對(duì) 對(duì)任正整數(shù) 167。記作 定義 3 設(shè) S是 R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條： （ 3） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集 S 的下界； （ 4） 對(duì)任何 存在 使得 （即 是 S的最大下界） 則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的下確界。 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 的 位不足近似值規(guī)定為： ； 的 位過(guò)剩近似值規(guī)定為： 比如 ，則 , , , , 稱為 的不足近似值； , , , , 稱為 的過(guò)剩近似值。 例如： 記為 ； 0 記為 ； 記為 實(shí)數(shù)大小的比較 定義 1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 其中 為非負(fù)整數(shù)， 。 等都是無(wú)界數(shù)集 , 例 證明集合 是無(wú)界數(shù)集 . 證明：對(duì)任意 , 存在 由無(wú)界集定義， E 為無(wú)界集。 例 是無(wú)界函數(shù)。 一般地，當(dāng) 趨于 時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下： 定義 1 設(shè) 定義在 上的函數(shù)， 為定數(shù)。 或 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義 1 相仿，只須把定義 1中的“ ”分別改為“ ”或 “ ” 即可。如在例 3 中可取 或 等等?，F(xiàn)以這種類型為例敘述如下： 定理 設(shè) 是定義在 上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。 定理 （柯西準(zhǔn)則）設(shè) 在 內(nèi)有定義。 第四 部分 函數(shù)連續(xù)性 167。既左在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)00000)()()(lim)()(lim)()(lim)(000xxfxfxfxfxfxfxfxxfxxxxxx?????????????????） 定理 的等價(jià)的否定敘述： 函數(shù) 在 點(diǎn)不連續(xù)的充分必要條件為： 在 點(diǎn)或不左連續(xù)或不右連續(xù)。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 內(nèi)容 ： 1 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 3 反函數(shù)的連續(xù)性 4 一致連續(xù)性 重點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性；一致連續(xù)性 . 一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 根據(jù)函數(shù)的在 點(diǎn)連續(xù)性，即 可推斷出函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)的性態(tài)。如 在 上既無(wú)最雪林雨荷，一生承諾！ ！ 27 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 大 值 又 無(wú) 最 小 值 ， 又 如 (4)在閉區(qū)間上也無(wú)最大、最小值。 。 這里要特別注意逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。 2例 4 知 這表明 在 連續(xù) .現(xiàn)任取 .由定理 得 . 令 則當(dāng) 時(shí)有 ,從而有 . 這證明了 在任一點(diǎn) 處連續(xù) . 當(dāng) 時(shí) ,令 ,則有 ,而 可看作函數(shù) 與的復(fù)合，所以此時(shí) 亦在 上連續(xù)。但是可導(dǎo)僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比如：函數(shù) 在 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。此時(shí)對(duì)每一個(gè)χ∈ I，都有 的一個(gè)導(dǎo)數(shù) （或單側(cè)導(dǎo)數(shù)）與之對(duì)應(yīng)，這樣就定義了一個(gè)在 I上的函數(shù)，稱為 在 I上的導(dǎo)函數(shù)，也簡(jiǎn) 稱為導(dǎo)數(shù)，記作 等 . 即 . 說(shuō)明： 1176。 導(dǎo)數(shù)概念的建立是高等數(shù)學(xué)常用的方法，下面我們總結(jié)一下這個(gè)過(guò)程，這對(duì)我們認(rèn)識(shí)、掌握高等數(shù)學(xué)的思維方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)是很有幫助的。 167。 注 3176。由推論 3 可知：在區(qū)間 I 上的導(dǎo)函數(shù) 在 I 上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 47 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。 (iv) 則至少存在一點(diǎn) 使得 柯西中值定理的幾何意義 曲線 由參數(shù)方程 給出，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切線， 則 上存在一點(diǎn) P 處的切線平行于割線 .。 拉格朗日中 值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。 二 . 型不定式 極限 : 定理 ( Hospital 法則 ) 若函數(shù) 和 滿足： (i) (ii) 在點(diǎn) 的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且 ； (iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ） 則 注意 1 不存在，并不能說(shuō)明 不存在（為什么？） 注意 2 不能對(duì)任何比式極限都按洛必達(dá)法則來(lái)求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿 足洛必達(dá)法則條件 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 53 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 例 求極限 . ( Hospital 法則失效的例 ) 三 . 其他待定型 : .前四個(gè)是冪指型的 . 167。 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 56 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 ⅱ） 當(dāng) 時(shí) , 為 的一個(gè)極小值點(diǎn) . 證法一 當(dāng) 時(shí) , 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi) 與 異號(hào) ,…… 證法二 用 Taylor 公式 展開到二階 , 帶 Peano 型余項(xiàng) . 二 最大值最小值 先看三個(gè)函數(shù)的圖象 (c61) 由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點(diǎn)處，不可導(dǎo)點(diǎn)處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點(diǎn)。 例 1 作函數(shù) 圖象 1 函數(shù)定義域 2 該函數(shù)不是奇偶函數(shù)，也 不是周期函數(shù) 3 與軸的交點(diǎn) 與 4 單調(diào)區(qū)間和極值 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 60 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 y=39。 1 不定積分概念與基本積分公式 一 原函數(shù)與不定積分 前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分，由已知函數(shù)利用基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可以求出它的導(dǎo)數(shù)，那自然會(huì) 想到：求導(dǎo)運(yùn)算能否和數(shù)的四則運(yùn)算那樣，知道了 導(dǎo)數(shù) 反過(guò)來(lái)就能求。 y1=diff(y)。 5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn) 一． 凸性的定義及判定： 1． 凸性的定義：由直觀引入 . 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別 . 定義 1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I 上連續(xù) . 若對(duì) I 和 恒有 則稱曲線 在區(qū)間 I 的凸函數(shù) , 反之 , 如果總有 則稱曲線 在區(qū)間 I 的凹函數(shù) . 若在上式中 , 當(dāng) 時(shí) , 有嚴(yán)格不等號(hào)成立 , 則稱曲線 在區(qū)間 上是嚴(yán)格凸 (或嚴(yán)格凹 )的 . 凸性的幾何意義 : 倘有切線，考慮 與切線的位置關(guān)系 。 用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性 。拉格朗日中值定理是溝通 函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。 可以用這種幾何解釋進(jìn)行思考解題： 作為函數(shù)的變形 要點(diǎn)：若 在 [a， b]上連續(xù)，（ a， b）內(nèi)可微，則在 [a， b]上 （ 介于 與 之間） 此可視為函數(shù) 的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo) 數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來(lái)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 注 4176。 1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性 一． 極值概念： 1． 回憶極值的概念和可微極值點(diǎn)的必要條件 : 定理 ( Fermat ) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn) 可導(dǎo)，若點(diǎn) 為 的極值點(diǎn)， 則必有 羅爾