隨機過程與數(shù)學建模(完整版)
【正文】 30分鐘 10 C 1/6 90分鐘 15 三 種病，一名醫(yī)生每天上午和下午分別工作 ，都是早 8點掛的號，上午和下午分別掛多少號最適合？ 平均看一個病人的時間顯然是 35分鐘， 6人。 把隨機向量的概念推廣，一起研究無窮多個隨機變量，就是隨機過程。 例 4 用 x(n,ω )記第 n代生物群體的數(shù)量。 定義： 如果獨立增量過程對任意的 s,t∈ T及任意的 h0,隨機變量 X(t+h)X(s+h)與 X(t)X(s)有相同的概率分布，稱過程是平穩(wěn)的獨立增量過程。 性質(zhì) 2 維納過程是正態(tài)過程 。 (2)具有平穩(wěn)獨立增量 。 一維分布 對任意的 t0,N(t) ～ P(λt)，即 (){ ( ) } . 1 , 2 , .. .!kttP N t k e kk?? ?? ? ?二維分布 對任意的 ts0 { ( ) , ( ) } { ( ) , ( ) ( ) }{ ( ) } { ( ) ( ) }().! ( ) !k j k jtP N s j N t k P N s j N t N s k jP N s j P N t N s k js t sej k j????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????協(xié)方差函數(shù) C(s,t)=λ min(s,t) 相關函數(shù) R(s,t)=λ min(s,t)+λ2st 泊松過程的性質(zhì) 性質(zhì) 1 泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程； 性質(zhì) 2 泊松過程是馬爾可夫過程； 性質(zhì) 3 泊松過程是生滅過程； 性質(zhì) 4 泊松過程是均方連續(xù)、均方不可導、均方可積的二階矩 過程； 性質(zhì) 5 泊松過程是非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)增量過程； N(t)表示 [0,t)內(nèi)出現(xiàn)的事件次數(shù)，用 τ 1,τ 2,…, τ n分別表示 第一、二、 … 、 n次 事件 發(fā)生的時間，稱 τk為事件第 k次出現(xiàn)的 時間，又叫 事件點 ； Tk表示從第 k1次事件發(fā)生到第 k次事件的 等待時間 ，又稱為 點間間距 。 伯努利實驗場合首次成功出現(xiàn)所在的次數(shù)服從幾何分布。 {N(t),t≧0} 是泊松過程的充分必要條件是它的點間間距 Tn,n=1,2,… 相互獨立同指數(shù)分布。E(Y2)。 1 1 1 1 2 211{ ( ) ( ) , ( ) , . . . , ( ) }{ ( ) ( ) }n n n nn n n nP X t i X t i X t i X t iP X t i X t i????? ? ? ? ?? ? ?定義 1 {X(t),t≧ 0},狀態(tài)空間為 E={0,1,2,…} ，如果對于任意 n個時刻 0T1t2…t ntn+1及非負整數(shù) i1,i2,…,i n,in+1 有 則稱 {X(t),t≧ 0}為 連續(xù)參數(shù)馬氏鏈 。 此鏈具有 遍歷性 。 qi， qij統(tǒng)稱轉(zhuǎn)移速度。 l im ( ) 0 , ( , )ij jt p t i j E?? ? ? ? ? ?0 , 1jjjE??????定義 6 如果 {vj,j ∈ E}滿足 0 , 1()jjjEj i ijiEvvv v p t??? ?????????則稱 {vj,j∈ E}為連續(xù)參數(shù)齊次馬氏鏈 {X(t),t≧ 0}的 平穩(wěn)分布 . 0101( , , . . . , , . . . )( , , . . . , , . . . )nnV v v v? ? ? ???引入兩個行向量： V則定義 6的等價描述是 概率分布，且滿足 那么 是平穩(wěn)分布。顯然 0≦ pij(s,t) ≦ 1, ( , ) 1ijjE p s t? ??稱 P(s,t)=(pij(s,t)) i,j∈E 為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣。 定義 對 馬爾可夫過程 {X(t),t∈T}, 條件概率 p(s,t。 (2)具有獨立增量 。 比如酒店使用的玻璃杯，用次數(shù)記錄的壽命。 性質(zhì) 6 設 {N(t),t≧ 0}為參數(shù)為 λ 的 泊松過程， {Tn
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