多元隱函數(shù)求偏導法(完整版)
【正文】 zyxF?????????? yxzyxz；它是一個整體記號，的商與不是從本例可看出： xzxz ????。 ????? ? yzxy zxez2)3( 39。3239。1)0(10c o s)0(0 ?????? ? yee yx0))()(())(s i n ())(2()(2 ????????? ? xyxxyxxyxye xyx2)0(0))0(2( ????????? yye二 . 二元隱函數(shù)情況下求偏導法則 1. 形式 ：三元方程 F ( x , y , z ) = 0 可確定二元隱函數(shù) z = z ( x , y ). 2. 問題 ： 求 z = z ( x , y ) 的偏導函數(shù) z’x ( x , y ) , z’ y ( x ,y ) ， z’’xx ( x , y ) , z’’ xy ( x , y ) ， z’’ yy ( x , y ) 及其在某一定點上的 偏導數(shù)值 . 3. 方法 ： 視 z 為 x 與 y 的二元隱函數(shù)，當計算 z’x 時，方程兩邊 對 x 求偏導，遇到 y 應視為常數(shù)，遇到 z 的函數(shù)，應對 x 作復 合求偏導；當計算 z’y 時，方程兩邊對 y 求偏導，遇到 x 應視為 常數(shù)，遇到 z 的函數(shù)，應對 y 作復合求偏導 . 然后視所得的等式為 關于 z’x 或關于 z’y 的（一元一次）方程，解此方程得出 z’x 或 z’y 的表達式；如欲求的是偏導數(shù)值 z’x ( x0 , y0 ) 或 z’y ( x0 , y0 ) ， 一般 還需利用原方程，先求出 z ( x0 , y0 ) 后，代入 z’x 或 z’y 的表 達式，最后算得 z’x ( x0 , y0 ) 或 z’y ( x0 , y0 ) 。 167。 類似可求出 z’’xx ( x , y ) , z’’ xy ( x , y ) ， z’’ yy ( x , y ) 和 偏導 數(shù)值 . 4. 實例 . (1) 類型一：方程為初等函數(shù)的等式情況 .1 9 8 8()2(。 )32( xzxx zxez ???? ?)32( 39。3239。的意義完全不同與的商與是而 dxdzxzdxdzdxdz ??。 ) , .xyud z u x y z zx y x?????求 若 求 （ 08 年考研） 39。 39。1x d x y d xdz ???? ? ? ? ? ? ???39。 (1 39。39。)(1 )( zy zz y ?? ??????，dyudxudu yx ????。),()),(,(2 yxzyxzxf y????xx zzyz ??????? )(1 ?yy zzyzz ??????? )()( ??dyzyzyxzxfdxzyyxzxfyxzxf])(1)()),(,([])(1)),(,()),(,([221?????????????????dyudxudu yx ?????。 1 )x ???????類型三：求偏導或復合求偏導問題中含有隱函數(shù)情況 (求偏導或復合求偏導與求隱函數(shù)偏導的混合 問題 ） )1,1,0(),()1(2???????xxuyxxyzzyxyxzzyzeu求的隱函數(shù)，與確定的是由方程其中函數(shù)設)1,1,0(),()2( ?????? xux y zzyxzxyy 求，確定的是由如計算如下：其中解： xxxxxxx zzzyeyzeyzeu ????????? 2)()1( 22xxxx zxyyzzx y zzyx ??????????? 1)(）（xyyzzx ?????11xyyzzyeyze xx??????1122xxxx zzyeyzeu ??????? 22下：由隱函數(shù)求偏導計算如其中 xxxxxxxyzyeyzeyzeu???????? 222 )()2(zyxyzyx y zzyx xxxx ???????????? 1)(）（22 zyeyzeuxxxx ???????.1)1(01 1
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