【正文】 ier變換 , ( , 0 ) ( )u x f x?( , 0 ) ( ) .UF???因此 再求 Fourier逆變 ||( , ) ( ) ( 0 ) .yU y F e y??? ???換得到所求的 Laplace方程 Dirichlet問題的解為 1( , ) ( ) d2y ixu x y e F e? ?????? ???? ?1 ( ) d d2y i t i xe f t e t e? ?? ???? ??? ??? ????? ??????()1 ( ) d d2i x t yf t e t?? ???? ?? ???? ????? ??????22() d ( 0 ) .()y f t tyy x t??????????其中 時(shí) , x ?? 0 , 0 .uu x????例 求解沿?zé)o限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)方程的初值 問題 22 0, , 0,uu xttx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??解 設(shè) 對(duì) ( , ) [ ( , ) ] , ( ) [ ( ) ] .U t u x t F f x????FF方程和初值條件兩端取 Fourier變換得 , 2 0 , ( , 0 ) ( ) .tU U U F? ? ?? ? ?求解這個(gè)一階常微分方程初值問題得 2( , ) ( ) ( 0 ) .tU t F e t??? ???由 可知 于是由 例 222 2 4 ( 0 ) .bx be e bb ?? ???? ????F221 41 ,2xt teet??????? ???FFourier變換的 得到熱傳導(dǎo)方程初值問題 (9) 卷積性質(zhì) 設(shè) 1 1 2 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,F f t F f t????FF則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .f f t F F????F證明 由卷積和 Four ier 變換的定義 , 可得1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e t??? ???? ? ??F 12( ) ( ) d ditf x f t x x e t?? ? ? ? ?? ? ? ??????????? 12( ) ( ) d ditf x f t x e t x?? ? ? ? ?? ? ? ???????1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x????? ? ? ???? ? ? ???12( ) ( ).FF???的解為 221 41( , ) ( ) ( )2xt tu x t F e f x et????????? ? ???F2()41 ( ) d ( 0 ) .2xtf e tt??????? ??????例 求解無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的初值問題 22222 0, , 0, 0,uu a x t atx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??( , 0 ) 0 , ,ux xt? ? ? ? ? ? ? ??其中 時(shí) , x ?? 0 , 0 .uu x????解 設(shè) 對(duì) ( , ) [ ( , ) ] , ( ) [ ( ) ] .U t u x t F f x????FF方程和初值條件兩端取 Fourier變換 , 22 0 , ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) 0 .t t tU a U U F U? ? ? ?? ? ? ?求解這個(gè)二階常微分方程初值問題得 11( , ) ( ) + ( ) .22i a t i a tU t F e F e??? ? ? ??再求 Fourier逆變換 , 1( , ) ( , ) d2ixu x t U t e ????????? ?1 1 1 1( ) d ( ) d2 2 2 2i a t i x i a t i xF e e F e e? ? ? ?? ? ? ????? ?? ??? ??????( ) ( )1 1 1 1( ) d ( ) d .2 2 2 2i x a t i x a tF e F e??? ? ? ??? ?????? ??根據(jù) Fourier逆變換的定義， ()1 ( ) d ( ) ,2i x a tF e f x a t?????? ??? ???()1 ( ) d ( ) .2i x a tF e f x a t?????? ??? ???所以無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的初值問題解為 ? ?1( , ) ( ) ( ) .2u x t f x a t f x a t? ? ? ?這表明振動(dòng)的波形是左行波和右行波的迭加 , 實(shí)際上它是 D’Alembert公式的一個(gè)特殊情形 . 求解數(shù)學(xué)物理方程 離散 Fourier變換 本章主要內(nèi)容 線性性質(zhì) 對(duì)稱性質(zhì) 相似性質(zhì) 翻轉(zhuǎn)性質(zhì) 時(shí)移性質(zhì) 頻移性質(zhì) 時(shí)域微分 頻域微分 積分性質(zhì) 卷積性質(zhì) Fourier變換 d 函數(shù)的 Fourier變換 基本性質(zhì) 時(shí)移性質(zhì) 頻移性質(zhì) 微分性質(zhì) 快速 Fourier變換 反演公式 本章的重點(diǎn) 3. Fourier變換在解偏微分方程中的應(yīng)用 2. 離散 Fourier變換 1. Fourier 變換的定義及其性質(zhì) 第七章 完 Peter Gustav LejeuneDirichlet ( ) 德國(guó)數(shù)學(xué)家 . 柏林大學(xué)的教授 , 創(chuàng)始人之一 , 先后給出了 n=5和 n=14時(shí) , Fermat方 1855年 Guass去世后 , 哥廷根大學(xué) 聘任他接任 Guass的位置 . Dirichlet是解析數(shù)論的 程無(wú)整數(shù)解的證明 . 他在分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也 有很多重大貢獻(xiàn) . 1829年得到給定函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)收斂的充分條件 , 1837年證明了絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) Jean le Rond D’Alembert () 法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家 , 被 一個(gè)貧窮家庭收養(yǎng)的棄嬰 . 他是 18世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家 , 在 很多領(lǐng)域取得了成就 , 特別在微分方程和力學(xué)等 方面的貢獻(xiàn)尤為突出 . 可以把它的項(xiàng)重新排列 , 而不改變?cè)?jí)數(shù)的和 , 并 舉例說(shuō)明了條件收斂級(jí)數(shù)沒有這樣的結(jié)論 . 引入 了 Laplace 方程的 Dirichlet 條件 . 。 Wmk=WN.^mk。 % 生成變換矩陣離散 Fourier變換具有如下一些基本性質(zhì) . (1) 線性性質(zhì) 設(shè) 11( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,f n n N??22( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??分別是長(zhǎng)度為 N1和 N2的有限序列 . 記 將 和 補(bǔ)零延拓 12m a x { , } ,N N N? 1()fn 2()fn為長(zhǎng)度均為 N, 即當(dāng) 時(shí) , 11iN n N? ? ? ?? )( ) 0 1 , 2 .if n i??12 12( ) D FT [ ( ) ( ) ] ,ffF k f n f na? a?? ??11( ) D F T [ ( ) ] ,F k f n?則 12 12( ) ( ) ( )ffF k F k F ka? a?? ??如果 是常數(shù) , 并且 ,a?22( ) D F T [ ( ) ] ,F k f n?? )0 , 1 , 2 , , 1 .kN??線性性質(zhì)可由離散 Fourier變換的定義直接證明 . (2) 卷積定理 設(shè) 和 1()fn 2 ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長(zhǎng)度為 N 的有限序列 , 將序列 和 補(bǔ)零 1()fn 2()fn延拓為 的長(zhǎng)度 2N1, 仍記 和 12( ) ( )f f n? 1()fn 2( ).fn如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1 , 2 ) ,iiF k f n i??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??? )0 , 1 , 2 , , 2 2 ,kN??則 ? )12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 2 2 .F k F k F k k N? ? ?證明 對(duì) 根據(jù)離散 Fourier變換 0 , 1 , 2 , , 2 2 ,kN??和有限序列卷積的定義 , 取 于是 221 ,i NWe ?? ??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??2 2 2 21200( ) ( )NNnknmf m f n m W??????????????2 2 2 2()1200 ( ) ( ) .NNm k n m kmnf m W f n m W???????由于 和 的實(shí)際長(zhǎng)度為 N, 所以 1()fn 2()fn1 2 2()120 ( ) ( ) ( )NNm k n m km n mF k f m W f n m W?????????1 2 21200( ) ( )N N mm k kmf m W f W ???? ? ???? ??111200( ) ( )NNm k kmf m W f W ???????? ??2 2 2 21200( ) ( )NNm k kmf m W f W ???????? ??12( ) ( ) .F k F k?例 設(shè) ? ?12 1( ) 1 , 0 , ( ) 1 , ( 0 , 1 ) .2f n f n n??? ? ?????求 ? )12( ) D F T [ ( ) ( ) ] 0 , 1 , 2 .F k f f n k? ? ?延拓為 和 容易求出 ? ?1 ( ) 1 , 0 , 0fn ? 21( ) 1 , , 0 .2fn??? ????123 1 1( ) { 1 , 1 , 1 } , ( ) , ( 3 3 ) , ( 3 3 ) .2 4 4F k F k i i??? ? ? ?????于是根據(jù) 可得 (2 ) 卷積定理 設(shè) 和1()fn 2 ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長(zhǎng)度為 N 的有限序列 , 將序列 和 補(bǔ)零1()fn 2()fn延拓為 的長(zhǎng)度 2 N 1, 仍記 和12( )( )f f n? 1()fn 2( ).fn如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1 , 2 ) ,iiF k f n i??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??? )0 , 1 , 2 , , 2 1 ,kN??則 ? )12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 2 1 .F k F k