【正文】 D F C E? ? ?由，有 0030 , 2 0 .2D F C E x y? ? ?即 ① 又由 00 3,.32 2xyCE E F ??得 ② 聯(lián)立①、②，解得00 3 6 4 8 3 6 4 8 3 6 4 8, . , , 0 , , 4 .2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5x y F A F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 ， 得 因?yàn)?3 6 4 8 3( 2 ) 02 5 2 5 2A F C E ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,故 AF CE? ,又因 DF CE? ,所以 DFA? 為所 求 的 二 面 角 AECB 的 平 面 角 . 因 3 6 4 8, , 0 ,2 5 2 5DF ????????有 26 223 6 4 8 1 2 , 4 ,2 5 2 5 5D F A D? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?所以 5ta n .3ADAFDDF?? 因此所求二面角 AECB的大小為 5arctan .3 福建卷 （ 18）（本小題滿(mǎn)分 12 分） 如圖，在四棱錐 PABCD中，則面 PAD⊥底面 ABCD，側(cè)棱PA=PD＝ 2 ，底面 ABCD 為直角梯形，其中 BC∥ AD,AB⊥ AD,AD=2AB=2BC=2,O 為 AD 中點(diǎn) . （Ⅰ）求證： PO⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求異面直線(xiàn) PD 與 CD 所成角的大?。? （Ⅲ）線(xiàn)段 AD 上是否存在點(diǎn) Q，使得它到平面 PCD 的距離為 32 ？若存在，求出 AD 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 本小題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系、異面直線(xiàn)所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算 能力 .滿(mǎn)分 12 分 . 解法一： （Ⅰ）證明：在△ PAD 中 PA=PD,O 為 AD 中點(diǎn)，所以 PO⊥AD, 又側(cè)面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD? 平面 ABCD=AD, PO? 平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD. （Ⅱ）連結(jié) BO，在直角梯形 ABCD 中、 BC∥ AD， AD=2AB=2BC, 有 OD∥ BC 且 OD=BC,所以四邊形 OBCD 是平行四邊形， 所以 OB∥ DC. 由（Ⅰ）知， PO⊥ OB,∠ PBO 為銳角， 所以 ∠ PBO 是異面直線(xiàn) PB 與 CD 所成的角 . 因?yàn)?AD=2AB=2BC=2,在 Rt△ AOB 中， AB=1,AO=1, 所以 OB＝ 2 ， 在 Rt△ POA 中，因?yàn)?AP＝ 2 ， AO＝ 1，所以 OP＝ 1， 在 Rt△ PBO 中， tan∠ PBO＝ 1 2 2, a r c t a n .222PG PBOBC ? ? ? ? 所以異面直線(xiàn) PB 與 CD 所成的角是 2arctan 2 . 27 （Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn) Q，使得它到平面 PCD 的距離 為 32 . 設(shè) QD＝ x，則 12DQCSx? ?，由（Ⅱ）得 CD=OB= 2 ， 在 Rt△ POC 中， 22 2,P C O C O P? ? ? 所以 PC=CD=DP, 233( 2 ) ,42P C DS ? ?? 由 VpDQC=VQPCD,得 2，所以存在點(diǎn) Q 滿(mǎn)足題意，此時(shí) 13AD?. 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OC ODOP、 、 的方向分別為 x軸、 y軸、 z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,依題意，易得 A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以 1 1 0 1 1 1C D P B? ? ?＝ （ ， ， ） ， ＝ （ ， ， ） . 所以異面直線(xiàn) PB與 CD所成的角是 arccos 63 ， (Ⅲ )假設(shè)存在點(diǎn) Q，使得 它到平面 PCD的距離為 32 ， 由 (Ⅱ )知 ( 1, 0 ,1 ) , ( 1,1, 0 ) .C P C D? ? ? ? 設(shè)平面 PCD的法向量為 n=(x0,y0,z0). 則 0,0,n CPn CD? ??????所以 00000,0,xzxy? ? ???? ? ??即 0 0 0x y z??， 取 x0=1,得平面 PCD的一個(gè)法向量為 n=(1,1,1). 設(shè) ( 0 , , 0 ) ( 1 1 ) , ( 1 , , 0 ) ,Q y y C Q y? ? ? ? ?由 32CQ nn ?，得 1 3 ,23y?? ?解 y=12 或y=52 (舍去 )， 此時(shí) 13,22AQ Q D??，所以存在點(diǎn) Q滿(mǎn)足題意，此時(shí) 13AD?. 廣東卷 20．（本小題滿(mǎn)分 14 分） 28 如圖 5 所示，四棱錐 P ABCD? 的底面 ABCD 是半徑為 R 的圓的內(nèi)接四邊形，其中 BD 是圓的直徑， 60ABD??， 45BDC??， PD 垂直底面 ABCD ， 22PD R? ， EF， 分別是 PB CD， 上的點(diǎn)，且 PE DFEB FC? ，過(guò)點(diǎn) E 作 BC 的平行線(xiàn)交 PC 于 G ． （ 1）求 BD 與平面 ABP 所成角 ? 的正弦值；（ 2）證明： EFG△ 是直角三角形； （ 3）當(dāng) 12PEEB? 時(shí)，求 EFG△ 的面積． 【解析】 （ 1）在 Rt BAD? 中， 60ABD??， ,3A B R A D R? ? ? 而 PD垂直底面 ABCD， 2 2 2 2( 2 2 ) ( 3 ) 1 1P A P D A D R R R? ? ? ? ? 2 2 2 2( 2 2 ) ( 2 ) 2 3P B P D B D R R R? ? ? ? ?, 在 PAB? 中， 2 2 2PA AB PB??,即 PAB? 為以 PAB? 為直角的直角三角形。 NMB 1C 1A 1HFECBAO 18 所以 11ta n 5OCO NC ON? ? ?，故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 sin45176。 方法一（綜合法） （ 1） 取 OB 中點(diǎn) E，連接 ME， NE M E C D M E C D?，‖ A B ,A B ‖ ‖ 又 ,N E O C M N E O C D? 平 面 平 面‖ ‖ M N O C D? 平 面‖ （ 2） CD‖ AB, MDC?∴ 為異面直線(xiàn) AB 與 MD 所成的角（或其補(bǔ)角 ） 作 ,AP CD P? 于 連接 MP ??平 面 A B C D ，∵ OA ∴ C D M P 14 x yzNMABDCOP 2,42A D P ???∵ ∴ DP = 22 2M D M A A D? ? ?， 1c o s ,23DPM D P M D C M D PMD ?? ? ? ? ? ? ?∴ 所以 AB 與 MD 所成角 的大小為 3? （ 3） AB 平 面∵ ∴‖ OCD,點(diǎn) A和點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離相等 ，連接 OP,過(guò)點(diǎn) A作 AQ OP? 于點(diǎn) Q， , , ,A P C D O A C D C D O A P A Q C D? ? ? ?平 面∵ ∴ ∴ 又 ,A Q O P A Q O C D?? 平 面∵ ∴ ,線(xiàn)段 AQ 的長(zhǎng)就是點(diǎn) A到平面 OCD 的距離 2 2 2 2 2 1 3 24122O P O D D P O A A D D P? ? ? ? ? ? ? ? ?∵， 22AP P?? 22223322O A A PAQOP? ? ?∴，所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 方法二 (向量法 ) 作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO 所在直線(xiàn)為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N??, (1) 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 OCD 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n O P n O D?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 22(1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n ? ? ? ?∵ M N O C D? 平 面‖ (2)設(shè) AB 與 MD 所成的角 為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 15 1c o s ,23A B M DA B M D???? ? ??∴ ∴ , AB 與 MD 所成角 的大小為 3? (3)設(shè)點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對(duì)值 , 由 (1,0, 2)OB ??, 得 23OB ndn???.所以點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為 23 山東卷 (20)(本小題滿(mǎn)分 12 分 ) 如圖，已知四棱錐 PABCD，底面 ABCD 為菱形， PA⊥平面ABCD， 60ABC? ? ? ,E， F 分別是 BC, PC 的中點(diǎn) . （Ⅰ）證明： AE⊥ PD。 12G E G B B EG F G A A F? ? ? 故 39。 9π2 9.（ 遼 寧卷 14） 在體積為 43? 的球的表面上有 A， B， C 三點(diǎn)， AB=1， BC= 2 ， A， C兩點(diǎn)的球 面 距離為 33? ，則球心到平面 ABC 的距離為 _________． 32 三．解答題： 1.（ 全國(guó)一 18） （本小題滿(mǎn)分 12 分） PP圖 1 2圖 6 （注意： 在試題卷上作答無(wú)效． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側(cè)面 ABC? 底面 BCDE ， 2BC? ， 2CD? ，AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （ Ⅱ ）設(shè) CE 與平面 ABE 所成的角為 45 ，求二面角 C AD E??的大小． 解：（ 1）取 BC 中點(diǎn) F ，連接 DF 交 CE 于點(diǎn) O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2t a n t a n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90O E D O D E? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內(nèi)過(guò) C 點(diǎn)作 AD 的 垂線(xiàn) ，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求 二面角 的平面角． 233A C C DCG AD??， 63DG? ， 22 303E G D E D G? ? ?， 6CE? ，則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C EC G E C G G E??? ? ? ?， 10π a r c c os 10C GE ??? ? ? ? ????，即 二 面角 C AD E??的大小 10π arccos10??? ????． 2.（ 全國(guó)二 19） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABC D A B C D? 中， 1 24AA AB??，點(diǎn) E 在 1CC 上且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ）證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ）求二面角 1A DE B??的大?。? 解法一： 依題設(shè)知 2AB? ， 1CE? ． （ Ⅰ ）連結(jié) AC 交 BD 于點(diǎn) F ，則 BD AC? ． F O G A C D E B 18 題圖 C D E A B A B C D E A1 B1 C1 D1 7 由 三垂線(xiàn)定理 知， 1BD AC? ． 半徑為 4 的球的兩條弦 AB 、 CD 的長(zhǎng)度分別等于2 43， M 、 N 分別為 AB 、 CD的 中點(diǎn)