【正文】 表 52 賭博與對待風(fēng)險的態(tài)度 對待風(fēng)險的態(tài)度 效用函數(shù)的性態(tài) 公平賭博 盈賭 虧賭 風(fēng)險愛好者 凸函數(shù) 賭 賭 不一定不賭 風(fēng)險中立者 線性函數(shù) 可賭、也可不賭 賭 不賭 風(fēng)險規(guī)避者 凹函數(shù) 不賭 不一定賭 不賭 例 3. 擇業(yè) 設(shè)某人面臨兩種工作，需要從中選擇出一種。假定效用函數(shù) U 是嚴(yán)格遞增的（即收入越多，效用越大）。一個人是否喜歡冒險，要看他對待公平賭博的態(tài)度。一個人是否喜歡賭博，這要看他對待風(fēng)險的態(tài)度。如果 )50(uEU? ，那么甲參加賭博的預(yù)期效用大于不賭的效用，甲會參加賭博。那么他們倆人是否要進(jìn)行這場賭博呢？我們作一下分析。再設(shè)抽彩人獲得 i 等獎時，可獲得 iU 個單位的效用，則該彩票的預(yù)期效用為 nnUpUpUpEU ???? ?2211 。用 1EU 表示第一種彩票的預(yù)期效用， 2EU 表示第二種彩票的預(yù)期效用。比如人們可以根據(jù)已有的經(jīng)驗，確定出某種經(jīng)濟(jì)行為的各種可能結(jié)果，并且確定出每種結(jié)果發(fā)生的概率。因此，當(dāng)前是否要超支消費，這是一個不確定的消費選擇問題。又如擇業(yè)，是在國有企事業(yè)單位找一份工作，以求得穩(wěn) 定的（較低）工資收入和安全的社會保障，還是在合資企業(yè)求得一個高薪職位但面臨很大風(fēng)險呢？一個人是把他 (她 )的余款存入銀行以求得安全的低利息收入，還是利用余款購買股票進(jìn)行投資，求得一個高收益但面臨較大風(fēng)險呢？這還是一個帶不確定性的選擇問題。這樣一來，便可計算這種經(jīng)濟(jì)行為的期望值，并利用期望值進(jìn)行分析。根據(jù)概率論的有關(guān)知識可知， 211 )1( UppUEU ??? ， 212 )1( UqqUEU ??? 比較一下 1EU 和 2EU 的大小，如果 21 EUEU ? ，說明第一種彩票的效用期望值更大，因此抽彩人更喜歡第一種抽彩方式，選擇第一種彩票。 預(yù)期效用越大的彩票，抽彩人（消費者）就越偏好于這種彩票。 甲和乙之所以爭論不休，是因為各人有各人的信息，各人有各人的判斷。同樣，如果 )50(vEV? ，那么乙參加賭博的預(yù)期效用大于不賭的效用，乙會參加賭博。我們以賭博為例，來對人們對待風(fēng)險的態(tài)度作一個分析。在公平賭博面前，如果他認(rèn)為賭博的預(yù)期效用EU 大于不賭的效用 )(WU ，即認(rèn)為賭比不賭好，那么他就是一個喜歡冒險的人，稱為 冒險者或者稱為 風(fēng)險愛好者 ；如 果他在公平賭博面前認(rèn)為不賭比賭好 (即 EUWU ?)( )，那么他就是一個不喜歡冒險的人，稱為 避險者 或者稱為 風(fēng)險規(guī)避者 ；如果他在公平賭博面前認(rèn)為賭與不賭是一樣的 (即 )(WUEU? )，那么就稱他是一個 風(fēng)險中立者 。 對于虧賭來說， WER? 。第一種工作是在私營公司里搞推銷，薪金較高，但 是收入是不確定的。 21 ??? 說明，第一種工作雖然收入可高達(dá) 2020元，但風(fēng)險大（即方差大）；第二種工作雖然收入最高只有 1510元，但風(fēng)險?。捶讲钚。?。這就是說，如果消費者對各種風(fēng)險消費選擇有一個評價 (即有一個偏好關(guān)系 )的話，那么這種評價 (偏好 )肯定是根據(jù)某種預(yù)期效用作出的。 抽彩人可以在各種彩票中選擇購買，于是，抽彩人的選擇范圍可以用各種可能的概率分第五章 不確定條件下的選擇 90 布的集合 }1:]1,0[),{( 2121 ?????? nnn ppppppX ?? 來表示。 在不確定的環(huán)境中，人們的選擇依賴于某些自然狀態(tài) (或事件 )的是否出現(xiàn)，而這些自然狀態(tài)出現(xiàn)與否是隨機(jī)的或者不確定的。由于 ? 出現(xiàn)與否不得肯定，因而不能肯定究竟選擇 S 中的哪一個向量。作了這個解釋后，我們可認(rèn)為)(SXXS ?? 。 今后 ,我們把隨機(jī)向量 ? 與它的分布函數(shù) f （或者分布密度函數(shù) ? ）等同看待。對任何 ??? Rxxxx ?? ),( 21 ，用B 表示事件 })1({ xpp ???? ?? ，則根據(jù)全概率公式 )()()()()( cc ABPAPABPAPBP ?? （其中 AAc ??? ）可知， )()1()(}{)1(}{})1({)(})1({()(}))()1((:{xgpxpfxPpxpPAxppPAPAxppPAPxppPcc???????????????????????????????????? 這說明，復(fù)合隨機(jī)向量的概率分布函數(shù)是各個隨機(jī)向量的分布函數(shù)按照概率進(jìn)行的加權(quán)平均。鑒于此，今后就直接把 )(SD 稱為 隨機(jī)選擇集合 ，即視 )(SX 和)(SD 為同樣的集合。因此，如上的預(yù)期效用 )(fEU 實際上給出了消費者在風(fēng)險選擇集合 )(SD 上的一個效用函數(shù)，稱其為 預(yù)期效用函數(shù) 。 更一般地，我們有下面的定義。為此，設(shè) 是風(fēng)險選擇集第五章 不確定條件下的選擇 93 合 )(SD 上的一個偏好關(guān)系。 連續(xù)性公理是拓?fù)湟饬x下關(guān)于偏好連續(xù)性的一般性要求。另外，費希博恩還在這部著作中給出預(yù)期效用的積分表示形式，從而使得預(yù)期效用問題得到了圓滿解決。 g h f b b g a a g f h f ?h (a) 阿基米德公理 (b) 獨立性公理 (c) 連續(xù)性公理 圖 52 預(yù)期效用公理 第五章 不確定條件下的選擇 94 作了這樣的看待后，如果 是 )(SD 上的偏好關(guān)系，那么 同時規(guī)定了消費者在 S 上的偏好關(guān)系。 (2)是說，如果 A 中每個向量對消費者的效用都不比 x 的效用小，那么隨機(jī)選擇 f 的效用也就不比 x 的效用小。 第五章 不確定條件下的選擇 95 第三節(jié) 主觀概率 上一節(jié)解決了風(fēng)險選擇情況下偏好關(guān)系的預(yù)期效用表示問題，建立了預(yù)期效用公理體系，證明了服從這套公理體系的經(jīng)濟(jì)行為背后必然有預(yù)期效用的支持。 象用預(yù)期效用公理體系來推斷預(yù)期效用函數(shù)存在一樣，我們也可以問：關(guān)于選擇 行為的何種公理體系能夠用于推斷主觀概率的存在？即在什么樣的公理體系下，一個人在不確定情況下的選擇行為可以視為他好象根據(jù)某種主觀概率度量的預(yù)期效用來進(jìn)行決策？ 幸運的是，這種公理體系確實存在并且合理似然，它是由薩維奇 1954 年構(gòu)建的， 1972年又對其進(jìn)行了修訂、補充和完善。 用 S 表示一切可能出現(xiàn)的選擇結(jié)果的集合，稱為 確定性選擇 集合 。稱這個行為 x? 為 確定性行為 ，并把 x? 與 x 等同看待。所謂狀態(tài)空間 ? 的一種 分劃 ，是指由 ? 的有限個互不相交的子集構(gòu)成的集族 },{)( 21 mmi FFFFF ??? ，滿足條件 ????? mFFF ?21 。設(shè) X???, ， ??F ， FFc ??? 為 F 的余集。否則，稱 F 是非零事件。 狀態(tài)獨立公理 ． 對任何非零事 件 )(???F ，任何 Syx ?, 及任何 X?? ， x y 當(dāng)且僅當(dāng)),( cFFx ? ),( cFFy ? 。進(jìn)一步，無原子公理與如上所述的各公理一道，蘊含著選擇集合 X 按照序拓?fù)淇沙蔀橐粋€連通的拓?fù)淇臻g。因此，經(jīng)典概率論中總是要求事件域只是樣本空間的一部分子集所組成的集族，然后才要求概率具有可數(shù)可加性。我們看一看如何從這個偏好關(guān)系來測定消費者在賭博評價中的主觀概率 ]1,0[: ??P 。令 ApAP ?)( ，可以證明這樣定義的函數(shù) RP ??: 服從概率的基本性質(zhì)，因而可看作適賭博者的主觀概率測度，也即 ),( P?? 就是賭博者的主觀概率空間。 貝葉斯定律是重要的，它把先驗概率 )(AP (即在觀察證據(jù)前假設(shè)為真的概率 )與后驗概率)( BAP (即在觀察 證據(jù)后假設(shè)為真的概率 )聯(lián)系在一起，成為大多數(shù)理性學(xué)習(xí)行為模型的基礎(chǔ)。對于彩票 C 和 D 來講，購買 D 獲得 500元高額獎金的可能性僅比購買 C 獲得 100元 低額獎金的可能性小 1％，而且 500元與 100元之間的差額不算小，因此購買 D 比購買 C 要好。 賭博 B ：從帶中摸出一球，如果為藍(lán)球，可得 1000元。則 cF 表示摸出的球不是紅球， cG 表示摸出的球不是藍(lán)球。對于這些矛盾，一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為是由于理論的不完善所致，需要建立新的理論或模型來重新解釋經(jīng)濟(jì)行為。顯然，風(fēng)險的大小既與環(huán)境的不確定性程度有關(guān)，又與消費者對待風(fēng)險的態(tài)度有關(guān)。如果注意觀察數(shù)目眾多的投保人，就不難看出這一點。既然 ?RS? ， 同時確定了消費者在確定性選擇集合 S 上的偏好關(guān)系，即把 限制在S 上時所得到的偏好關(guān)系，記作 S ，稱為消費者的 結(jié)果偏好 。 可以看出，在行動 ? 中，風(fēng)險厭惡者的結(jié)果效用函數(shù) SuU? 在 ][?E 處是局部嚴(yán)格凹函數(shù) (如圖 51(b)(本章第一節(jié) )所示 )，即對 ][?E 附近的任何 Syx ?, 及任何 )1,0(?p ， ))1(()()1()())1((]))1([( yppxuyUpxpUyppxUyppxEu ??????????? (c)對待風(fēng)險的中立態(tài)度 . 如果 ][?E ? (即 )(])[( ?? uEu ? )，則稱消費者 在行動 ? 中是一個風(fēng)險中立者 (risk neutral)。喜歡冒險的那些經(jīng)理們，在預(yù)期收益為負(fù)的情況下不甘心，要去冒險；而在預(yù)期收益為正的情況下反倒謹(jǐn)慎起來，采取風(fēng)險較小的行動（本例摘要選自 . MacCrimmon amp。為此，設(shè) X?? ，并稱集合}~:{][ ?? xSxC ?? 為 ? 的 確定性等價類 。因此，在價格體系 p 下， ? 的確定性等價應(yīng)該是 ][?c ，而非其他向量?？梢宰C明，][][ ?pcXpE ? （因為 ][][ ?cXE ? )。若選擇與 ? 效用同等的確定性消費方案，那么最多要指出 ][?pc ?？梢姡瑥南M者角度看，也只有支出最大的向量才能作為風(fēng)險愛好者選擇風(fēng)險行為的確定性等價。風(fēng)險愛好者為了獲得高收入，不惜冒險的代價。作為風(fēng)險厭惡者，決策者首先要考慮的是在保持效用水平不變的情況下，選擇確定性方案至少可獲得多少收益。只要 ][?C 非空，那么就在 ][?C 中存在唯一的向量 ][?c ，它是價格體系 p 下][?C 中支出最小的向量 (如圖 53(a)所示 )，即 ][m in]}[:m in {][ ??? pCCxpxpc ??? 。 二、風(fēng)險的度量 決策者對待風(fēng)險的態(tài)度，反映在他對風(fēng)險行動 ? 和確定性行動 ][?E 的評價上。 可以看出，在行動 ? 中，風(fēng)險中立者的結(jié)果效用函數(shù) SuU? 在 ][?E 處是局部線性函數(shù)(如圖 51(c)所示 )，即對 ][?E 附近的任何 Syx ?, 及任何 )1,0(?p ， ))1(()()1()())1((]))1([( yppxuyUpxpUyppxUyppxEu ??????????? 如果在任何風(fēng)險行動 SX??? 中，消費者都表現(xiàn)出對待風(fēng)險的愛好態(tài)度，那么就稱該消費者是 風(fēng)險愛好者 ；如果在任何風(fēng)險行動 SX??? 中，消費者都表現(xiàn)出對待風(fēng)險的厭惡態(tài)度，那么就稱該消費者是 風(fēng)險厭惡者 ；如果在任何風(fēng)險行動 SX??? 中，消費者都表現(xiàn)出對待風(fēng)險的中立態(tài)度 ，那么就稱該消費者是 風(fēng)險中立者 。 對于 X?? ， ? 的數(shù)學(xué)期望 ][?E 為 S 中的向量。 人們對待風(fēng)險的這些不同態(tài)度，可以用前面建立的預(yù)期效用理論加以準(zhǔn)確地表述。 一、對待風(fēng)險的不同態(tài)度 第一節(jié)例 2 中對賭博的分析，適用于任何風(fēng)險行為的研究。比如人們在某些情況下對判斷距離無能為力，但這不意味著需要發(fā)明一種新的距離概念。計算一下四種賭博的效用： )0()()1 0 0 0())(1()0())(1()1 0 0 0()()()0()()1 0 0 0())(1()0())(1()1 0 0 0()()()0())(1()1 0 0 0()()()0())(1()1 0 0 0()()(uGPuGPuGPuGPDuuFPuFPuFPuFPCuuGPuGPBuuFPuFPAucccc???????????? A 優(yōu)于 B ，即 )()( BuAu ? ，因此 )0())()(()1000())()(( uGPFPuGPFP ??? 。 第五章 不確定條件下的選擇 100 賭博 D ：從帶中摸出一球，若不是藍(lán)球，可得 1000元。 從 )()( BuAu ? 可以推出 )0()5 0 0()1 0 0( uuu ????? 。但要注意，我們并不能由此就說，該理論是對決策者實際行動的確切描述