巧用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式-文庫吧在線文庫
【正文】 79。二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式【例2】證明不等式：x12x＜x2（x≠0）證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x12xx2(x185。⒉利用一元二次方程根的分布證明不等式【例7】設(shè)a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且a＞b＞c，求證：13＜c＜0證明：∵a + b + c=1∴a + b =1c有a2 + b2 + 2ab=1c∴a，b是方程x2(1c)x+c2c=0的兩個實數(shù)根∵a＞b＞c，故方程有大于c的兩個不等的實數(shù)根構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2(1c)x+c2c，則有：236。a+a2+2b22b1，aa2+2b22b1證明：設(shè)f(x)=bx2axb2(b≠0)∵△=(a)22b(b)=a2+2b2＞0∴拋物線與x軸必有兩個交點，其橫坐標(biāo)為x=a177。R+，則（1）（2）（3）bbc+caaab+bacac+aa+cac+ab+aab+bc179。a+c\+c179。R+，則（1）（2）（3）a+ab+bac+ca+aab+bc+ca+++b+bc+cba+ab+bb+++c+ca+acb+bc+cca+ab+bc179。3(c+a)4c+a179。2c，179。q1f(x1)+q2(x2)……（2）2． 凸函數(shù)的幾何特征：如圖，設(shè)A1,A2是凸函數(shù)y=f(x)曲線上兩點，它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)x1x2,x206。q1f(x1)+q2f(x2)+L+qnf(xn)LL(4)其中xi206。q1179。(x)==q2=L=qn=p1，再由Jenson不等式（4）有 npppx+x2+L+xn230。xlnx+ylnyx,y10,x：取f(x)=xlnx，x39。(x1,x2),p39。=1=.ppq由（3）式ln(1p1q11a+b)lnap+lnbqpqpqln(1p1qa+b)又因為lnx在定義域上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以有1p1qa+a+bnan+bn)163。)x2)=p39。xlnx+ylny即有 22x+y(x+y)ln163。163。39。1其中 247。(x1,x2)……（3）x2x13． 凸函數(shù)的判斷凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則在一般教材均有述及，下面是[4]中的一個判別凸函數(shù)準(zhǔn)則： 定理 設(shè)f(x)在(a,b)上二階可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)上是凸函數(shù)的充要條件是f162。(0,1)有……（1）f(tx1+(1t)x2)163。a+b+c\a+ab+ba+b+bc+c+c+ca+ac179。3(a+bacac+c)（由1（2）結(jié)論）證法2：a2+ab+b2179。2cc+c179。R\bbc+c=(b+c)bc3179。第四篇：巧用二元均值不等式證明一組優(yōu)美不等式巧用二元均值不等式證明不等式江蘇省常熟市中學(xué)査正開 215500*** zhazhengkai3二元均值不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。1c＞c239。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2 +(b + c)x +(a + b + c)(a≠0)則f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)?f(1)＜0 ∴f(x)=0有兩個不等的實數(shù)根。由①②③得a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。a163。=a28a+7證明：由已知得237。(,1).函數(shù)當(dāng)y1時，二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸x=+22y2f(x)在[1,+165。++xy，xyxy（Ⅱ）1163。(k+1)(k+2)由基本不等式得222法一：即證所以2k+32k+1179。第二步是在假設(shè)n=k(k≥n0)成立的基礎(chǔ)上，證明n=k+1時命題也成立，這步是“歸納遞推”，沒有這一步就失去了遞推的依據(jù)，如：有位同學(xué)在研究數(shù)學(xué){(n25n+5)2}時，發(fā)現(xiàn)n=1,2,3,4時，都有an=1，由此，他得出an=1(n∈N*)。其實a5=25，這個命題也是不成立的，證明過程是不完全歸納，沒有證明第二步，命題的正確性無法傳遞下去。k+2成立，所以n=k+1時，①②可知，n∈N*，不等式b+1b1+1b
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1