20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第三章2．1兩角差的余弦函數(shù)、2．2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)練習(xí)題含答案-文庫吧在線文庫
【正文】 D． 5π4 或 7π4 (2)已知 cos(α－ β)＝－ 1213， cos(α ＋ β )＝ 1213， 且 α－ β∈ ?? ??π 2 ， π ， α ＋ β∈ ?? ??3π2 ， 2π ，求角 β的值 ． 解： (1)選 C. 因為 α， β 為鈍 角 ， 所以由 sin α ＝ 55 ， 得 cos α ＝－ 1－ sin2α ＝－ 1－ ??? ???552＝－ 2 55 . 由 cos β ＝－ 3 1010 ， 得 sin β ＝ 1－ cos2β ＝ 1－ ??? ???－ 3 10102＝ 1010 . 所以 cos(α＋ β)＝ cos α cos β － sin α sin β ＝ ??? ???－ 2 55 ??? ???－ 3 1010 － 55 1010 ＝ 22 . 又因為 π α ＋ β2π ， 所以 α＋ β＝ 7π4 . (2)由 α－ β∈ ?? ??π 2 ， π ， 且 cos(α － β )＝－ 1213， 得 sin(α－ β)＝ 513. 又由 α＋ β∈ ?? ??3π2 ， 2π ， 且 cos(α＋ β)＝ 1213， 得 sin(α＋ β)＝－ 513. cos 2β ＝ cos[(α＋ β)－ (α－ β)] ＝ cos(α＋ β)cos(α－ β)＋ sin(α＋ β)sin(α－ β) ＝－ 1213 1213＋ ?? ??－ 513 513＝－ 1. 又因為 α＋ β∈ ?? ??32π ， 2π ， α － β∈ ?? ??π 2 ， π ， 所以 2β∈ ?? ??π 2 ， 3π2 ， 所以 2β＝ π ， 所以 β＝ π 2 . 輔助角公式的運用 已知函數(shù) y＝－ acos 2x－ 3asin 2x＋ 2a＋ b， x∈ ?? ??0， π 4 ， 若函數(shù)的值域是 [－ 5，1]， 求常數(shù) a， b 的值 ． (鏈接教材 P120例 3) [解 ] y＝－ a(cos 2x＋ 3sin 2x)＋ 2a＋ b ＝－ 2a??? ???12cos 2x＋ 32 sin 2x ＋ 2a＋ b ＝－ 2acos?? ??2x－ π 3 ＋ 2a＋ b. 因為 x∈ ?? ??0， π 4 ， 所以 2x－ π 3 ∈ ?? ??－ π 3 ， π 6 . 所以 12≤ cos?? ??2x－ π 3 ≤ 1. 當(dāng) a0 時 ， y 最大值 ＝－ 2a 12＋ 2a＋ b＝ 1， ① y 最小值 ＝－ 2a 1＋ 2a＋ b＝－ 5.② 由 ①② 解得 a＝ 6， b＝－ 5. 當(dāng) a＝ 0 時 ， y＝ b 與值 域為 [－ 5， 1]矛盾 ， 所以 a≠ 0. 當(dāng) a0 時 ， y 最大值 ＝－ 2a 1＋ 2a＋ b＝ 1， ③ y 最小值 ＝－ 2a 12＋ 2a＋ b＝－ 5.④ 由 ③④ 解得 a＝－ 6， b＝ 1. 綜上所述 ， a＝ 6， b＝－ 5 或 a＝－ 6， b＝ 1. 方 法歸納 輔助角公式及其運用 公式 asin α ＋ bcos α ＝ a2＋ b2sin(α＋ φ)(或 asin α ＋ bcos α ＝ a2＋ b2cos(α－ φ))將形如 asin α ＋ bcos α (a， b不同時為零 )的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式 ，這樣做有利于三角函數(shù)式的化簡 ， 更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的常用工具 ． 化為正弦還是余弦 ，要看具體條件而定 ， 一般要求變形后角 α的系數(shù)為正 ， 這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì) ． 4． (1)函數(shù) f(x)＝ sin x－ cos?? ??x＋ π6 的值 域為 ( ) A． [－ 2， 2] B． [－ 3， 3] C． [－ 1， 1] D． ??? ???－ 32 ， 32 (2)已知函數(shù) f(x)＝－ 1＋ 2sin 2x＋ mcos 2x的圖像經(jīng)過點 A(0， 1)， 求此函數(shù)在 ?? ??0， π2 上 的最值 ． 解： (1)選 f(x)＝ sin x－ 32 cos x＋ 12sin x ＝ 3??? ???32 sin x－ 12cos x ＝ 3sin?? ??x－ π 6 ， 所以函數(shù) f(x)的值域為 [－ 3， 3]． (2)因為 A(0， 1)在函數(shù) 的圖像上 ， 所以 1＝－ 1＋ 2sin 0＋ mcos 0， 解得 m＝ 2. 所以 f(x)＝－ 1＋ 2sin 2x＋ 2cos 2x ＝ 2(sin 2x＋ cos 2x)－ 1 ＝ 2 2sin?? ??2x＋ π 4 － 1. 因為 0≤ x≤ π 2 ， 所以 π 4 ≤ 2x＋ π 4 ≤ 5π4 . 所以－ 22 ≤ sin?? ??2x＋ π 4 ≤ 1. 所以－ 3≤ f(x)≤ 2 2－ 1. 所以函數(shù) f(x)的最大值為 2 2－ 1， 最小值為－ 3. 思想方法 整體思想的應(yīng)用 已知 sin α cos β ＝－ 12， 則 cos α sin β 的取值范圍是 ( ) A.?? ??－ 1， 12 B.?? ??－ 12， 1 C.?? ??－ 34， 34 D． ?? ??－ 12， 12 [解 析 ] 設(shè) cos α sin β ＝ t， 由 sin α cos β ＋ cos α sin β ＝－ 12＋ t， 得 sin(α＋ β)＝－ 12＋ t； 由 sin α cos β － cos α sin β ＝－ 12－ t， 得 sin(α－ β)＝－ 12－ t. 由???sin（ α＋ β）＝－ 12＋ t，sin（ α－ β）＝－ 12－ t，得????? ??－ 12＋ t ≤ 1，?? ??－12－ t ≤ 1. 所以???－ 12≤ t≤ 32，－ 32≤ t≤ 12，? － 12≤ t≤ 12. [答案 ] D [感悟提高 ] 整體思想在處理三角問題時 ， 主要是指將角度、三角式子看成一個整體 ，在解題時不把它們拆開 ， 也不一定解出 ， 這將減少一些不必要的運算 ， 從而使運算過程簡單、快速地得到正確的解 ． 1． 若 △ ABC 中 ， C＝ 90176。b＝ 4sin?? ??x＋ π6 ＋ 4cos x－ 3 ＝ 2 3sin x＋ 6cos x－ 3 ＝ 4 3sin?? ??x＋ π3 － 3＝ 0， 所以 sin?? ??x＋ π3 ＝ 14， 所以 sin?? ??x＋ 4π3 ＝－ sin?? ??x＋ π3 ＝－ 14. (2)由 (1)知 f(x)＝ 4 3sin?? ??x＋ π 3 － 3， 所以由 f?? ??α－ π 6 ＝ 2 3得 sin?? ??α ＋ π 6 ＝ 34， 又 α∈ ?? ??0， π 2 ， 所 以 α ＋ π 6 ∈ ?? ??π 6 ， 2π3 ， 又因為 22 34 32 ， 所以 α＋ π 6 ∈ ?? ??π 6 ， π 3 ， 所以 cos?? ??α ＋ π 6 ＝ 74 ， 所以 cos α ＝ cos??? ????? ??α ＋ π 6 － π 6 ＝ cos?? ??α ＋ π 6 cosπ 6 ＋ sin?? ??α ＋ π 6 sinπ 6 ＝ 74 32 ＋ 34 12＝ 3＋ 218 . 。 ＝－ 12.
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