【正文】 ?，兩 個 模 糊 數(shù) 和 的 運(yùn) 算 仍 是 一 個 模 糊 數(shù)（ ， ， ， ） ， 其 隸 屬 函 數(shù) 定 義 為由 多 元 擴(kuò) 展 原 理 即 可 得 。 （2) 自 證 ） 。1A2A1X2XY1 1( ) ( ) ( )A A AA R a x bx a bA? ? ?????三 、為 中 的 模 糊 集 ， 若 對 任 ， 有，則 稱 為 一 個 凸 模 糊 集 。[ 0 1 ][ 0 1 ] ()0 1 2()0 ()AAAA X A AAAAAxAxxAxAxxAx??????????????????????????????????????，設(shè) 為 論 域 中 的 一 個 模 糊 集 ， 是 的 截集 ， ， 。 糊 集 及 其 隸 屬 函 數(shù)與 隸當(dāng)函 數(shù) 屬時 ，XAAA XA?? ?111 m a x ( ) 1()( ) ( )( ) ( ) ( )()34( ) (5)AxAXnA A nnA B A BA B A BxxAxX X x xxxAxxA B X x x xA B X x x xA ????? ? ?? ? ???? ??? ? ????????， 當(dāng) 為 有 限 論 域 時 ， ， ， ： 仍 為、 正 則 模 糊 集 ：、 模 糊 集 的 表 示 ：、 模 糊 集 的 運(yùn) 算 ：中 一 個 模 糊 集 ： ： 仍 為 中 一 個 模 糊 集 ：? ?| ( ) [ 0 1 ]1AA A x X x??????? ? ?? 模 糊 集 的 水 平 截 集 ，二 、 模 糊 集 的 分 解 定 理、與水?dāng)U 原 理集張，平 截。分 解證 明 ：定 理 的 意 ： 模 糊 集 可 表 示 為義 普 通 集 的 并 集 。對 任 ， ， 若 ， ， 即 ， 。[],( ) , ( ) ,[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ m i n( ) m a x2(aba a a aA m A w A m wa b c da b c d a c b da b c d a d b ca b c dac ad bc bd ac ad b??? ? ? ? ?? ? ? ? ????任 意 閉 區(qū) 間 ， 是 模 糊 數(shù) ， 稱 區(qū) 間 數(shù) 。， ， ， 當(dāng)（ 1 ） 模 糊 數(shù) 的 參如 ：時 ， 圖 形 如 下 ：、 型 模 糊 數(shù)函 照 數(shù)( ) 0 ( )(0))2)((ILRLRL R ImxL x m aaxxmR x m bbI L R I m a b m Iaba b I m a m aLR???????? ???????????設(shè) 和 為 模 糊 數(shù) 的 參 照 函 數(shù) ， 若 模 糊 數(shù) 的 隸 屬 函 數(shù) 為， ， ，則 稱 為 型 模 糊 數(shù) ， 記 為 ， ， 。對稱的三角模糊數(shù) [ ] ( ) [ ] 0 ( ) ( )1 , [ ]()0,IIIxlx l mmlxux x m umux l um l u m Ixmx m l m lx l???????????????? ?? ? ????????? ? ? ??????在 三 角 模 糊 數(shù) 的 隸 屬 函 數(shù)，， ，中 ， , 即 左 右 擴(kuò) 展 半 徑 相 同 ， 則 稱 為對 稱 的 三 角 模 糊 數(shù) ， 也 可 記 為，其 他1 1 11 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 1 111 1 11 1 1()()()1 1 1()l n ( l n l n l n )()l m uII J l l m m u uI J l l m m u uI l m uIu m lI l m ue e e e? ? ? ??? ? ? ? ???????由 擴(kuò) 張 原 理 可 得 三 角 模 糊 數(shù) 的 運(yùn) 算 如 下 ：（ 其 中 有 些 是 近 似 式 ）加 法 ： ， ，乘 法 ： ， ，數(shù) 乘 ： ， ，倒 數(shù) ： ， ，對 數(shù) ： ， ，指 數(shù) ： ， ，? ? ? ?1 2 81 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8()XAAxxAXA xxx? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?1978 年 ， 扎 德 提 出 了 “ 可 能 性 理 論 ” ， 被 稱 為 模 糊 數(shù)學(xué) 發(fā) 展 的 第 三 個 里 程 碑 。 滿 意 度 函 數(shù) 可當(dāng)劃表 示 為 ：11 0 ni ij j i ijnij j i ijb a x b da x b d????????? ? ????????????當(dāng)當(dāng)112()iinij j BjBimx a xx B iB B B B AX b???????若 記 ， 則 可 圖 示 ：以 為 隸 屬 函 數(shù) 的 模 糊 集 即 第 個 模 糊 約 束 。首 先 求 解 不 加 容 許 量 的 確 定 線 性 規(guī) 劃 ， 得 最 優(yōu) 解， ， ， 再 解 加 了 最 大 容 許 量 ， ，的 線 性 規(guī) 劃 ， 得 ， ， ，例 10 ：解 ：31 544?? 。可 行 域 。最 優(yōu) 區(qū) 間 值 ： ， 。 (2) 方法二 (需要決策者參與 ) 思路： 基于區(qū)間數(shù)的序關(guān)系，將 IvLP化為一確定型 LP并求解。其方法簡單統(tǒng)一，但與統(tǒng)計中的最小二乘法不相容。 圖 示 ：h1111 111111111()( ) ( ) ( ) (jnj i jiiYj ni jiinj i jiini jiinnj i ji i jiiinni ji j i jiiiyxy L LcxyxL L hcxy x L h c xL h c x y x L????????? ?????????????????????????? ? ?? ? ? ? ?????????而 ， 為 單 值 函 數(shù) ， 且 在 對 稱 半側(cè) 單 調(diào) ， 存 在 。 問 題 ：方 離法 ：3 、 一 種 基 于 最 小 二 乘 估 計 的 模 糊 線 性 回 歸12120221 2 1 112220, ) ( ) ( , ) ( ( ) , ( ) ) ,( ( ) , ( ) ) , ( , ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( ) [ 0 1 ] ( 0) 0 ( )B f d A B d A a aB b b A B d A B a ba b f f f d? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ? ??? , 其 中為 的 水 平 截 集 ，1, 是 ， 上 的 增 函 數(shù) ， ， = 。 1212121212 m a x 7 129 4 3604 5 200 3( 1 )10 3000 z x xxxxxxxxxEXEXCCLELE????????????????，調(diào) 出 ， 表 格 如 右 ，依 次 輸 入 ：簡 介（ 例 ：： 開用 求 解頭 不 能注線 性 規(guī) 劃有 負(fù) 號 ） 1 A B x1 2 x2 3 9x1+4x2 =9*B1+4*B2 4 4x1+5x2 =4*B1+5*B2 5 3x1+10x2 =3*B1+10*B2 6 z =7*B1+12*B2 在本課程的內(nèi)容介紹中，最終往往要化為線性規(guī)劃來解決，線性規(guī)劃的計算軟件可以在我們的計算機(jī)系統(tǒng)中很方便地找到。之后，豐田將該方法應(yīng)用于汽車產(chǎn)品設(shè)計； 80年代初，該方法傳入美國，并被福特等首先應(yīng)用。輸 出 變 量 ： ： 住 宅 銷 售 價 格 （ 萬 日 元 ） 。模 糊 輸 出 的 隸 屬 函 數(shù) 為 ： ，即、 可 能 性 線以 證是 以 為 中 心 ， 為 擴(kuò) 展明性 系 統(tǒng)（ 幅 度 ）LR ?的 對 稱型 模 糊 數(shù) 。)(21],[目標(biāo)可近似表示為極小。解* * * *( ) 0 0* * * *( ) 1 1**( ) ( )()() [ ]( 4)()z z x xz z x xzz???????????， 為 最 好 最 優(yōu) 值 ， 相 應(yīng) 為 最 好 最 優(yōu) 解 ； ， 為 最 差 最 優(yōu) 值 ， 相 應(yīng) 為 最 差 最 優(yōu) 解 ；， 為 最 優(yōu) 區(qū) 間 值 。? ?1 2 1 2**0* * * *12**( ) ( )**)0*()**12( ) ( )()()m i n ( ) ( )[]zxz x z xxzxxzz???? ? ? ? ? ??????????? （ 可 證 ： 當(dāng) ， 有 ）， 稱 ， 相 應(yīng) 為 （ 因 相 應(yīng) 于最 大 可 行 域 ） ， ， ， ， 稱 ，相最 好 最 優(yōu) 值 最 好 最 優(yōu) 解最 差 最 優(yōu) 值最 差 最 優(yōu)應(yīng) 或 為 （ 因 相 應(yīng) 于 最 小 可 行 域 ） 。1110 m a x11 0 1 0njjjnij j ijnm j j mjjjz c xa x b i ma x bx j n x????? ? ??? ? ????利 用 模 糊 數(shù) 的 截 集 化 為 區(qū) 間 規(guī) 劃 。0zx100zd?*( ) ( ) ( ) ( )D B C DDDD B C x x x xx B CxxxD?? ? ? ????? ? ?令 ， ， 由 于 表示 了 隸 屬 于 的 程 度 ，求 使 最 大 的故 在 其 中 求 使 最 大 的， 即 。3 ( 1 ) 2???XAA[1] 陳 貽 源 ， 模 糊 數(shù) 學(xué) ， 華 中 工 學(xué) 院 出 版 社 ， 1984[2] 賀 仲 雄 ， 模 糊 數(shù) 學(xué) 及 其 應(yīng) 用 ， 天 津 科 技 出 版 社 ， 1983[3] 汪 培 莊 ， 模 糊 集 合 論 及 其 應(yīng) 用 ， 上 海 科 技 出 版 社 ， 1983[4] 張 振 良 ， 應(yīng) 用 模 糊 數(shù) 學(xué) ， 重 慶 大 學(xué) 出 版 社 ， 1991[5] 寺 野 壽 郎 等 ， 劉 維 仲 等 譯 ， 模 糊 系 統(tǒng) 理 論 及 其 應(yīng) 用 ， 天 津 大 學(xué) 出 版 社 ， 1991[6] 彭 祖 贈 等 ， 模 糊 數(shù) 學(xué) 及 其 應(yīng) 用 ， 武 漢 大 學(xué) 出 版 社 ， 2023[7] 杜 綱