【正文】 作如下分析。 39。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 18 圖 39 雅克比矩陣計算 假設(shè)在如圖 的腿部關(guān)節(jié)中，只有第二個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn) 動微小角度，引起第 N 桿的微小位移和微小轉(zhuǎn)動可得到以下關(guān)系： ? p n=w 2a （ P nP 2） ? q2 ? W n=w 2a ? q2 式 343 根據(jù)以上推導(dǎo)，為每一個桿件都做計算，之后將各個桿件對 N 桿的運動影響疊加 起來，就是 N 桿最終的 運動狀態(tài)： ? P N=??nj pn1? ? W N= nwnj??1? 式 344 本章小結(jié) 本章內(nèi)容是在闡述機(jī)器人相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其中推導(dǎo)了變換矩陣、旋轉(zhuǎn)矩陣的矩陣指數(shù)運算、定義了轉(zhuǎn)動運動、雅克 比矩陣等，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模提供了理論基礎(chǔ)。 圖 44 遞歸算法的編寫 函數(shù)在每次調(diào)用自己的時候就會在結(jié)構(gòu)中向下移動一層，直到無姐妹和子的結(jié)點。根據(jù)以上定義分別編寫函數(shù) a_0 與函數(shù) a_1 來完成操作符轉(zhuǎn)換的任務(wù)。首先將連桿的局部坐標(biāo)系 ?i 的原點設(shè)定到轉(zhuǎn)軸上，這樣在其母連桿坐標(biāo)系中，關(guān)節(jié)軸矢量為 ai ，相對位置矢量（局部坐標(biāo)系原點在母連桿坐標(biāo)系中的位置）為 bi 。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 26 之后根據(jù)已經(jīng)求出的角度值代入連桿姿態(tài)關(guān)系式中： R7=R1Rz（ q2） Rx（ q3） Ry（ q4） Ry(q5+q6)Rx(q7) 式 414 根據(jù)式 49 推導(dǎo)可得： Rz（ q2） Rx（ q5） Ry（ q4） =R1R7{Rx（ q7） }{Ry(q5+q6)} 式 415 式 415 左右兩邊分別展開和計算有： 43345432423245242432423243242CCSCCCSCSSCCSSCCSCSSSCCSSSSCC??????? =333231232221131211RRRRRRRRR 式 416 根據(jù) 416 矩陣得： q2 =atan2(R12 ,R22 ) q4 =atan2(R32 ,R12 S2 +R22 C2 ) q5 =atan2（ R31 ， R33 ） 雅克比矩陣 以 節(jié)中雅克比 方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)作為基礎(chǔ)，運用 MATLAB 建立方程，完成雅克比矩陣的計算。計算生成從準(zhǔn)備步行、步行一個完整周期、最后完成步行并站立，預(yù)定時長為 60 秒。 圖 412 程序流程圖 下面分述以上用到的主要函數(shù)： step_start_ final 函數(shù)： 首先，運用 解析法計算機(jī)器人豎直站立的奇異位姿與非奇異位姿（即雙腿太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 28 微微彎曲的站立狀態(tài)）之間的轉(zhuǎn)換。這里來計算上體高度與行走步長之間的關(guān)系，并測定各個關(guān)節(jié)角度范圍。 第一種方式： 這時，由于雙足在準(zhǔn)備步行之前并不需要調(diào)整兩腳之間的距離，故很適合于機(jī)器人在上體要求平穩(wěn)又需要下肢提供轉(zhuǎn)動角度的情況，但是這樣能夠轉(zhuǎn)動的角度較小。 第二種方式： 雙足在準(zhǔn)備步行之前需要調(diào)整兩腳之間的距離，故適合于機(jī)器人在運動調(diào)整中需要腿部提供上體轉(zhuǎn)動的情況，這樣能夠轉(zhuǎn)動的角度較大。 以上計算出來的關(guān)節(jié)角度結(jié)果需要在 Pro/E 中進(jìn)行仿真，尤其是對極限位置的仿真，過程中就能夠檢測運行過程中的干涉，從而指導(dǎo)機(jī)械實體的建立。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 35 第五章 機(jī)器人模型仿真 鑒于當(dāng)前多種人形機(jī)器人基本結(jié)構(gòu)已經(jīng)定型，常見的人形機(jī)器人主要滿足雙腿十二自由度的配置，并且髖關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)處的運動軸線都相交于一點，只是在形態(tài)長度上有一定的區(qū)別，本論文中建立三維模型基于常見自由度配置，對各個桿件的外形做一定的設(shè)計，使其具有良好的通用性，以便在后期建立機(jī)械實體時，指導(dǎo)其外形尺寸，具有很重要的作用。 圖 54 零件工程圖 機(jī)器人腿部結(jié)構(gòu)的組裝與約束的確定 首先，在 Pro/E 中建立組件 ROBOT_2。這樣定義之后，與第四章 計算的關(guān)節(jié)角度基本能夠?qū)?yīng)，并且驅(qū)動編號也按照規(guī)定的順序來標(biāo)注，以便于測試數(shù)據(jù)的對應(yīng)輸入。 完成以上工作，下一步就可以開始運用 Pro/E 進(jìn)行仿真操作。 圖 57 Matlab 界面 由于仿真針對運動學(xué)運動，因而沒有了模型與地面接觸、摩擦、壓力等關(guān)系，太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 38 故雙足在做模擬運動時，只有相對運動，而不能形成實際中機(jī)器人與地面的相對運動。 圖 55 腿部組裝圖 驅(qū)動的添加 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 37 在 Pro/E 菜單中選擇應(yīng)用程序中的機(jī)構(gòu)，進(jìn)行下一步的運動學(xué)分析。并命名 BODY 待裝配使用。在 MATLAB 中設(shè)計并編寫 GUI 圖形界面完成正逆結(jié)果進(jìn)行了分析和研究。 從實驗結(jié)果來看，對于此時的上體轉(zhuǎn)動角度幾乎沒有的約束，但是在模型中，雙腳不能重疊，故也就存在了極限位置： ? =cos 1? （ ） 式 426 計算得出θ 為 176。用這樣的方法，測得極限角度值為 8. 32064176。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 30 圖 414 時間與關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度 上體旋轉(zhuǎn)一定角度行走 在這里測試的運動狀態(tài)是在行走前的下蹲過程中機(jī)器人已經(jīng)繞 z 軸扭轉(zhuǎn)一定的角度，之后保持轉(zhuǎn)角和對地高度完成行走動作。并且對應(yīng)數(shù)值如表。具體執(zhí)行函數(shù)為 step_start_final。程序界面中分為正運動學(xué)計算和逆運動學(xué)計算。 逆運動學(xué) 運動學(xué)可以用于給定機(jī)器人腿部和身體姿態(tài)后求取對應(yīng)關(guān)節(jié)角度的計算。 矩陣指數(shù)計算旋轉(zhuǎn)矩陣 R=E+a ^sinq+a ^2(1cosq) 式 41 根據(jù)式 41 可以編寫對應(yīng)函數(shù) Rodrigues，如下： 圖 48 旋轉(zhuǎn)矩陣計算函數(shù) 函數(shù) Rodrigues 中的傳遞輸入值為兩個數(shù)據(jù)分別為關(guān)節(jié)軸矢量和關(guān)節(jié)角。下面就一一介紹結(jié)構(gòu)體數(shù)組中的各個變量的定義和分太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 21 配。 圖 41 機(jī)器人腿部結(jié)構(gòu)的分解 每 一個桿件都包含一個關(guān)節(jié)。在機(jī) 器人運動學(xué)和動力學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。圖 (a)就表示了這一旋轉(zhuǎn)運動，轉(zhuǎn)軸 A 通過定點 O，轉(zhuǎn)軸所對應(yīng)的角速度矢量為 ? 。p =w p 式 329 應(yīng)用叉積計算公式可得： w p =?????????????000WzWyWxWzWyWz ??????????PzPyPx 式 330 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 16 用矩陣相乘形式重新編寫速度矢量可得： w p =?????????????000WzWyWxWzWyWz ??????????PzPyPx =Sp 式 331 所得的新矩陣 S，也有很多良好的性質(zhì)。v =39。并且角速度矢量本身也能夠轉(zhuǎn)動，在式 321 兩邊同時左乘旋轉(zhuǎn)矩陣 R 得： Rw =Ra q w =Rw ,a =Ra ， 39。如圖 ，是 繞坐標(biāo)軸 z 軸做的轉(zhuǎn)動。39。 假設(shè)討論一個描述局部坐標(biāo)系姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣，在這個 3 3 矩陣中，是由單位 矢量 ex， ey， ez 構(gòu)成的。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 13 圖 34 矢量轉(zhuǎn)動描述 另一種含義是表示局部坐標(biāo)系的姿態(tài)改變的描述。如圖所示分別展示了側(cè)擺、俯仰和轉(zhuǎn)動的情況。其中可以公式中右側(cè)的兩個齊次變換矩陣的乘積構(gòu)成了一個新的齊次變換矩陣。Ph 的矩陣變換與 節(jié)中的變換相似，可以表示為： ??????139。所以擺動腿端部（腳踝處）的位置可用兩種方式來描述： 在世界坐標(biāo)系 ?w 中表示腳踝的位置為 Ph 在左腿局部坐標(biāo)系 ?a 中表示腳踝的位置為 39。其與大地固定的坐標(biāo)系不同的是，局部坐標(biāo)系是隨著機(jī)器人大腿小腿構(gòu)成的連桿的位姿變化的，是一個可以運動的“動坐標(biāo)系”。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 8 第三章 機(jī)器人學(xué)的基本相關(guān)理論 為了控制雙足機(jī)器人各個肢體的活動位置，我們必要的 定義一個空間中的全局坐標(biāo)系來確定各個部件在空間中的相對位置。這是人體測量的基本要求。對于微型伺服馬達(dá)是指在舵盤上距離輸出軸軸心水平距離 1c m處，微型伺服馬達(dá)能夠拉動物體的重量。各個關(guān)節(jié)通過轉(zhuǎn)動副來完成連接。以此，在腿部自由度的設(shè)計中，只能配置較少自由度的情況下盡量模擬人類腿部運動。 第二章：確定運動方式方法及 自由度配置，驅(qū)動方式的合理選擇及各個零件的尺寸大小和運動范圍大小的選擇。對應(yīng)的驅(qū)動方式有完全約束，過度約束，欠約束狀態(tài)。該機(jī)器人身高 米，體重 76公斤，具有 32 個自由度，每小時能夠行走 1 公里，步幅 米。該機(jī)器人只有踝和髖兩個關(guān)節(jié)，操縱太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 2 者靠力回饋來保持機(jī)器人平衡。其次雙足機(jī)器人具有廣闊的工作空間，由于行走系統(tǒng)占地面積小，活動范圍很大，機(jī)械手的配置使它具有更廣闊的活動空間，難度最高的步行動作是雙足步行，但其步行性的優(yōu)越性與其 它步行結(jié)構(gòu)不可同日而語。 誠信聲明 本人鄭重聲明：本論文及其研究工作是本人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨立完成的，在完成論文時所利用的一切資料均已在參考文獻(xiàn)中列出。因此，雙足機(jī)器人的研究工作可以有力的推動機(jī)器人學(xué)以及其它相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。同期間，南斯拉夫的 Vukobratovic 提出了一種重要的研究雙足機(jī)器人的的理論方法，并研制出全世界第 一臺真正的雙足機(jī)器人。除了能打太極拳，這個機(jī)器人還會騰空行走，并根據(jù)自身的平衡狀態(tài)和地面高度變化，實現(xiàn)未知路面的穩(wěn)定行走?？偠灾?，腿部結(jié)構(gòu)是最需要重點設(shè)計和研究的。 第三章：研究機(jī)器人學(xué)的基本理論，包括坐標(biāo)系的建立，變換矩陣的確定，旋轉(zhuǎn)矩陣的指數(shù)，雅克比矩陣的定義及意義。 根據(jù)自由度的配置，需要髖、踝、膝關(guān)節(jié)的共同作用來完成平穩(wěn)步行。通過轉(zhuǎn)動副便于數(shù)據(jù)的計算，數(shù)據(jù)全為角度。 電壓：工作電壓一般為 4 .8V或 6V 重量：以克為單位，微型 9 g，中型 45 g ~100g 等。 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 6 圖 21 人體的基準(zhǔn)面和基準(zhǔn)軸 靜態(tài)人體測量及肢體尺寸確定 靜態(tài)尺寸研究是研究人體肢體長度的問題。為了便于參考，坐標(biāo)系的初原點設(shè)在機(jī)器人處于正常站立時重心的正下方，然后相對機(jī)器人的視野來定義， X軸指向正前方， Y軸指向左側(cè)， Z軸指向正上方。 坐標(biāo)系是由以髖部作為原點和表示 x、 y 和 z 軸的單位向量組成的。Ph 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 10 而這兩種表示方式 之間的關(guān)系可有式 3式 35 和式 36 聯(lián)立得出： Ph =Pa +Ra 39。Ph =Tb’????????139。 Tb=TaTb’ 式 314 對于以上分析，我們可以做迭代處理而得出更加有用的結(jié)論。 圖 33 側(cè)擺、俯仰和轉(zhuǎn)動情況 下表 中定義了 RPY 組合對應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸、名稱和轉(zhuǎn)動角的代表符號。在坐標(biāo)系中定義一個固定點，在坐標(biāo)系姿態(tài)轉(zhuǎn)換后重新在新的坐標(biāo)系中描述這個定點時用到旋轉(zhuǎn)矩陣，這時研究對象是一個固定點。這三個矢量是兩兩相互垂直的，故他們正交： Eiej=ji ji ??01 式 317 用矩陣的形式重新表示時： 太原工業(yè)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計 14 R’ R=??????????39。39。 圖 35 繞 z軸轉(zhuǎn)動三維物體 以上也用矢量的形式表示： w =??????????100 式 320 這樣就定義了角速度矢量，其中每個元素的單位都是 rad/s。w =39。w 39。所以為了表示方便現(xiàn)在需要定義一種新的計算。剛體上的一點 P 所對應(yīng)的位置矢量為 p ，經(jīng) 過 ? 角度的旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動至 p’ 點（位置矢量為 p 39。 本節(jié)利用機(jī)器人逆運動學(xué)來推導(dǎo)雅克比矩陣。編程時，將每一個結(jié)構(gòu)定義為對應(yīng)的名稱。首先需要對有 12 自由度的仿人機(jī)器人腿部的連桿進(jìn)行編號，每個自由度驅(qū)