10-1-收斂原理與數(shù)項(xiàng)級數(shù)-文庫吧在線文庫
【正文】 .從直觀上 可以這樣理解：兩者的通項(xiàng)雖然都趨于零，但前者通項(xiàng) 趨于零的速度較慢，從而導(dǎo)致部分和不收斂；而后者通 項(xiàng)趨于零的速度較快，保證了部分和收斂 .一般說來，通 項(xiàng)趨于零的速度達(dá)到一定程度，就能保證級數(shù)的收斂性 . 也收斂 ,且其和為 1 1 1, , ( ) ,n n nn k n k n k kk k kA a B b C a b? ? ?? ? ? ?? ? ?記證明 ，則有 nnn BAC ??l i m l i m l i m l i mn n n n nn n n nC A B A B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ ）12SS?? 。1 qa?從而 ,l i m ???? nn S則部分和 因此級數(shù)發(fā)散 . 其和為 2). 若 因此級數(shù)發(fā)散 。 定義 對于給定級數(shù) ，我們把級數(shù)的前 n 項(xiàng)和 稱為級數(shù)的 部分和 . 則稱無窮級數(shù) 收斂 , 并稱 S 為級數(shù)的 和 , 記作 則稱無窮級數(shù) 發(fā)散 . 例 1. 討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù) ) ( q 稱為公比 ) 的斂散性 . 解 1) 若 qqaa n???1從而 qann S ??? ? 1l i m因此級數(shù)收斂 , 。考查 調(diào)和級數(shù) 的收斂性 . 這個級數(shù)的通項(xiàng)趨于零，滿足收斂的必要條件，因而不能立即斷定它收斂或發(fā)散 .根據(jù)柯西收斂原理，我們應(yīng)該考慮形如 顯然，不論 n多大，只要取 P足夠大 (即取項(xiàng)數(shù)足夠多 ),上
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