常微分方程的初等解法與求解技巧-文庫吧在線文庫
【正文】 里，在定義域上是連續(xù)的函數(shù).①如果，則原式變成，故形如的類型通常叫做一階齊次線性微分方程[1].②如果，則原式變成，故形如的類型通常叫做一階非齊次線性微分方程[1].因?yàn)樽兞糠蛛x方程，其通解為：，為任意常數(shù).下面討論形如形式的方程解的求法.由上可知其所對應(yīng)的齊次微分方程的解為：，令 ， （31）兩邊對求導(dǎo)可得： ， （32）將（31），（32）代入中并化簡可得：，兩邊積分得：，其中是任意常數(shù).因此可得原方程的通解為： ，這里是任意常數(shù).這種方法叫做常數(shù)變易法[1].舉例：求解方程.解：該方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程為：，解之得： ，為任意常數(shù).令， （33）兩邊對求導(dǎo)可得： ， （34）將（33），（34）都代到中并化解可得：，因此有： ，從而可以求得該方程的解為：，為任意常數(shù).因此可得原方程的通解為： ，這里為任意常數(shù).定義：形如的類型，并且是常數(shù)，其中，關(guān)于是連續(xù)的，故我們稱為伯努利微分方程[2]．解法：明顯是這個方程的一個解.當(dāng)時，在這個方程兩端同乘得：， （35）于是令 ， (36)兩端對x求導(dǎo)有： ， (37)將(36)等式、(37)等式代到(35)等式里并化簡可得：，從而可以求得該方程的通解.舉例：求方程的解.解：，兩邊同乘得：， (38)令 ， （39)兩邊對求導(dǎo)可得：， (310)將(39),(310)代到(38)并化解變?yōu)椋海? (311)其所對應(yīng)的齊次微分方程為：,其解為： ,為任意常數(shù).利用常數(shù)變易法求解， 令 ， (312)兩邊對求導(dǎo)得：， (313)由等式(311)、 (312)、(313)聯(lián)立并化解可得：，從而可求得其解為：, 其中為任意常數(shù).則 ，其中為任意常數(shù).將原變量代入得： ，故原方程的解為： 或.定義： 一階微分方程可表示為 ，其中，在使，有意義的范圍上關(guān)于，可導(dǎo)且連續(xù)，若，則稱為恰當(dāng)微分方程.判定：判定為恰當(dāng)微分方程等價條件是：.求解：顯然恰當(dāng)微分方程的通解就是其中為常數(shù).由恰當(dāng)微分方程可得： ， （41） ， （42）從關(guān)系式（41）出發(fā)，把看做未知參數(shù)，解這個方程可得：， （43）其中是的任意可微函數(shù).選擇使同時滿
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