第九章曲線積分與曲面積分習題解答詳解-文庫吧在線文庫
【正文】 可求得.所以 .5 求拋物面殼（）的質(zhì)量，此殼的密度為。習題931 當為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?答 當為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，在面上的投影就是，于是有 。（3），其中是曲線從對應于時的點到時的點的一段弧；解 的方程為，則有．的方程為，則 ．所以 ．（4）是從點沿上半圓周到點的一段弧；解 利用曲線的參數(shù)方程計算．的參數(shù)方程為:，在起點處參數(shù)值取，在終點處參數(shù)值相應取0，故從到0．則 =．（5），其中沿右半圓以點為起點，經(jīng)過點到終點的路徑；解 利用曲線的參數(shù)方程計算．的參數(shù)方程為:，在起點處參數(shù)值取，在終點處參數(shù)值相應取，則 。解 設曲線在坐標平面內(nèi)的弧段分別為、曲線的重心坐標為，則曲線的質(zhì)量為．由對稱性可得重心坐標 ．故所求重心坐標為．4. 計算半徑為、中心角為的圓弧對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量（設線密度）. 解: 如右圖建立坐標系，則 .為了便于計算，利用的參數(shù)方程于是 習題921 設為面內(nèi)一直線（為常數(shù)），證明。（8），為橢圓周且從軸正方向看去，取順時針方向。而，因此 。 當取下側(cè)時，上式右端取負號。3 把對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積分，這里為平面在第一卦限的部分的上側(cè)。解 令，則，且線段，由1變化到1，故有 ．其中為所圍成的閉區(qū)域．(4) ，其中為常數(shù)，為圓上從點到點的一段有向??；解 如右圖所示，設從點到點的有向直線段的方程為 ，從變到。（2），其中為柱面及平面及所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。在面上，只有和的投影面積不為零，其它都為零。由曲面積分的計算法，得，，故 。（3），其中和為連續(xù)函數(shù)。5. 求函數(shù)使得.解 由知，可令，則再令，則從而.于是。 解 設所求的環(huán)流量,則其中的參數(shù)方程為于是。五、計算曲面積分,其中是線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面． 解 的方程為，在面上的投影區(qū)域為，且。十、已知曲線的方程為，起點為，終點為，計算曲線積分. (2010 考研 數(shù)學一)解 設曲線，則。五、設具有二階連續(xù)偏導數(shù),是閉曲面的外法線向量, 所圍成的閉區(qū)域為,試證明．證明：令，則方向?qū)?shù) ，而 ，于是由高斯公式，得 。2．計算, 其中為橢圓,其周長為． 解: 。八、設具有一階連續(xù)導數(shù),積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān),試求滿足條件的函數(shù)．解 令，依題意，有，即，故，其中是任意常數(shù)。3．計算,其中為平面在第一卦限中的部分；解 將曲面投影到面上，得投影區(qū)域為，此時曲面方程可表示為，于是。 解 通量 。于是就有 （4） （5）由（4）式得 （6）將（6）式代入（5）式，得 （7）比較（7）式兩邊，得 于是 （其中是任意常數(shù)）代入（6）式便得所求的函數(shù)為 。故可取沿軸上的線段（如右圖所示）積分，即，于是，有 .2 證明下列曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值: (1) ；解 令，則在整個面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。6 利用斯托克斯公式計算下列曲線積分：（1），其中為平面與三個坐標面的交線，其正向為逆時針方向，與平面上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則；解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上側(cè)。解 這里，由高斯公式得。解 由于，其中是在曲線上點處的切線的方向角，故．根據(jù)兩類曲線積
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