點差法求解中點弦問題-文庫吧在線文庫
【正文】 0．由y=x2，①得y39。.. . . ..點差法求解中點弦問題點差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標(biāo)的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。xyDEFO解：（Ⅰ）略： ，（Ⅱ）分析：∵，設(shè)MN的中點為H，則，此條件涉及到弦MN的中點及弦MN的斜率，故用“點差法”設(shè)，直線的斜率為（，則① ② 由①－②得： 又∵，則，∴，從而解得，點在橢圓內(nèi)，則且已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，：直線和直線的斜率之積是定值.證明 設(shè)且，則，（1），（2）得：，.又，（定值）.二、雙曲線過點P(4,1)的直線l與雙曲線－y2＝1相交于A、B兩點，且P為AB的中點，求l的方程．[解析] 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則－y＝1，－y＝1，兩式相減得：(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P為AB中點，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.∴＝1，即所求直線l的斜率為1，∴l(xiāng)方程為y－1＝x－4，即x－y－3＝0.設(shè)A、B是雙曲線x2－＝1上的兩點，點N(1,2)是線段AB的中點，(1)求直線AB的方程；(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？[分析] 要證明A、B、C、D四點共圓，首先判斷圓心所在位置，若A、B、C、D四點共圓，則∵CD垂直平分AB，據(jù)圓的性質(zhì)知，圓心在直線CD上，∴CD中點M為圓心，只要證明|AM|＝|MB|＝|CM|＝|MD|即可．[解析] (1)依題意，可設(shè)直線AB方程為y＝k(x－1)＋2，由得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k2)－2＝0①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵xx2是方程①的兩個不同的實根，所以2－k2≠0.由韋達(dá)定理得，x1＋x2＝.由N(1,2)是AB的中點得，＝1.即k(2－k)＝2－＝1，∴直線AB的方程為y＝x＋1.(2)由得x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.∴A(3,4)，B(－1,0)．∵CD是線段AB的垂直平分線，所以CD所在直線方程為y＝－x＋3.得x2＋6x－11＝0.設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點為M(x0，y0)．由韋達(dá)定理，得x3＋x4＝－6，x3x4＝－11.從而x0＝(x3＋x4)＝－3，y0＝－x0＋3＝6.|CD|＝＝＝＝4，|CM|＝|MD|＝2.∵|MA|＝|MB|＝＝2.∴A、B、C、D四點到M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓．已知雙曲線的方程為x2－＝1.試
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