【正文】 (2 ??(515) （平面應(yīng)力） (516) )1(12yxx E ??????????xyxy E ??? )1(2 ??)1(12xyy E ??????????（平面應(yīng)變） （ 假定： 小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性） 三、平面問題的基本求解方法及基本方程 思路： （ 1）按位移求解 以位移 u、 v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余 6個(gè)量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、 v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。 （ 2） 級(jí)數(shù)求解計(jì)算工作量很大，通常由有關(guān)計(jì)算軟件求解，如：MathCAD、 Matlab、 Mathematica等。 )(1 yf類似于上面的運(yùn)算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解： (d) 顯然，將式 (c) 與 (d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)： )chshchsh(c o s),( yyDyyCyByAxyx ?????? ??????????????????????????????1)chshchsh(c o smmmmmmmmmm yyDyyCyByAx ?????)chshchsh(s i n),( yDyyCyyByAxyx ?????? ????(e) 取 和 的一系列值，即?。? ? ??? ?? m??,m? )( ??m將由此構(gòu)成的 加起來，有 ),( yx?)chshchsh(c o s yyDyyCyByAx ????? ?????????????1s in ( s h c h s h c h )m m m m m m m m mmx A y B y C y y D y y? ? ? ? ? ???? ? ? ??(38) 顯然，式 (38) 滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。 167。 應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為： 3223 eyc x yybxax ?????例： 圖示矩形板，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問題。 ?因次分析法（量綱分析法）： ?g?g?x y O 楔形體，下部可無限延伸。 —— 沿水平方向線性分布，與材力中 偏心受壓公式 算得結(jié)果相同。此時(shí)有： 022???? yx ??)(1 xfy ????)()( 21 xfxyf ???)(),( 21 xfxf 為待定函數(shù)，由相容方程確定。 應(yīng)力函數(shù)常可表示為： )()(),( ygxfyx ??設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個(gè)函數(shù)。 xyyx ??? ,? ?04 ?? ??求解方法： 逆解法 （ 1） 根據(jù)問題的條件 （幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等）， 假設(shè)各種滿足相容方程（ 227）的 φ(x,y) 的形式； （ 2） 然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（ 226），求出 （具有待定系數(shù)）； xyyx ??? ,（ 3） 再利用應(yīng)力邊界條件式（ 218），來考察這些應(yīng)力函數(shù) φ(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù) φ(x,y) 可以求解什么問題。 （ 3） 與材力中相同。,2 qhy y ???? ?。 63 簡(jiǎn)支梁受均布載荷 要點(diǎn) —— 用 半逆解法 求解梁、長(zhǎng)板類平面問題。 （ 2） 若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù) E、 μ作相應(yīng)替換。 )()( 12 yfxfxEIM ?????整理得： 0)()( 21 ????? xfyfxEIM（僅為 x 的函數(shù)） （僅為 y 的函數(shù)） 要使上式成立，須有 ???? )(2 xfxEIM???? )(1 yf(e) 式中： ω為常數(shù)。 （ 4） 特例： 44 eyax ???212 eyx ??0?xy?212 axy ??（須滿足： a + e =0） 總結(jié)： （多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)） ?（ 1） 多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。 例： x y 0?0?xyyx 0),( ?? ?202),( yyx?? ?3. 三次多項(xiàng)式 （ 1） 3223 dyc x yybxax ????? 其中 : a、 b、 c 、 d 為待定系數(shù)。 目的： 考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù) φ(x,y) ，能解決什么樣的力學(xué)問題。 167。 65 級(jí)數(shù)式解答 167。 (假定： X =Y = 0 。 (2) 若按其它形式分布，如： 則此結(jié)果不精確，有誤差； 但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。 （ 3） （ 4） 用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù) φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解決簡(jiǎn)單 直線應(yīng)力邊界 問題）。 （ 2） 常數(shù)????? EIMx v22??102222 vxxEIMyEIMv ????? ??將下式中的第二式對(duì) x 求二階導(dǎo)數(shù)： 0uyxyEIMu ??? ?說明： 在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。 xyyx ??? ,—— 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)： 數(shù)理方程中分離變量法 。即： 0)()4( ?yf 0)(2)( )2()4(2 ?? yfyf0)()4(1 ?yf對(duì)前兩個(gè)方程積分： GyFyEyyf ??? 231 )(DCyByAyyf ???? 23)((c) 此處略去了 f1(y)中的常數(shù)項(xiàng) 對(duì)第三個(gè)方程得： )(2)( )2()4(2 yfyf ?? BAy 412 ???積分得： 23452 610)( KyHyyByAyf ????? (d) GyFyEyyf ??? 231 )(DCyByAyyf ???? 23)( (c) 23452 610)( KyHyyByAyf ????? (d) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q )()( 1 yfyxfx ???? ?)()()(2 212yfyxfyfx ????(a) (b) 將 (c) (d) 代入 (b) ，有 )()(2 23232GyFyEyxDCyByAyx ????????)610( 2345 KyHyyByA ?????(e) 此處略去了 f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng) 式中含有 9個(gè)待定常數(shù)。 第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。 ),( yx? 04 ?? ?),( yx?由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（ 226），求得應(yīng)力分量 。 又 ∵ q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱， ∴ 不隨 x 變化。求：應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。 x? 的量綱為： 2N/m(b) 由 推理得： 22yx ??? ??? 應(yīng)為 x、 y 的三次函數(shù)。 （ 3） 實(shí)際壩頂 非尖頂 ，壩頂處有其它載荷，故 壩頂處結(jié)果誤差較大 。 ?三、三角形板、楔形體的求解方法 因次分析法（量綱分析法）： ?g?g?x y O 楔形體，下部可無限延伸。試求其應(yīng)力分布。 （屬逆解法） 1. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù) 假設(shè)： )(s in),( yfxyx ?? ?? (a) 式中： ? 為任意常數(shù)，其量綱為 , ? ?1?長(zhǎng)度 )(yf 為 y 的任意（待定）函數(shù)。 66 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷 邊界條件 1. 邊界條件的級(jí)數(shù)表示 上下邊界： ? ? 0?? Hyxy?? ? )(0 xqyy ???? ? ? )(1 xqHyy ????? ? RdyH xxy ?? ?0 0?左右邊界： ? ? 00 ??yxy?? ? 0?? lxx?? ? 00 ??xx?? ? 10 RdyH lxxy ??? ??（ a） （ b） （ c） （ d） 由邊界條件（ c），得 。 基本方程： ???????????????????????????????????????????????????021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE??????（ 520） 位移表示的平衡方程 vvuu ss ?? ,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122??????（ 521） （ 517） 位移表示的應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 （ 2）按應(yīng)力求解 思路： 以應(yīng)力 為基本未知。 mmmmDCBA ,說明： （ 1） 邊界條件（ d）在求解中沒有用到，但可以證明是自動(dòng)滿足的。 有： )(c o s),( 1 yfxyx ??? ??44224444 2yyxx ??????????? ????)(s i n)(s i n2)(s i n )4()2(24 yfxyfxyfx ?????? ?????? ? 0)()(2)(s i n 4)2(2)4( ????? yfyfyfx ???(b) 解上述方程，得 ? ? 0)()(2)( 4)2(2)4( ??? yfyfyf ??其中： A、 B、 C、 D 都是任意常數(shù)， 將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得 ?ychyshyB c hysh)( ???? DyCyAyf ????(c) 再取如下應(yīng)力函數(shù)： y)chyshyB c hysh(s i n),( ?????? DyCyAxyx ?????式中： 也為任意常數(shù) , ?? 為 y 的任意（待定）函數(shù)。 注： 位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。 x? 的量綱為： 2N/m(b) 由 推理得： 22yx ??? ??? 應(yīng)為 x、 y 的三次函數(shù)。 工程應(yīng)用： —— 求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度 ，稱為 安息角 。 2. 邊界條件的利用 (1) x=0 （應(yīng)力邊界）： ? ? gyxx ?? ??? 0? ? 00 ??xxy?gyey ???602 ?? cy 0?c6ge ???代入式（ a），則應(yīng)力分量為： ?g?g?gy?x y O N ??? ?2bxxy 2???gyx ?? ??gybyaxy ?? ??? 26 (b) (2) （應(yīng)力邊界）： ?ta nyx ? 0?? YX? ? ? ?t a n t a n 0x y yx y x ylm ????????? ? ? ?t a n t a n 0x x yxy xylm ? ???? ????cos?l其中： ?sin??將 (b)代入，有 0)t a n2()( ???? ?? bymgyl0)2()( ???? bxmgyl ?0)26()2( ????? gybyaxmbxl ?0)2t a n6()t a n2( ????? gybyaymbyl ???0)2t a n6(t a n2 ????? gbambl ???0t a n2 ?? ?? bmgl)2c os ( ?? ??m代入，可求得： ?g?g?gy?x y O bxxy 2???gyx ?? ??gybyaxy ?? ??? 26(b) ???? 3c o t3c o t6 gga