高考數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和例題詳解-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 、雙曲線和拋物線 2 2 2 2 2 與半徑 r 的大小關(guān)系來(lái)判 平面在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換 (如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向 )叫做 坐標(biāo)變換 .實(shí)施坐標(biāo)變換 時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn) 的坐標(biāo)與曲線的方程 . 坐標(biāo)軸的平移 坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱(chēng)移軸 . 坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn) M，它在原坐標(biāo)系 xOy 中的坐標(biāo)是 9x,y)，在新坐 3 標(biāo)系 x ′O′y′中的坐標(biāo)是 (x′,y′).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) O′在原坐標(biāo)系 xOy 中的坐標(biāo)是 (h,k)，則 h 或 (2) y=y′+k y′=yk 公式 (1)或 (2)叫做平移 (或移軸 )公式 . 中心或頂點(diǎn)在 (h,k)的圓錐曲線方程 中心或頂點(diǎn)在 (h,k)的圓錐曲線方程見(jiàn)下表 . 二、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示 (一 )曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn) 說(shuō)明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) .特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過(guò)程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無(wú)誤 .另外，要求會(huì)判斷 曲線間有無(wú)交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) . 三、 考綱中對(duì)圓 錐曲線的要求： 4 考試內(nèi)容： . 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) .橢圓的參數(shù)方程； . 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； . 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； 考試要求： . (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程； . (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； . (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； . (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。 解：由 2 2 2,得 設(shè)橢圓方程為 設(shè) A(x1,y1).B(x2,y2).由圓心為 (2,1). 2 又 兩式相減，得 又 得 直線 AB 的方程為 即 y 將 y 代入 得 直線 AB 與橢圓 C2 相交 3 由 得 3 解得 故所有橢圓方程 x 6 【例 3】 過(guò)點(diǎn) (1， 0)的直線 l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上且離心率為相交于 A、 B兩點(diǎn)，直線 y= 12 22 的橢圓 C x 過(guò)線段 AB 的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓 C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于 直線 l對(duì)稱(chēng)，試求直線 l與橢圓 C的方程 . 解法一：由 e= 22 ,得 a 2 2 2 12 ,從而 a2=2b2,c=b. 設(shè)橢圓方程為 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在 橢圓上 . 則 x1+2y1=2b,x2+2y2=2b,兩式相減得， (x12－ x22)+2(y12－ y22)=0, . 2 2 2 2 2 2 設(shè) AB 中點(diǎn)為 (x0,y0),則 kAB=－ 12 x02y0 12 , 又 (x0,y0)在直線 y=于是－ x02y0 x 上， y0=x0, =－ 1,kAB=－ 1, 設(shè) l的方程為 y=－ x+1. 右焦點(diǎn) (b,0)關(guān)于 l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為 (x′,y′), 則 解得 由點(diǎn) (1,1－ b)在橢圓上，得 1+2(1－ b)2=2b2,b2=∴ 所求橢圓 C的方程為 解法二：由 e= 916 ,a 2 98 . 8x9 2 169a y 2 2 =1,l的方程為 y=－ x+1. 2 22 ,得 2 12 ,從而 a2=2b2,c=b. 設(shè)橢圓 C 的方程為 x2+2y2=2b2,l 的方程為 y=k(x－ 1), 將 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k2)x2－ 4k2x+2k2－ 2b2=0, 則 x1+x2= 4k 22 ,y1+y2=k(x1－ 1)+k(x2－ 1)=k(x1+x2)－ 2k=－ 2 2 2 . 22 直線 l： y= 12 x 過(guò) AB 的中點(diǎn) (),則 2 2k , 解得 k=0，或 k=－ 1. 若 k=0,則 l的方程為 y=0,焦點(diǎn) F(c,0)關(guān)于直線 l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是 F 點(diǎn)本身，不能在橢圓 C上，所以 k=0 舍去，從而 k=－ 1，直線 l的方程為 y=－ (x－ 1),即 y=－ x+1,以下同解法一 . 7 xa 22 解法 3：設(shè)橢圓方程為 yb 22 直線 l不平行于 y 軸，否則 AB 中點(diǎn)在 x 軸上與直線 故可設(shè)直線 l的方程為 12 x 過(guò) AB 中點(diǎn)矛盾。 【求圓錐曲線的方程練習(xí)】 一、選擇題 1．已知直線 x+2y－ 3=0 與圓 x2+y2+x－ 6y+m=0 相交于 P、 Q 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥ OQ，則 m 等于 ( ) B.－ 3 D.－ 1 2．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為 (0， 177。2,結(jié)合圖形知直線 AB與 C 無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以 Q 為中點(diǎn)的弦不存在 . 【例 4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是 F1(－ 4， 0)、 F2(4， 0)，過(guò)點(diǎn) F2 并垂直于 x 軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 B，且 |F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn) A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差數(shù)列 . (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦 AC 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (3)設(shè)弦 AC 的垂直平分線的方程為 y=kx+m， 求 m 的取值范圍 . 解： (1)由橢圓定義及條件知， 2a=|F1B|+|F2B|=10, 又 c=4,所以 y2 故橢圓方程為 x2 19 95 254 254 (2)由點(diǎn) B(4,yB)在橢圓上，得 |F2B|=
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