【正文】 .},{][ 21 aanx ? 長除法示例 解：由 Roc判定 x(n)是因果序列，用長除法展成 z的負冪級數(shù) az ?ROC2: }0,{ . . . ,][ 12 ?? ??? aanx111?? az...???? ?? 221 zaza) 11 ?? ?az 1 za 1?221 zaaz ??22za.. .??? ?? 221 zazaza 11 ??解：由 Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成 z的正冪級數(shù) 2( ) 1/4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例： ， ，求z反變換解： X(z)的 Roc為環(huán)狀，故 x(n)是雙邊序列 極點 z=1/4對應右邊序列，極點 z=4對應左邊序列 先把 X(z)展成部分分式 16 1() 15 15( 4 ) ( ) 41 / 4 1 / 4X z zz z z z z? ? ?? ? ? ?1 16()15 1 / 44zzXzzz??? ??????＋222334 1616 4 44 zzzzzzzz??? 23144z z z? ? ?1114114 161 141 146 zzzzz????? 12114 1 6zz??? ? ?2 1 2 31 1 1( ) 1 415 4 4X z z z z z z????? ? ? ? ? ? ?????1+16244( ) ( ) ( 1 )15 15nnx n u n u n??? ? ? ? ?20111415 4nn n nnnzz? ??? ? ?? ? ?????????????????線性性 167。 ? 序列的傅里葉變換是序列的 z變換在單位圓上的值 ??? ?????no t h e r w i s e,Nn,( n )Rx ( n ) N0101110 11????????? ?zzzX( z ) NNnn j ωjN ωj ωeeeX?????11)(ωNjωjωjωjN ωjN ωjN ωjj eωN ωeeeeeeeX 2)1(222222)2s i n ()2s i n ()()()(???????????例 計算門序列的 DTFT )2s in ()2s in ()( ???NeX j ?2)1()( ??? ??? N (類似 Sa(.)函數(shù) ) (線性相位 ) 解： DTFT 幅頻特性： 相頻特性： 圖示說明： 零極點圖( N = 8 )Z 平面1? 1jj?)( nRNn0 N 11) ( ? X 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? N=8 N ? 例 已知 ( ),計算其 DTFT。 ?? ???ππ j ωj ωd ω)be)(ae(I111 11 ?? b,aj ωnj ωnbeu ( n )baeu ( n )a ?? ???? 1111解：根據(jù) ?? ?? ???? ? ? ??? ?? debeaenubnua jnjjnn )1)(1( 12 1)()(????222200000????? ???? ?ba|bau ( n ) |bu ( n )aI nnmmnmnnn利用時域卷積定理有： 上式卷積 n=0時就是積分 I的值。1z( ) 1( ) ( ) 1YzH z z aX z az ?? ? ??解：兩邊求 變換，得 11()1 ( 1 c os ) si njjHe ae a j a?? ?????? ? ?2 1 / 2( ) ( 1 2 c os )sina r g[ ( ) ] a r c ta n1 c osjjH e a aaHea??????? ? ????幅度響應：相位響應：2( ) ( ) ( 1 ) ( 2) ...y n x n ax n a x n? ? ? ? ? ?例：設系統(tǒng)的差分方程(0a 1)：110( 1 ) ( )MMkka x n M a x n k???? ? ? ? ??1MM?這就是 個單元延時及 個抽頭加權后相加所組成的電路，常稱之為橫向濾波器，求其頻率響應。 Fourier變換的對稱性質(zhì) 共軛對稱序列： *( ) ( )eex n x n??*( ) ( )oox n x n? ? ?( ) ( ) ( )eox n x n x n??共軛反對稱序列： ? 任意序列可表示成 xe(n)和 xo(n)之和 : *1( ) [ ( ) ( ) ]2ex n x n x n? ? ?*1( ) [ ( ) ( ) ]2ox n x n x n? ? ?其中： 定義： ** 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2j j j jeeX e X e X e X e? ? ? ???? ? ?** 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2j j j jooX e X e X e X e? ? ? ???? ? ? ?其中： ( ) ( ) ( )j j jeoX e X e X e? ? ???()jXe?同樣， x(n)的 Fourier變換 也可分解成： 對稱性質(zhì) 序列 Fourier變換 ( ) ( )jx n X e ?R e[ ( )] ( )jex n X e ?I m [ ( )] ( )joj x n X e ?( ) R e[ ( ) ]jex n X e ?( ) I m [ ( ) ]jox n j X e ?實數(shù)序列的對稱性質(zhì) 序列 Fourier變換 R e [ ( )] ( ) ( )jjex n X e X e???I m [ ( )] 0 ( ) 0joj x n X e ???( ) R e[ ( ) ]jex n X e ?( ) I m [ ( ) ]jox n j X e ?*( ) ( ) ( )j j jeX e X e X e? ? ????實數(shù)序列的 Fourier變換滿足共軛對稱性 R e[ ( )] R e[ ( )]jjX e X e?? ??I m [ ( )] I m [ ( )]X e X e ???實部是 ω的偶函數(shù) 虛部是 ω的奇函數(shù) ( ) ( )jjX e X e?? ??ar g [ ( )] ar g [ ( )]jjX e X e?? ???幅度是 ω的偶函數(shù) 幅角是 ω的奇函數(shù) 167。enx nj ω例： 解： 1） )(2)()(011 0 ωΩπδjXetx FTtj ω ???? ????? ??? DT F Tnj ωenx 0)(1????????mj ω m πωωπeX )2(2)(01 ?)]()([c o s 000 ωΩδωΩδπtω FT ???? ??])2()2([c o s)(0002???????????? ???mD T F Tm πωωδm πωωπnωnx?)(2)(1)( 33 ΩjXtx FT ????? ????? ?? D T F Tnx )(3 ???????mj meX )2(2)(3 ?????2） 3） 167。 T? ??輻射線 ω =Ω 0T 平行直線 Ω =Ω 0 正實軸 ω =0 實軸 Ω =0 Z平面 S平面 Ω : //TT????Ω : 3 / /TT??? ? ?/ 3 /TT???ω : ????ω : ????)()()1( sXzX a與????????????????????????kaksaezksaakTjsXTjksXTzXjksXTsXsT )2(1)(1|)()(1)(??)()()2( ?jXzX a與??????? ???????kaaTjez kTjjXTjXeXzX Tj )2(1)(?)(|)( ?抽樣序列在單位圓上的 z變換，就等于其理想抽樣信號的傅里葉變換 數(shù)字頻率 ?表示 z平面的輻角，它和模擬角頻率 ?的關系為 ?jez ? 在以后的討論中，將用數(shù)字頻率 ?來作為 z平面上單位圓的參數(shù)，即 ss fffT ?? 2????? 所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以 2? ?????????kajez TkjXTeXzX j )2(1)(|)( ????167。 z反變換 ? 實質(zhì)：求 X(z)冪級數(shù)展開式 ?