【正文】 即 ln lny C x?所以齊次方程②的通解為： y Cx? ③ 將上述通解中的任意常數(shù) C換成待定函數(shù) C(x)，將其待入方程①得 ? ? ? ? lnln xx C x x C x x????， 則 ，? ? ? ? ? ? 2l n 1l n l n l n2xC x d x x d x x Cx? ? ? ? ???將 C(x)代入式③ 得原方程的通解： ? ? 2ln2xy x C x??? ? 322 1 .1y y xx? ? ? ??例 求 方 程 的 通 解? ? ? ? ? ? 32 11P x Q x xx? ? ? ??解 ，? ?22 311 1dx dxxxy e x e dx C???????? ? ??????由 公 式 可 得? ? ? ? ? ?23 2111 1x x d x Cx??? ? ? ??? ????? ? ? ?221112x x C??? ? ? ????? ? ? ? ?421 112 x C x??? ? ? ?????例 3 在串聯(lián)電路中 ， 設(shè)有電阻 R， 電感 L和交流電動勢 E = E0sinωt， 在時刻 t = 0時接通電路 ， 求電流 i與時間 t的關(guān)系 （ E0,ω為常 數(shù) ） ． 解 設(shè)任一時刻 t的電流為 i． 我們知道，電流在電阻 R上產(chǎn)生一個電壓降 uR = Ri， LdiuLdt?由回路電壓定律知道 ， 閉合電路中電動勢等于電壓降之和 ， 即 在電感 L上產(chǎn)生的電壓降是 RLu u E??0 s i ndiR i L E w tdt??亦 即0 s i nEd i R i w td t L L??整 理 為① ? ? ? ? 0 s i nERP t Q t w tLL??，式①為一階非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中 利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解： ? ?? ?0002 2 2s ins ins in c o sRRd t tLLRRttLLRtLEi t e e w td t CLEe e w td t CLEC e R w t w L w tR w L? ???????????????????? ? ????02 2 20 0tw L EiCR w L? ?? ?由 初 始 條 件 得 ， ，? ? 02 2 2 si n c osR tLEi t w L e R w t w L w tR w L???? ? ???? ??于 是? ? ? ?1. ny f x? 型 可降階的高階微分方程 特點：方程 y(n) = f(x)的右端僅含有自變量 ． 解法：將兩端分別積分一次，得到一個 n1階微分方程 。 （ 2 ） 當(dāng)6%r ?, 010000A ?元時 , 算出 1 年后 , 本息合計( 1 )A分別為多少 ? （ 3 ） 連續(xù)復(fù)合時 , 總金額()At所滿足的微分方程 . . 3 關(guān)于未來預(yù)測方面 例 在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚 , 該池塘內(nèi)最多能養(yǎng) 1000 尾 , 設(shè)在t時刻該池塘內(nèi)魚數(shù)為()yt是時間t（月）的函數(shù) , 其變化率與魚數(shù)y及1000 y?的乘積成正比（比例常數(shù)為0k ?） . 已知在池塘內(nèi)放養(yǎng)魚 1 00尾 , 3 個月后池塘內(nèi)有魚 25 0 尾 , 試求 : （ 1 ）在 t 時刻池塘內(nèi)魚數(shù)()yt的計算公式 。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的特解 . 2 11 2 1 0 ? ,2?y C x x y y?? ? ? ? ?例 函 數(shù) 是 方 程 的 解 嗎 若 是 解 是 通 解 還 是 特 解2 1 22y x y C x?? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得2 2 2 212 2 1 2 2 1 1 02C x C x C x C x??? ? ? ? ? ? ? ?????2 1 .2y C x? ? ? 是 所 給 方 程 的 解2 12y C x??又 中含有一個任意常數(shù) C，而所給方程又是一階微分方程， 2 12y C x? ? ? 是所給方程的通解 . ? ?12002 1 011xxxy C x C e x y x y yyy???? ?? ? ? ? ? ??? ? ?例 驗 證 是 微 分 方 程 的 通 解 ,并 求 出 滿 足 初 始 條 件 及 的 特 解 .1 2 1 2 2,:x x xy C x C e y C C e y C e? ??? ? ? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得? ? ? ? ? ?2 1 2 1 210x x xx C e x C C e C x C e? ? ? ? ? ?? ?12 10xy C x C e x y x y y?? ?? ? ? ? ? ? ?是 微 分 方 程 的 解12 xy C x C e??又中含有兩個任意常數(shù)，而所給方程又是二階的， 12 xy C x C e? ? ? 是 所 給 方 程 的 通 解 .20 1 1 。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的解 , 顯然 y = x2 + C 也是方程 （ 1） 的解 . （ 2） 如果微分方程的解中所含獨立常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階 數(shù) ， 這樣的解稱為微分方程的通解 . 如 y = x2 + C 是方程（ 1）的通解 . 4． 微分方程的初始條件和特解 （ 1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件； 一般地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為： 0 0xxyy? ?0 0 0 0 1(xxy y x y y? ? ， ， 為 給 定 值 )0 1xxyy?? ?（ 2） 由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解 ， 稱為微 分方程的特解 。 (3) 當(dāng)P ? ? ?時 , 需求量的變化趨勢如何 ? . 2 關(guān)于連續(xù)復(fù)利方面 例 假設(shè)銀行年利率為r，現(xiàn)存入0A元，試分析銀行的利率分別按年復(fù)合、季復(fù)合、月復(fù)合、日復(fù)合及連續(xù)復(fù)合時 : （ 1 ） t 年后 , 總金額()A A t?的計算公式 。再積分 一次，得到 n2階微分方程，連續(xù)積分 n次，便可得到該 方程的通解． 24. xy e x???? ??例 求 微 分 方 程 的 通 解解 將所給方程連續(xù)積分三次，得 ? ? 222 1 ,22xx xy e x d x e C???? ? ? ? ? ? ??23222112 2 4 6xxxxy e C dx e C x C????? ? ? ? ? ? ? ? ??????3222 4 21 2 3 1146118 24 2xxxy e Cx C dxCe x C x C x C C????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ??????? ?2. y f x y?? ?? ， 型特點：方程右端不含未知函數(shù) y 解法：令 y’ = t，則 y″= t’，于是原方程可化為以 t 為未知函 數(shù)的一階微分方程 t’= f(x ,t)． 25 0 .1yy x?? ????例 求 方 程 的 通 解解 令 y’= t，則 y″=