【正文】 案 C A ． 23cos ax? B． ax 6sin ? C． xsin? D． xcos 9．下列結(jié)論中（ A ）不正確． 答案： C A． )(xf 在0xx? 處連續(xù)，則一定在 0x 處可微 . B． )(xf 在 0xx? 處不連續(xù)，則一定在 0x 處不可導(dǎo) . C．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上 . D．若 )( xf 在 [a， b]內(nèi)恒有 0)( ?? xf ，則在 [a， b]內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的 . 10．若函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，則 ( )是錯(cuò)誤的． 答案： B A．函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 處有定義 B． Axfxx ?? )(lim0，但)( 0xfA? C．函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0處連續(xù) D．函數(shù) f (x)在點(diǎn)x0處可微 11．下列函數(shù)在指定 區(qū)間 上單調(diào)增加的是（ ） ．答案： B A． sinx B． e x C． x 2 D． 3 – x （ ）． 答案： A A． x0是 f (x)的極值點(diǎn)，且 f? (x0)存在，則必有 f? (x0) = 0 B． x0是 f (x)的極值點(diǎn)，則 x0必是 f (x)的駐點(diǎn) C ． 若 f? (x0) = 0 ，則 x0 必是 f (x) 的極值點(diǎn) D． 使 )(xf? 不存在的點(diǎn) x0，一定是 f (x)的極值點(diǎn) 三、解答題（每小題 7 分，共 56 分） 1 設(shè) xxy 12e? ，求 y? ． 解 )1(2)1(2)()()( 2121121121212 xexxexexxeexexexy xxxxxxx ?????????????xxx exexe 111 )12(2 ???? 或 ? ?1 1 12212 2 1x x xy x e x e x ex??? ? ? ? ? ????? 2．設(shè) xxy 3cos4sin ?? ，求 y? . 解 24 c os 4 3 si n c osy x x x??? 3．設(shè) xy x 1e 1 ?? ? ，求 y? . 解 21211 112 e1)1(e)1()e( xxxxxyxxx ??????????????? 4．設(shè) xxxy cosln?? ，求 y? . 解 xxxxxxy c oss i n23)c os(l n)( ??????? 或 3 s in 3 ta n2 c o s 2xy x x xx? ? ? ? ? 5．設(shè) )(xyy? 是由方程 422 ??? xyyx 確定的隱函數(shù)，求 yd . 解 對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì) x求微分，得 ? ? ? ?2 2 02222x d x y d y x d y y d xx y d x x y d yxyd y d xxy? ? ? ?? ? ????? 6．設(shè) )(xyy? 是由方程 1222 ??? xyyx 確定的隱函數(shù)，求 yd . 解 原方程可化為 ? ?21xy??， 1, 1x y y x? ? ? ? ? ? ? 1,y dy dx?? ? ? ? ? 7．設(shè) )(xyy? 是由方程 4ee 2 ??? xx yx 確定的隱函數(shù)，求 yd .解：方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求微分，得 20x y ye d x e d y x e d x x d x? ? ? ? ? ?2y x yx e d y e e x d x? ? ? ? 2xyye e xd y d xxe??? ? ?. 8．設(shè) 1e)cos( ??? yyx ，求 yd ． 解：方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求微分，得 ? ?? ?sin 0yx y dx dy e dy? ? ? ? ? ? ?? ?s ins iny xyd y d xe x y??? ?? 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 1． 若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 2lnx ，則 ?)(xf 。 此時(shí)的費(fèi)用為 S（ 2） 10+40=160元 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為 x，∵ S=216 ∴另一邊長(zhǎng)為 216/x ∴總材料 y=2x+3電大微積分初步考試小抄 一、填空題 ⒈ 函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 （－∞， 5） ． 5－ x ＞ 0 → x ＜ 5 ⒉ ??? xxx1sinlim 1 ． 1s inlim ??? x xx ， 01 ??? xx 時(shí)， ⒊ 已知 xxf 2)( ? ，則 )(xf? = 2ln22 ）（x ． ⒋ 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxf d)32( CxF ?? )32(21 ． ⒌ 微分方程 yxxyyx ??????? es in)( 4 的階數(shù)是 三階 ． ∵ y? )2ln( 1)( ?? xxf的定義域是 （ 2， 1） U（ 1，∞ ) ? ? ? ? ? ?1221ln)2(ln2x02ln02 ????????? xxxxx ，＞，＞，＞ ∴ ? ?1 2x| ?且＞x 7. ?? xxx2sinlim0 2 ． 211212 2s inlim2s inlim 00 ??? ?? x xx x xx 21:22 2sinlim0 ??? xxx y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，則 y? (0) = 6 y=x(x1)(x2)(x3)=(x2x)(x25x+6)=x45x3+6x2x3+5x26x =x46x3+11x26x , 622184y 23x ????? xx ?（把0帶入 X） ,6)0( ????y 9. ?? ? xx ded 2 dxxe? 2 )()( xfdxxf ??? ）（ 或 dxxfdxxfd )())(( ?? 1)0(, ??? yyy 的特解為 y=ex . yy?? ydxdy? ?? ??? dxdydxydy y1兩邊積分 e cxy ??? 又 y(0)=1 (x=0 , y=1) cxy ???ln 01 0 ??? ? ce c， 24)2ln( 1)( xxxf ????的定義域是? ? ? ?2,112 ?， ??????????????????????????????????????122122x21ln)2l n (22x20)2(ln0204 2xxxxxxxx＜＜＞＞ ?????????0,0,13s in)(xkxxxxf ,在 0?x 處連續(xù)，則 ?k 1 ． )()(lim 00 xxfxfx ?? ( )(xf 在 x0 處連續(xù) ) ∵kf ?)0( 113s i n0l i m)13s i n(0l i m???????? xxxxxx （無(wú)窮小量x有界函數(shù)） xy? 在點(diǎn) )1,1( 處的切線方程是2121y ?? x xxy 21?? ， xy 2121 ??? 切ky ????? 211x| 2121y)1(211y ???????? xx方程 14. ??? xxs d)in( sin x+c xyyxy s in4)( 53 ??????? 的階數(shù)為 三階 )2ln()( ?? xxxf的定義域是 （ 2,3） U（ 3，∞） ? ?3x2x|122)2l n (20)2l n (02????????????????????且＞＞＞＞xxxnxxxx 17. ??? xxx 2sinlim 1/2 知 xxxf 3)( 3 ?? ，則 )3(f? = 27+27ln3 3ln3)( 32 xxxf ??? 3ln2727)3( ???? f 19.? 2dex = ex2+c xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 四階 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈ 設(shè)函數(shù) 2 ee xxy ?? ? ，則該函數(shù)是 （ 偶函數(shù) ） ． ∵所以是偶函數(shù))(2 ee)( xfxf xx ???? ?⒉ 函數(shù)23 3)( 2 ?? ?? xx xxf 的間斷點(diǎn)是 （ 2,1 ?? xx ） 分母無(wú)意義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)∴ 2,1,0232 ????? xxxx ⒊ 下列結(jié)論中 （ )(xf 在 0xx? 處不連續(xù)，則一定在 0x處不可導(dǎo) ）正確． 可導(dǎo)必連續(xù)，伹連續(xù)并一定可導(dǎo)；極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)上，也可能在使導(dǎo)數(shù)無(wú)意義的點(diǎn)上 ⒋ 如果等式 ? ??? cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf（ 21x ） )()1()()(,1u)(),()(,)()(111??????????????????????????xexeeeyxexfxFCxFdxxfuuxux ，令? 22112121)()()(xxfxeexfxexexxxu??????????? ⒌ 下列微分方程中， （ xyxyy sin??? ） 是線性微分方程． 2ee xxy ??? ，則該函數(shù)是 （奇函數(shù)） ． ?k （ 2 ） 時(shí)，函數(shù)??? ???? 0, 0,2)( 2 xk xxxf 在0?x 處連續(xù) . 上單調(diào)減少的是 （ x?3 ） ． （ 3ln3dd3 xx x? ） （ yxyxy ??dd） 1)1( 2 ??? xxf ，則 ?)(xf （ )2( ?xx ） f (x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，則 ( Axfx x ?? )(lim 0，但 )( 0xfA? )是錯(cuò)誤的． 2)1( ?? xy 在區(qū)間 )2,2(? 是 （先減后增） 14. ???? xxfx d)( ( cxfxfx ??? )()( ） （ yxyxy ??dd ） （ )1ln( 2xx ?? ） ?k （ 2 ） 時(shí)，函數(shù)??? ???? 0, 0,1e)( xk xxf x 在0?x 處連續(xù) . 12 ??xy 在區(qū)間 )2,2(? 是 （先單調(diào)下降再單調(diào)上升） 2x的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（ 1, 4）的曲線為 （ y = x2 + 3） ． 1)0(, ??? yyy 的特解為 （ xy e? ） ． 三、計(jì)算題 ⒈計(jì)算極限 4 23lim222 ???? xxxx． 解 :41)2( )1(l i m2 )2(1(l i m 22 ????? ?? ?? xxx xx xx ） ⒉設(shè) xxy x ?? ?2e ，求 yd . 解： xexe xx 23221x2 ???? ? ey x21 ?? ey u?1 ， u= 2x )(11 ey u? ′ 216/x=2x + x648 y′ =2+648 答案： `x2 （ c為任意常數(shù)）或 2ln 2x x x c?? 2． 若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 。 答案： `x2 （ c為任意常數(shù)） 或 2ln 2x x x c?? 2． 若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 。 ? ? ? ?1 , 2 si n 2P x Q x x xx? ? ? ? ?? ?? ?? ?11l n l n 2 si n 2 2 si n 21 2 si n 2 c os 2P x d x P x d xd x d xxxxxy e Q x e d x