【正文】 衰減 。 一個神經(jīng)元有三個狀態(tài)： 靜止的，激勵的，和難以控制的狀態(tài)。 因此Zhabotinsky 試劑和神經(jīng)組織心臟肌肉一樣遵循數(shù)學(xué)方程 規(guī)定的非線性動態(tài)。盡管幾何形狀很美，但是結(jié)果卻是破壞性的。但是在Belousov 時代，他的發(fā)現(xiàn)非常激進(jìn)，從而人們都不相信。那時，生物學(xué)和生物化學(xué)是炙手可熱的，而 BZ 反應(yīng)被認(rèn)為是那些個復(fù)雜系統(tǒng)中易于實(shí)現(xiàn)的一個模型。但是 Zhabosinsky 一直沒有回復(fù)。 但可惜的是 Belousov 十年前去世了。 （ 想想 理發(fā)店門口柱子上產(chǎn)生的光 幻覺 ，旋轉(zhuǎn)的柱子上的螺旋好象在向上攀爬，當(dāng)然它一點(diǎn)都沒有向上爬；僅僅是在旋轉(zhuǎn)而已，螺旋波也具有相似的效果 ） 然而，螺旋波的旋轉(zhuǎn)感覺上就象是真的似的．包圍在中心點(diǎn)上的每一點(diǎn)都在周期性的震蕩； 無論何時只要經(jīng)過中心就會被再次激勵 。這里一個輕擊就對應(yīng)著激勵狀態(tài)， 然后每個倒下的骨牌對應(yīng)著難以控制的狀態(tài)，直立的骨牌對應(yīng)著靜態(tài)。換句話說，滾動波可能咬住自己的尾巴而封閉起來。最后樣本正 如期望的那樣：一個帶有螺旋交叉節(jié)的 圓環(huán)圖 形波。這開起來很相一個完美的結(jié)構(gòu)。這個年代－－ 1982 我們有蘋果電腦了。所以現(xiàn)在我們所要做的就是把這些數(shù)字運(yùn)行起來，讓計(jì)算機(jī)來把它描繪出來以揭示這個扭曲的環(huán)。由于沒有清楚的方向，因此我們需要更好的直覺。這些數(shù)學(xué)交流激烈但是令人愉快。因此我們開始畫最簡單的情況：僅僅一個圈環(huán)帶著一個 三葉形 的結(jié) 。經(jīng)常到晚上 10 點(diǎn)的時候我們會頭疼，然后必須放棄工作。 當(dāng)我坐在電腦前或者實(shí)驗(yàn)室的板凳上用蠟制作模型試圖使得以前從來沒有看見過的東西可視化，他能夠在藝術(shù)畫板上畫出卷波的圖形來，有時還能想出一些好的注意出來用筆記本把他記錄下來。我們最后的手段就是手工把那些點(diǎn)連起來。因此我告訴計(jì)算機(jī)計(jì)算出螺旋上的大量的點(diǎn)，然后拷貝這些點(diǎn)提升整個螺旋一點(diǎn)，與此同時再用一個切口扭曲起來。 首先要做的事情就是畫處扭曲的滾動波到底看起來是什么樣子的。因?yàn)樗慕Y(jié)構(gòu)是自相矛盾的。他的試驗(yàn)非常具有 獨(dú)創(chuàng)性 。神經(jīng)脈沖在組織中循環(huán)了 6 天，大概傳播了上百萬圈。 做一個更貼切的類比，想象在桌子上排放成千個多米諾骨牌。如果你觀察激勵的 BZ 反應(yīng)的薄層你會發(fā)現(xiàn)它就像個紙風(fēng)車，不停的自轉(zhuǎn)著。 Winfree 并不知道， Zhabotinsky 在 1970 年忙于論文的時候也發(fā)現(xiàn)了螺旋波的存在， Valentin Krinsky 在 Puschino 曾經(jīng)語言螺旋波會在任何激勵媒介中出現(xiàn)，包括心臟肌肉在內(nèi)。 在一周的學(xué)習(xí)之后， Winfree 寫信給 Zhabotinsky（他曾經(jīng)在兩年前的布拉格會議上遇到這個研究生）問問他除了發(fā)現(xiàn)同心環(huán)外有沒有發(fā)現(xiàn)其他類型波。 帶著沮喪的心理， Belousov 打算以后不把他的突破與化學(xué)方面的同事分享了。因?yàn)槭嵌韲茖W(xué)家 Belousov 和 Zhabotinsky 發(fā)明的東西所以今天又叫做 BZ 反應(yīng)。最好的就是波動是肉眼可見的，并且他們移動緩慢，因此不需要任何精細(xì)記錄儀器。 然后就變得難以控制（此時暫時不能激勵）再接著就回到靜態(tài)。在這個比喻里 每一片煙灰都對應(yīng)著一片 耗盡 區(qū) 。 ） 化學(xué)波和傳統(tǒng)的物理課上所學(xué)的聲波或水波是完全不同的。 在用更精細(xì)的配置方案下，反應(yīng)是非常令人興奮的。對于探索在單純結(jié)構(gòu)中的激勵波傳播這是個理想化的環(huán)境。沒有一個畢業(yè)生或博士生。從這種意義上說，拓?fù)鋵W(xué) 在具有內(nèi)在相 同性的圖形分類上非常理想。事實(shí)上沒有人能通過一個蒙面的壞蛋 面部照片 看出他的臉相。 心臟病專家 幾十年前就知道這個“潛在的轉(zhuǎn)動”或“ 轉(zhuǎn)圈運(yùn)動 ”會導(dǎo)致心跳過快，然后會退化到致命的心律不齊又叫做 心室纖維性顫動 ，這個時候心臟肌肉 在做 無 用的抖動， 抽搐 卻不能 泵 血 。 之所以這么想時因?yàn)榇蟛糠终鎸?shí)的振蕩器都是局部耦合而非全局耦合的。 全局連接總是被認(rèn)為一個權(quán)宜之計(jì)的第一步，是進(jìn)入振蕩動態(tài)學(xué)的最快的方法。所有混沌開拓者都是先鋒隊(duì)，但是這個理論越來越接近成熟，也該讓位于下一個大趨勢：由許多部分組成的非線性系統(tǒng)的研究。在 3－ D 扭曲結(jié)上有些迷惑。 兩段慷慨建議后，以下面的話結(jié)尾： 保持聯(lián)系：你看起來挺有趣。 他把他的想法應(yīng)用到如心跳節(jié)律，腦波動，月經(jīng)周期， 生理節(jié)奏 ，細(xì)胞分裂周期，甚至是內(nèi)臟的波動。 Winfree 的書在向我招手，所以我必須再過去看看。 我看了看書背面的廣告內(nèi)容，看起來挺有前途：“從細(xì)胞分裂到心臟跳動，有規(guī)律的時鐘節(jié)拍遍布每個生命體。甚至覺得自己的課程都非常單 調(diào)：經(jīng)典物理學(xué)中的老話題。但仍然需要 搞清楚這個新的編碼形態(tài)是否比以前的更安全。在他們的光學(xué)系統(tǒng)立，光的混沌波承載著信息以 億位每秒的速度從一個激光器到另一個激光器里，速度比電子系統(tǒng)要快上千倍。而混沌掩蓋技術(shù)是防止偷聽者的一個比較好的替代技術(shù)。他警告說“你一定不能說這個方法就是安全的”，“安全意味著 牢不可破的 ，我們并不知道它是否安全。會議過后， Pecora 說道“似乎是在和黑洞在交流”，“信息流入了但卻沒有任何東西流出來”。很快來訪者把電路打開，測量波的電壓值，然后做了一個傅立葉變換來計(jì)算傳輸信號所有頻率的波長。 Pecora 的行為受到了嚴(yán)格的指教，他和 Carroll 不允許問評估專家的任何問題：不許知道他在為誰工作，甚至連他的名字也不許問。 由于缺乏通信和編碼理論背景，他們采用了一個需要發(fā)送兩個信號的 笨拙的 方法。 當(dāng) Cuomo 用 Mariahcarey 的 歌曲 《 Emotions》 作為信息來發(fā)送 時，他把一個房屋弄倒塌（一個很明顯口味和這首歌曲風(fēng)格不同的學(xué)生問到：這個是信號還是噪聲？）。 在上完我一年的課程后， Cuomo 又向混沌課的同學(xué)們演示了這個加密裝置。在 發(fā)送信息以前，先把 x 添加到里面作為掩碼。他喘了口氣，然后接著說 ： Pecora和 Corroll 從來沒有做出過這樣的證明， 這正是困擾他的地方 。 1991 年 12 月，在麻省理工大學(xué) ，課程 的最后 一天，我剛好 上完 混沌課程，所有學(xué)生都魚貫而出，但是只剩下一個學(xué)生 。理論預(yù)測這兩個電子線路應(yīng)該 間歇性的 振蕩，然而結(jié)果卻是完美的步調(diào)一致。 Pecora 和 Corroll 不情愿的放棄了洛侖茲電路的想法?，F(xiàn)在問題是在實(shí)驗(yàn)室里會不會工作，因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)室里沒有兩個完全相同的系統(tǒng)或者不受外界干擾。y， z敏感的心靈做了一個調(diào)整來修正他們的步法。 這個變量看起來像 x 但被程序設(shè)定為與 y， z 無關(guān)。盡管他們在轉(zhuǎn)動或者做出一些姿態(tài)好像在設(shè)計(jì)舞蹈動作 ，然而他們并沒有。（想想軍事中心加密他們的命令，然后發(fā)送給戰(zhàn)場上的士兵或者海上的水手。他怕會忘記這個好方法，于是起身把它記錄了下來。等到會議快結(jié)束的時候他的混沌水平仍然沒有多大提高。他們在電腦里修修改改模擬各種雙混沌系統(tǒng)，用不同方法把他們連接起來期望他們混亂的波動 能夠同步。 偷聽者也許并不知道信息被發(fā)送了，即使他知道也未必能夠從噪聲中分離出來。 在 1980 年代中期，他在華盛頓的美國海軍研究實(shí) 向，被混沌理論激起了極大的興趣（那個時候混沌學(xué)是物理學(xué)中最熱門的話題），他試圖證明他轉(zhuǎn)向這個深奧的學(xué)科是對的。 分離到不同的地方。當(dāng)你準(zhǔn)備回家時，打開車庫的裝置 ，下來等一會兒，當(dāng)你一時到你并沒有前進(jìn)時，這么多層中轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去后你已經(jīng)變得迷糊了，此時你可能已經(jīng)到達(dá)車庫另一邊了，毫無止境的旋轉(zhuǎn)，在車庫兩邊不可預(yù)測的來回著。他知道軌跡不可能被限定在一個平面內(nèi)： 因?yàn)闆]辦法能夠讓它避開交叉。 被困在這個球體內(nèi)，永遠(yuǎn)在里面游蕩而不互相相交 ，并且軌跡是一個極其精細(xì)的路徑。 方程 把進(jìn)程在狀態(tài)空間上的每個點(diǎn)上確定了無限個小箭頭，無論轉(zhuǎn)到什么狀態(tài)，都要跟隨著這一點(diǎn)上的小箭頭到達(dá)一個新的點(diǎn)。 圓是一種周期性的形狀，而這個“ 奇異吸引體 ”是一種混沌形狀。我們能夠多精確的測量系統(tǒng)的初始狀態(tài) 。) 因?yàn)榈袅颂汨F，馬摔掉了 。 方程 本身沒有考慮噪聲或者隨機(jī)性或者其他的不確定性。 即使你以很穩(wěn)定的速率抽水，然而輪子依舊漂泊不定。很快你就會開始喜歡上你看到的場景：輪子一直以同一個方向旋轉(zhuǎn)，比如說 逆 時針方向。 打開開關(guān)，水就自動抽到一個高高懸掛著的帶孔的軟管里，然后水通過幾十個小管口溢出到水車輪邊緣獨(dú)立的小容器里。 同步一直都不是周期性的 . 想想 管弦樂隊(duì) 中的音樂家們 ,所有的小提琴手 從始至終都是同步的 .然而他們卻不是周期的 :他們并沒有重復(fù)演奏相同的章節(jié) . 試想雙人溜冰冠軍，他們一前一后的表演著富有創(chuàng)造性的優(yōu)雅動作但卻從不重復(fù)。不象人造衛(wèi)星那樣圍繞著一個軸自旋 ,它就像一個喝了酒的人一樣經(jīng)常的 翻筋斗 .物理學(xué)家從沉思夸克和黑洞中抽出 部分時間 把注意力放到以前認(rèn)為是 一些小煩惱的普通現(xiàn)象上去 :不穩(wěn)定激光束的斷斷續(xù)續(xù)的震動 ,一個電子線路的噪聲電壓振動 ,甚至是 咽喉 的 下滴 .所有這些現(xiàn)象的產(chǎn)生 ,都是混沌的表現(xiàn) .具有諷刺意思的是 ,許多和 龐加萊 一起開始研究混沌了70 年的純數(shù)學(xué)家 竟然幾乎其他所有人都不明白這個專業(yè)術(shù)語或者不理解它的抽象含義 ,因此他們的想法幾乎沒有影響到他們這個小團(tuán)體外的其他人 . 這也是阻礙許多交叉學(xué)科發(fā)展的典型問題 .大部分科學(xué)家工作在他們狹小的專業(yè)內(nèi) ,語言障礙品位和科學(xué)文化把這些科學(xué)家和聰明的鄰居隔開了 .而洛侖茲就不是這樣 ,他是一個第一愛好為數(shù)學(xué)的氣象學(xué)者 .有許多想他這樣的沒有被他們自己的群體所打上深深的烙印的其他領(lǐng)域里的人 .他們 對 動力學(xué)流體力學(xué)隱藏模式和對稱學(xué)最重 要的是理論中最隱晦的一角 :非線性問題領(lǐng)域有著相通的感覺 . 數(shù)學(xué)家 Stanislaw Ulam 曾經(jīng)說過 ,把一個問題稱為非線性就像到動物園談?wù)撍心憧吹降挠腥さ姆谴笙髣游镆粯?.他的觀點(diǎn)就是大部分動物都不是大象 ,大部分方程也都是非線性 .線性方程很容易描述 ,理想化的情形就是原因成比例的導(dǎo)致果 ,作用力也產(chǎn)生成比例的響應(yīng) . 如果你把 鋼 梁彎曲了 2 毫米 ,他反彈的力就是彎曲 1 毫米的 2 倍 .單詞 ”linear”就是成比例的意思 :如果你畫出 鋼 梁的偏差與施加力的圖來 ,他們就是一條直線的線性關(guān)系 .(這里 ,線性并不意味著連續(xù) ,就像 ”線性思考 ”,單調(diào)的一個接一個 ,這兩個詞意義并不相同 ). 線性方程是很容易處理的 ,因?yàn)樗鼈兪悄K化的 :它們可以被分割成若干塊 .每一塊都可以被獨(dú)立分析解決 ,并且最終所有獨(dú)立的答案都可以被重新合并 — 逐個的加到一起并給原問的正確答案 .在線性系統(tǒng) ,整體就是部分的和 . 然而 線性化經(jīng)常是一個復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題的近似 .大部分系統(tǒng)僅僅當(dāng)趨近于平衡的時候才表現(xiàn)為線性化或者我們不把系統(tǒng)推向極端 .只要風(fēng)不是足夠的強(qiáng) ,一個工程師能夠估計(jì)出一個摩天大樓在風(fēng)中的擺動 ,電子線路 參數(shù) 總是可 計(jì)算 的直到它被高壓損壞 .當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入非線性狀態(tài)跑出它 的正常工作范圍 ,所有的賭注都會付諸東流 .原來的等式就不在適用 . 然而 ,你不應(yīng)該認(rèn)為非線性就是危險的或者說不是我們想要的 .事實(shí)上 , 生命就是依靠非線性的 .在任何情況下整體都不等于部分的綜合 ,因?yàn)樗麄兓蛘吆献骰蛘呤歉偁?,而不是僅僅累加他們自己獨(dú)立的貢獻(xiàn) ,你應(yīng)該知道非線性是一個很有用的禮物 ,生物學(xué)到處都在使用它 .我們的神經(jīng)系統(tǒng)是由非線性部件組成的 .生態(tài)學(xué)的規(guī)律也是非線性的 . 艾滋病聯(lián)合治療法雞尾酒法 非常有效 ,是因?yàn)?免疫系統(tǒng)和病毒數(shù)量的變化是非線性的 。然而，不幸的是我們許多人在認(rèn)識什么是混沌之前就帶有錯誤的偏見。隨著水的流入小容器，會發(fā)出悅耳的汩汩流水的聲音；與此同時，這些小容器也以稍慢的速度漏水。 找不到可預(yù)見的趨勢，轉(zhuǎn)動的長期行為是非周期性的 。這就是確定性的含義：當(dāng)前狀態(tài)決定了未來狀態(tài)的唯一性。 這些是混沌的特性： 不穩(wěn)定，確定系統(tǒng)中的表象隨機(jī)，由于確定的規(guī)律而短期內(nèi)的可預(yù)見性，由于蝴蝶效應(yīng)而導(dǎo)致的長 期不可預(yù)見性。 (For want of a rider,the battle was lost。 它呈現(xiàn)出一種不 同尋常的形狀，在計(jì)算機(jī)圖形出現(xiàn)以前是很難形象化的。 在下一個時刻，隨著水車的旋轉(zhuǎn)和水流入的重新分配會導(dǎo)致狀態(tài)的改變。 混沌到底像什么東西？ 它的軌道永遠(yuǎn)是在狀態(tài)空間里游蕩的。當(dāng)它靠近翅膀邊緣的時候，它又會飛奔到另一個翅膀那邊去，然后往外盤旋。 為了讓這些抽象的東西更具體化，把這個奇異吸引體 形象化成 Twilight Zone 未來公園的停車庫。 運(yùn)動規(guī)則完全是確定性了的：軌跡曲線是由其初始條 件決定的。 當(dāng)混沌通過揚(yáng)聲器播出的 時候像 白噪音 軟靜音一樣幫助失眠者入睡。驗(yàn)室工作，研究固體中的正電子湮滅問題，磁場中的自旋波以及固態(tài)物理學(xué)中的其他問題?，F(xiàn)在挑戰(zhàn)就是要在混沌中概括出相同的思路，信息的載體現(xiàn)在是混沌波而非周期波。他坐在聽眾席上仔細(xì)聆聽混沌領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者，試 。 停下頭腦里亂七八糟的思緒。 用技術(shù)術(shù)語，原理可以描述如下： 給出混沌系統(tǒng)的兩分拷貝。為了看到混沌現(xiàn)象的奇特性，畫出混沌系統(tǒng)的變量關(guān)系 有如現(xiàn)代舞者 。 這只是對單個洛侖茲系統(tǒng)的比喻 ,在 Pecora 的通信試驗(yàn)里充當(dāng)著接收器的角色。就像電影里， x被一個小密 空間約束 著，它不再隨著面前的 y， z跳動，它的搭檔是 y′， z′ ，它們是遠(yuǎn)處驅(qū)動器的并行世界 中 y， z看不見的影像 。不知為何經(jīng)過傳輸出來的 x′影響，遠(yuǎn)方 y′， z′的微弱信息也會被傳遞，這些信息已經(jīng)可以鎖定發(fā)送器和 接收器了。這些特殊的方程在一定期間內(nèi)需要 xy 乘積，另一段時間內(nèi) xz 做乘 積。在示波器上畫出了變化圖，這些變量畫出了一個奇怪的吸引體――－不是洛侖茲的蝴蝶翅膀但是非常相似。在兩百萬妙內(nèi)電壓跳躍到這條斜線上并停留在斜線