【正文】 167。f2=[1,1/2]。 NnknF k f n W k N??? ? ??( 0 )(1 )( 1 )FFFN?????????????0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 )( 1 )NN N N NfW W W WfW W W WfNW W W W? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??????????? ???????離散 Fourier變換的矩陣形式 變換矩陣 ? )101( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .N nkkf n F k W n NN???? ? ??( 0 )(1 )( 1 )fffN?????????????0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 )1( 1 )NN N N NFW W W WFW W W WNFNW W W W? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ??????????????離散 Fourier逆 變換的矩陣形式 逆變換矩陣 例 求序列 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , 3 )2f n n n?????????的離散 Fourier變換 . 0 0 0 00 1 2 30 2 4 60 3 6 9( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 )( 3 ) ( 3 )FfW W W WW W W WFfW W W WW W W W??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???1 1 1 1 1 01 1 0 2.1 1 1 1 1 01 1 0 2iiii? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?由 N=4得 于是 2 ,iW e i??? ? ?解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symsn n=0:3。g=sin(a*t)。)。 % 調(diào)用 Heaviside函數(shù) f=exp(beta*t)*g。 g=sym(39。ixaf at f x e x Fa a a? ??? ????????????F當(dāng) a0時 , 1[ ( ) ] ( ) dixaf at f x e xa??? ???? ?F11( ) d .ixaf x e x Fa a a? ??? ?????? ? ? ??????綜上所證 , 即得 1[ ( ) ] . f at Faa ???? ????F(4) 翻轉(zhuǎn)性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 ? )[ ( ) ] . f t F ?? ? ?F由相似性質(zhì)可直接得到 (5) 時移性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 00[ ( ) ] ( )itf t t e F? ????F (其中 t0為常數(shù) ). 證明 由 Fourier變換的定義 , 00[ ( ) ] ( ) d .itf t t f t t e t??? ???? ? ??F令 代入上式得 0 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????利用 和 , 易見 (5) 時移性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則00[ ( ) ] ( )itf t t e F? ????F (其中 t 0為常數(shù) ). 證明 由 Fo urier 變換的定義 , 00[ ( ) ] ( ) d .itf t t f t t e t??? ???? ? ??F令 代入上式得 0 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????(3) 相似性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1[ ( ) ] f at Faa ???? ????F (其中 為常數(shù) ). 0a? 1[ ( ) ] , biaf a t b e Faa? ?? ????????F其中 a, b為常數(shù) , 并且 事實(shí)上， ?[ ( ) ] bf at b f a t a??????? ? ?????????????FF1[ ( ) ] .bbiiaae f a t e Faa?? ??? ????????F例 計(jì)算 20() .tte ??????F于是根據(jù) 得 (5) 時移性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則00[ ( ) ] ( )itf t t e F? ????F (其中 t 0為常數(shù) ). 證明 由 Fo urier 變換的定義 , 00[ ( ) ] ( ) d .itf t t f t t e t??? ???? ? ??F令 代入上式得 0 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????22 00 ) 4 .itttee ??? ?????? ???（F(6) 頻移性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 (其中 ?0為常數(shù) ). 0 0( ) ( )itf t e F? ????? ???F證明 由 Fourier變換的定義 , 00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e t?? ????? ????? ??? ?F0() 0( ) d ( ) .itf t e t F?? ???? ??????由 知 , 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w t_0 f=exp((tt_0)^2)。)。Heaviside(t)39。symsb positive f=exp(b^2*x^2)。F=fourier(f)F =2*beta/(beta^2+w^2)[ ( ) ] dt itf t e e t? ??? ? ???? ?F00ddt i t t i te e t e e t? ? ? ???? ? ???????222 .???? ?因?yàn)?f (t)在 上連續(xù) , 且只有一個極大值 ( , )?? ??點(diǎn) t=0, 而 02d 2 dt te t e t? ??? ? ? ?? ???????存在 , 所以根據(jù) Fourier變換的反演公式 12 2 2 22 1 2( ) d2itf t e ??? ?? ? ? ? ???????????? ???? ?F221 ( c os si n ) dt i t? ? ? ?? ? ??????? ??2202 c o s d,t?? ?? ? ??????于是 220c os d ( ) .22tt f t e ?? ? ??? ? ? ??? ?????在無線電技術(shù)、聲學(xué)、振動理論中 , Fourier 變換和頻譜概念有密切聯(lián)系 . 時間變量的函數(shù) f (t) 的 Fourier變換 F(?)稱為 f (t)的 頻譜函數(shù) , 頻譜函數(shù) 的模 稱為振幅頻譜 (簡稱為 頻譜 ). ()F ?例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2()0, t2Etpt???????? ?? ???的頻譜 . o t 2?2??E ()pt?. . . 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w E。F=fourier(p)F =E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w)E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w) r=simple(F) r =2*E*sin(1/2*tau*w)/w由頻譜函數(shù)的定義 ( ) ( ) ditF p t e t??? ?? ???? ?22d,itE e t?? ?? ??? ?? |F(?)| O E? 2?? 4?? 6??2 ???4 ???6 ???222( ) sin .2itEe EFi??????????? ? ?故頻譜為 1( ) 2 sin .2FE?????(如圖所示 ) Fourier變換的性質(zhì) 以下假定所討論的函數(shù)滿足 Fourier積分定理 的條件 . (1) 線性性質(zhì) 設(shè) a, ? 是常數(shù)， 11( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F22( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F Fa ? a ? ? ?? ? ?F12[ ( ) ] [ ( ) ] .f t f ta???FF1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .F F F Fa ? ? ? a ? ? ?? ? ?? ? ?F F F(2) 對稱性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F證明 由 Fourier逆變換有 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ????? ?于是 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ?? ????? ?將 t與 ?互換 , 則 1( ) ( ) d ,2itf F t e t????? ????? ?所以 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F特別地 , 若 f (t)是偶函數(shù) , 則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f???F2[ ( ) ] s in .2pt?????F例 求 的頻譜函數(shù) . sin() tft t?f (t) t o 函數(shù) 的頻譜函數(shù)為 ()pt?當(dāng) ? =2時 , 根據(jù) Fourier 變換的線性性質(zhì) 由 知 , 單位幅度 (即 E=1) 的矩形脈沖 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symstf=sin(t)/t。)。symsbeta positive g=sym(39。Dirac(w)39。g=sin(a*t)。 F=fourier(f)F =2*pi*Dirac(4,w) G=fourier(g)G =w^4根據(jù) Fourier變換的定義 , 以及 d 函數(shù)的性質(zhì) , ( ) ( )( ) ( ) dn n i tt t e t?dd ?? ????? ??? ?F( 1 ) ( ) ( ) .n n nii??? ? ? ?又因?yàn)? 1 ( ) ( )12 ( ) 2 ( ) d2n n n n i ti i e ?? d ? ? d ? ????????? ??? ?F( 1 ) ( ) ,n n n ni it t? ? ?所以 ()[ ] 2 ( ) .n n nti ? d ??F167。 WN=exp(i*2*pi/4)。*k。A B U? ? ???當(dāng) ? 0時 , ( ) 0 , ( ) ( , 0 ) .B A U? ? ???于是 ||( , ) ( , 0) .yU y U e ??? ??對邊值條件 兩端取 Four