數(shù)學(xué)分析之函數(shù)的連續(xù)性-文庫吧在線文庫
【正文】 當(dāng) 1 2 1 1 2 1, , | | ,xx Ι xx ?? ? ? 時12| ( ) ( ) | ,f x f x e??當(dāng) 1 2 2 1 2 2, , | |xx Ι xx ?? ? ? 時 ,12| ( ) ( ) | .f x f x e??,0},m i n { 21 ?? ???取 則對于任意的 , 2121 ΙΙxx ??證 對任意的 ,0?e 因為 )(xf 在 21 ,ΙΙ 上一致 1 2 1 2 21 . , , .情 形 或xx Ι xx Ι??此時自然有 12| ( ) ( ) | .f x f x e??有以下兩種情形： 12| | ,xx ???當(dāng) 時1 1 2 22 . , .x Ι x Ι??情形 注意到 1 2 1 2, | | , | | ,c Ι Ι x c x c??? ? ? ? ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x f x f c f x f c? ? ? ? ?可得 .2 eee ???綜上，證得 )(xf 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上一致連續(xù) . ????????32,021,1)(xxxf在區(qū)間 ]2,1[ 與區(qū)間 ]3,2( 上分別一致連續(xù) , 但在 區(qū)間 [1, 3] 上不連續(xù) , 當(dāng)然也不一致連續(xù) . 注 例 9的條件 ”“ 21 ΙΙc ?? 是重要的 . 比如 例 10 設(shè) ),[)( ??axf 在 上連續(xù) , 并且 .)(l i m Axfx ????證明 ),[)( ??axf 在 上一致連續(xù) . 證 因為 Axfx ???? )(l i m, 所以對任意的正數(shù) ,0?e存在 有時，當(dāng) XxxaX ?? 21 ,21| ( ) ( ) | .f x f x e??又 ]1,[)( ?Xaxf 在 上連續(xù) , 故由定理 f (x) [ , 1 ]aX ?在 上一致連續(xù) . 因此對上述 e， 存在正數(shù) ,)1( ??? 使對任意 ],1,[, 21 ?? Xaxx只要 ??? || 21 xx , 必有 12| ( ) ( ) | .f x f x e??現(xiàn)對任何 1 2 1 2, [ , ) , | | ,x x a x x ?? ? ? ? ?討論如下 . 121 . , [ , 1 ] ,x x a X??情形 自然有12| ( ) ( ) | 。 例如 , ,1c o s ?? xy ?,4,2,0: ?????xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義 . ,)1( 32 ?? xxy ,1,0: ?? xxD 及在 0點的鄰域內(nèi)沒有定義 . .),1[ 上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ??注 1 注 2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法 . 例 4 .1c oslim0??xxe求11c o s 0 ??? e原式例 5 .11lim20 xxx???求解 解 )11()11)(11(l i m2220 ???????? xxxxx原式11lim 20 ??? ? xxx 20? .0?)()()(lim 000定義區(qū)間??? xxfxfxx思考題 若 )( xf 在0x 連續(xù)，則 |)(| xf 、 )(2 xf 在0x 是否連續(xù)？又若 |)(| xf 、 )(2 xf 在 0x 連續(xù)， )( xf 在0x 是否連續(xù)？ 思考題解答 ? )( xf 在 0x 連續(xù)， )()(lim 00xfxfxx ?? ?)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且 )()(lim 00xfxfxx ?? ??????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 0002 xfxfxfxxxxxx )( 02 xf?故 |)(| xf 、 )(2 xf 在 0x 都連續(xù) .但反之不成立 . 例 ???????0,10,1)(xxxf在 00 ?x 不連續(xù) , 但 |)(| xf 、 )(2 xf 在 00 ?x 連續(xù) . 一、 填空題：1 、 指出23122????xxxy 在 1?x 是第 __ _ __ _ _ 類間斷點；在 2?x 是第 __ __ _ 類間斷點 .2 、 指出)1(22???xxxxy 在 0?x 是第 __ __ __ _ _ 類間斷點；在 1?x 是第 __ __ __ 類間斷點；在 1??x是第 _____ 類間斷點 .二、 研究函數(shù)??????1,11,)(xxxxf 的連續(xù)性，并畫出函數(shù) 的圖形 .練 習(xí) 題 三、 指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點，并說明這些間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù) .1 、 ????????1,31,1)(xxxxxf 在 Rx ? 上 .2 、 xxxft a n)( ? , 在 Rx ? 上 .四、 討論函數(shù) nnnxxxf2211lim)(?????的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型 .五、試確定 ba , 的值 , 使)1)(()(????xaxbexfx， （ 1 ）有無窮間斷點 0?x ； （ 2 ）有可去間斷點 1?x .一、 1 、一類 , 二類； 2 、一類 , 一類 , 二類 .二、 ,),1()1,()( 內(nèi)連續(xù)與在 ??????xf 1??x 為跳躍間 斷點 .三、 1 、 1?x 為第一類間斷點； 2 、 ,2為可去間斷點???? kx )0( ??? kkx 為第二類間斷點 . ????????????0,12,t a n)(1xkkxxxxf ),2,1,0( ????k ,練習(xí)題答案 ),2,1,0(2,02,t a n)(2??????????????????? kkxkkxxxxf .四、??????????1,0,01,)(xxxxxxf 1?x 和 1??x 為第一類間斷點 .五、 (1) 。 (iv) 冪函數(shù) 。 。因此對函數(shù)連續(xù)性的討論是數(shù)學(xué)分析的一個重要內(nèi)容。 1 連續(xù)函數(shù)的概念 一、函數(shù)在一點的連續(xù)性 三 、 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 二 、 間斷點的分類 定義 1 0( ) ,f x x設(shè) 函 數(shù) 在 點 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 且),()(lim 00xfxfxx ?? )1(由定義 1知 ， 我們是通過函數(shù)的極限來定義連續(xù) 00( ) ( ) .f x x f x僅存在, 而且其值恰為 在點 的函數(shù)值一、函數(shù)在一點的連續(xù)性 性的，換句話說連續(xù)就是指 0()f x x在點 的極限不0( ) .f x x則 稱 在 點 連 續(xù)0l im | | 0 ( 0 ) .x xf? ??例如： ( ) | | 0f x x x??在 處 連 續(xù) ，這是因為 ||yx?xyO0,x ?在 處 不 連 續(xù) 這 是 因 為).0(0)(l i m 0 fxfx ???函數(shù) ,0( ) ( 0 ),0xxf x aax ????? ?
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