【正文】 達州 3 分） 將矩形紙片 ABCD，按如圖所示的方式折疊，點 A、點 C 恰好落在對角線 BD 上，得到菱形 BC=6，則 AB 的長為 ▲ . 【答案】 23。 【答案】 5110 。 【答案 】 4。 ③連接 A A ′， ∵根據折疊對稱的性質， A ， A ′關于 DE 對稱?！?BC= 2DE。 綜上所述，正確結論的個數(shù)是 4 個。 ① 當 2a－ 20＞ 20－ a 時，所得正方形的邊長為 20－ a，此時， 2a－ 20－（ 20－ a） =3a－ 40， ∵ 此時 剩下的矩形為正方形， ∴ 由 3a－ 40=20－ a 得 a=15。 由折疊的性質，得： CD=CF=17。 ∵ OP2=OB2+BP2，即（ 2t） 2=62+t2，解得： t1=23， t2=－ 23（舍去）． ∴ 點 P 的坐標為（ 23 ， 6）。 ∴△ OBP∽△ PCQ。 BP=t，得 OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 ∵ PC′=PC=11－ t， PE=OB=6， AQ=m， C′Q=CQ=6－ m， ∴ 22A C C Q A Q 3 6 1 2 m? ? ? ? ? ?。 ∴∠ DAC=∠ BCA。 ∴ FM＞ EM。 又 ∵ PQ=CQ， ∴ CQ= 10 。過點 N 作 NH⊥ AB 于 H，則由勾股定理可得 NM= 10 ，從而根據平行四邊形的性質和已知 PQ=CQ，即可求得 CQ= 10 。 ∴ 7A G 74ta n A B G A B 6 24? ? ? ?。 【考點】 翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。 ∴ AF=CF=CE=AE。 【分析】 （ 1）由矩形 ABCD 與折疊的性質，易證得 △ CEF 是等腰三角形，即 CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形 AFCE 為 菱形。 ∴∠ CPO=∠ PCB。 ∴△ APO 為等邊三角形。 ∴∠ PCO=60176。 【考點】 新定義，折疊問題， 矩形和正方形的性質，勾股定理。 ∵∠ EA′B＋ ∠ BEA′=∠ EA′B＋ ∠ FA′C=900， ∴∠ BEA′=∠ FA′C。 ∴ AE=AF。由平行和等腰三角形的性質可得 AE=AF。 ∴ 點 B″是線段 AB 的黃金分割點。 ② 當 AE 為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，可知 P 點、 D點到直線 AE（即 x軸）的距離相等， ∴ P 點的縱坐標為﹣ 2。 ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∴△ COQ′∽ △ Q′FP， ∴ QC QP =CO FQ39。 ② 當 P 點在 y 軸左側時（如圖 2）此時 a＜ 0， 213a a 222? ? ? ＜ 0， CQ=﹣ a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。 （ 2）分兩種情況進行討論， ① 當 AE 為一邊時， AE∥ PD， ② 當 AE 為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點 P 坐標。 （ 2）證明： ∵ AD∥ BC， ∴∠ AEB=∠ EBF， ∵ 由折疊知 △ EAB≌△ EGB， ∴∠ AEB=∠ BEG。2 ， ∠ FBE=（ 180176。 ∴ △ ABD∽△ DCB。 【分析】 （ 1）根據折疊的性質可得 AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。 ∴∠ COM=∠ B。從而得到在矩形ABCD 中 ∠ COM=∠ B，最后證得 △ COM∽△ CBA； （ 2）利用（ 1）的相似三角形的對應邊成比例得到比例式后即可求得 OM 的長。 由（ x﹣ 1） 2﹣ 3=3，解得： 12x =1 6 x =1+ 6? ， 。 （ 2）根據已知求出 C， D 兩點坐標，從而得出。 ∴ 拋物線解析式為 y=（ x﹣ 1） 2﹣ 3，即 y=x2﹣ 2x﹣ 2。 【考點】 折疊問題，對稱的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理。 ∴∠ COM=90176。 由 ①△ ABD∽△ DCB 和 a= b=2，得 △ ABD 和 △ DCB 都是等腰直角三角形， ∴∠ C=45176。 ∴∠ DAB=∠ BDC=90176。 在等腰 △ ABG 和 △ FEB 中， ∠ BAG=（ 180176。 ∴ AE＜ ED。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判 定和性質，勾股定理。39。 。 又 ∵∠ CQ′O+∠ FQ′P=90176。 ∴ 點 D 坐標為（ 3， 2）。 又 ∵ AB″=AB′， ∴ AB″= 5 ﹣ 1。 （ 2） ① 由圖 3 和圖 4 可得，當 3 x 5??時，四邊形 AEA′F是菱形。 又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ AFE=∠ FEA′ 。 在 Rt△ A′DC中， DC=AB=2， ∴ 22A C 5 3 4? ? ? ?。 6. （ 2020福建龍巖 12分） 如圖 1，過 △ ABC 的頂點 A作高 AD，將點 A折疊到點 D（如圖 2）， 這時 EF為折痕，且 △ BED 和 △ CFD都是等腰三角形，再將 △ BED 和 △ CFD沿它們各自的對稱軸 EH、 FG 折疊，使 B、 C 兩點都與點 D 重合，得到一個矩形 EFGH（如圖 3），我們稱矩形 EFGH 為 △ ABC 的邊 BC 上的折合矩形． （ 1）若 △ ABC 的面積為 6，則折合矩形 EFGH 的面積為 ； （ 2）如圖 4，已知 △ ABC，在圖 4 中畫出 △ ABC 的邊 BC 上的折合矩形 EFGH； （ 3）如果 △ ABC 的邊 BC上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC=2a，那么， BC 邊上的高 AD= ，正方形 EFGH 的對角線長為 ． 【答 案】 解：（ 1） 3。﹣（ ∠ AOP+∠ COB） =60176。 又 ∵ OA=OP， ∴∠ A=∠ APO。 ∴∠ A=∠ CPO。 在 Rt△ DCE 中 ， CE2=CD2+DE2， ∴ a、 b、 c 三者之間的數(shù)量關系式可寫為： a2=b2+c2。 由折疊的性質，可得： ∠ AEF=∠ CEF， AE=CE， AF=CF， ∴∠ EFC=∠ CEF。 ∴ HF=12 AB=12 6=3。 （ 2）解： ∵ 由（ 1）可知 △ ABG≌△ C′DG， ∴ GD=GB， ∴ AG+GB=AD。 （ 2）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 ∵ PQ∥ MN， DC∥ AB， ∴ 四邊形 NMQP 是平行四邊形。 ∴ 四邊形 MFNE 是平行四邊形。 2. （ 2020海南省 11 分） 如圖（ 1），在矩形 ABCD中，把 ∠ B、 ∠ D分別翻折，使點 B、 D分別落在對角線BC 上的點 E、 F 處，折痕分別為 CM、 AN. （ 1）求證： △ AND≌△ CBM. （ 2）請連接 MF、 NE，證明四邊形 MFNE 是平行四邊形，四邊形 MFNE 是菱形嗎？請說明理由？ （ 3） P、 Q是矩形的邊 CD、 AB 上的兩點，連結 PQ、 CQ、 MN，如圖（ 2）所示，若 PQ=CQ， PQ∥ MN。 ∴△ PC′E∽△ C′QA。 【分析】 （ Ⅰ ）根據題意得， ∠ OBP=90176。 ∴∠ BOP=∠ CPQ。 在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 ∵△ AFD 的面積為 60，即 12 AD?AF=60，解得： AF=15。 ∵ （ 20－ a）－（ 2a－ 20） =40－ 3a， ∴ 20－ a 與 2a－ 20 的大小關系不能確定，需要分情況進行討論。 ∴B D A E A C A B C1S S = S2? ? ? ? ??，即 B D A E A CA D A ES S S? ? ? ?? ??四 形邊 。 ∴ BD=AD。 ∴ AD AE DB EC??? 。 13. （ 2020 內蒙古 包頭 3 分） 如圖，將△ ABC 紙片的一角沿 DE 向下翻折，使點 A 落在 BC 邊上的 A ′點處，且 DE∥ BC ，下列結論： ① ∠ AED＝ ∠ C； ② AD AE DB EC??? ； ③ BC= 2DE ； ④ B D A E A CA D A ES S S? ? ? ?? ??四 形邊 。 ∴ AB=CD=23。 設 BD=ED=x，則 CD=BC﹣ BD=4﹣ x， 在 Rt△ CDE 中， CD2=EC2+ED2，即：（ 4﹣ x） 2=x2+4，解得： x= 32 。 由折疊的性質： A′M=AM， D′N=DN， A′D′=AD， ∴ 圖中陰 影部分的周長為 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 ∴ tan∠ DCF＝ DF 5x 5=CD 2x 2? 。 又 ∵∠ ADE=∠ A1DE（折疊對稱的性質）， ∴∠ A1DA=2∠ B。 6. （ 2020 江蘇鹽城 3 分） 如圖 ,在 △ ABC 中， D,、 E 分別是邊 AB、 AC 的中點 , ∠ B=50176。 【考點】 折疊問題矩形的性質，平行的性質。 ∴ E D 2 x B D 2 y= = 2 = = 2A D x C D y? 。 ∴ tan∠ ACB=tan30176。 【考點】 翻折變換（折疊問題），折疊的 性質，矩形的性質，平行的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。－ 25176。以及 ∠ OBC＝ ∠ OCB＝ 40176。 ∵∠ C=90176。 ∠ A=30176。 ∴ AD=BD=CD，點 D 是 AB 的中點。－ 70176。 【考點】 翻折變換（ 折疊問題 ）， 平行四邊形的性質，平行線的性質， 平角的定義。 在 Rt△ CGN 中， ? ? 22 2 2N G C N C G 4 x x 1 5 x? ? ? ? ?， 在 Rt△ MNG 中， ? ? ? ? 2222M N G M N G 3 x 1 5 x = 2 6 x? ? ? ?， ∴ M N 2 6 x= =2 6B M x 。 ∴ CD=NG， CG=DN， ∠ ANM=∠ CMN。 設 AD=x，則 FD=x－ 1。 ∴∠ DGB′=∠ CB′F。故選 B。 ∴ NG=NM。 【考點】 翻折變換（折疊問題），矩形的性質和判定，折疊對稱的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理。 AD=BC。 ∴ 2C M NC A BS C E 1S C D 4??????????。 【分析】 根據矩形和折疊的性質，得 A1E=AE， A1D1=AD， D1F=DF，則陰影部分的周長即為矩形的周長，為 2（ 10+5） =30。 AB=AD， ∠ ABD=45176。故選 C。 在 Rt△ EFC 中， EF2=EC2＋ FC2，即（ x＋ 1） 2=22＋（ 3－ x） 2，解得： 3x 2? 。 根據平角的定義和多邊形內角和定理，得 ∠ 1＋ ∠ 2＝ 1800－ ∠ ADA′＋ 1800－ ∠ AEA′＝ 3600－（ ∠ ADA′＋ ∠ AEA′） ＝ ∠ A′＋ ∠ A＝ 1500。 4. （ 2020 廣東 河源 3 分） 如圖，在折紙活動中，小明制作了一張 △ ABC 紙片，點 D、 E 分別在邊 AB、 AC 上，將 △ ABC 沿著 DE 折疊壓平， A與 A′重合．若 ∠ A＝ 75186。角的正切值是 【 】 A． 3 ＋ 1 B． 2 ＋ 1 C． D． 5 【答案】 B。 ∴∠ CBM=∠ M。∠ A′D′F=60176。 【考點】 翻折變換（折疊問題），菱形的性質，平行的性質，折疊的性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 ∴∠ AED+∠ ADE=∠ A′ED+∠ A′DE=180176。2020 年全國中考數(shù)學試題分類解析匯編 (159 套 63 專題） 專題 31： 折疊問題 一、選擇題 1. （ 2020 廣東梅州 3 分） 如圖，在折紙活動中，小明制作了一張 △ ABC 紙片，點 D、 E 分別是邊 AB、AC 上，將 △ ABC 沿著 DE 折疊壓平， A與 A′重合，若 ∠ A=75176。 【分析】 ∵△ A′DE是 △ ABC 翻折變換而成， ∴∠ AED=∠ A′ED， ∠ ADE=∠ A′DE， ∠ A=∠ A′=75176。 2. （ 2020 江蘇南京 2 分） 如圖，菱形紙片 ABCD 中， ∠ A=600，將紙片折疊，點 A、 D 分別落在 A’、 D’處，且 A’D’經過 B， EF 為折痕，當 D’F? CD 時， CFFD 的值為【 】 A. 312? B. 36 C. 2 3 16? D. 318? 【答案】 A。 ∴∠ FD′M=180176?！?BCM∠ M=30176。