【正文】 教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 3） — 函數(shù)的基本性質(zhì) 一．課標(biāo)要求 1． 通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（ ?。┲导捌鋷缀我饬x； 2． 結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義 ； 第 16 頁(yè) 共 29 頁(yè) 二．命題走向 從近幾年來(lái)看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類(lèi)別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。 （ 3）設(shè)復(fù)合函數(shù) y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定義域的某個(gè)區(qū)間， B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或減）函數(shù)， y= f(u)在 B 上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在 A 上是增函數(shù)； ②若 u=g(x)在 A 上是增（ 或減）函數(shù)，而 y= f(u)在 B 上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在 A 上是減函數(shù)。 （ 2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ? ○ 1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值； 第 18 頁(yè) 共 29 頁(yè) ○ 2 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲担? ○ 3 利用函數(shù) 單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担? 如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間 [b， c]上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在 x=b處有最大值 f(b)； 如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間 [b， c]上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在 x=b處有最小值 f(b)； 4．周期性 （ 1）定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+T)= f(x)，則稱(chēng) f(x)為周期函數(shù)； （ 2）性質(zhì)：① f(x+T)= f(x)常常寫(xiě)作 ),2()2( TxfTxf ???若 f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱(chēng)它為 f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù) f(x)的周期為 T，則 f(ω x)（ω≠ 0）是周期函數(shù)，且周期為||?T。 1) ，即 f(x)的圖象由兩個(gè)點(diǎn) A（－ 1， 0）與 B（ 1， 0）組成，這兩點(diǎn)既關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴ f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； （ 4）∵ x2≤ a2, ∴要分 a 0 與 a 0 兩類(lèi)討論， ①當(dāng) a 0 時(shí)， )],0()0,[(|| aaaax axa ?????? ?? ??? 函數(shù)的定義域?yàn)? x xaxfax 22)(,0|| ?????? ，∴當(dāng) a 0 時(shí)， f(x)為奇函數(shù)； ,2,2,2)(,0|| 2122 axaxax xaxfax ????? ????? 稱(chēng)的兩點(diǎn)取定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)? )(,0,03 35 3)2()2( xfaafaf 時(shí)當(dāng) ???????? 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) . 點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù) 的奇偶性是比較基本的問(wèn)題，難度不大，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過(guò)程（要保證定義域不變）。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)域上函數(shù)的取值。 （導(dǎo)數(shù)法）∵ 1a? ， (0, )x? ?? ∴ 21 1 ( ) 1( ) ( ) 0xxxx x xef x e ee e e ???? ? ? ? ? ? ∴ ()fx在 (0, )?? 上為增函數(shù)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 點(diǎn)評(píng)：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔。 .解：在定義域內(nèi)任取 x1＜ x2， ∴ f（ x1）－ f（ x2）＝))(( ))(())(( 21 21212221 bxbx axbxbxaxbx axbx ax ?? ??????????? ))(( ))(( 21 21 bxbx xxab ?? ???， ∵ a＞ b＞ 0，∴ b－ a＜ 0， x1－ x2＜ 0， 只有當(dāng) x1＜ x2＜－ b 或－ b＜ x1＜ x2 時(shí)函數(shù)才單調(diào)． 當(dāng) x1＜ x2＜－ b 或－ b＜ x1＜ x2 時(shí) f（ x1）－ f（ x2）＞ 0． ∴ f（ x）在（－ b，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù)，在（－∞，－ b）上是單調(diào)減函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識(shí)。 解法二： 2 2 2( ) 8 2 ( 2 ) ( 2 )g x x x? ? ? ? ?4228xx?? ? ? ， 3( ) 4 4g x x x? ? ? ?， 令 ( ) 0gx? ? ，得 1x?? 或 01x??， 令 ( ) 0gx? ? ， 1x? 或 10x? ? ? ∴單調(diào)增區(qū)間為 ( , 1),(0,1)?? ? ；單調(diào)減區(qū)間為 (1, ),( 1,0)?? ? 。 解：∵ f(x)是 R 上的奇函數(shù)， 且在［ 0， +∞］上是增函數(shù)， ∴ f(x)是 R 上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為 f(cos2θ － 3)f(2mcosθ － 4m)， 即 cos2θ － 32mcosθ － 4m,即 cos2θ － mcosθ +2m－ 20。 解：（ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，函數(shù) f（－ x） =（－ x） 2+|－ x|+1=f（ x），此時(shí) f（ x）為偶函數(shù)。 若 a＞－ 21 ，則函數(shù) f（ x）在［ a， +∞］上單調(diào)遞增，從而，函數(shù) f（ x）在［ a， +∞］上的最小值為 f（ a） =a2+1。 反之，若 f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 都有意義，則只須 x2－ 4mx+4m2+m+11?m0。 所以 f(2a－ 2x)=f[a+(a－ 2x)]=f[a－ (a－ 2x)]=f(2x)。 解： ∵ ()fx是以 5 為周期的周期函數(shù)， ∴ ( 4) ( 4 5 ) ( 1)f f f? ? ? ?， 又∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù) ， ∴ (1) ( 1) ( 4)f f f? ? ? ? ?， ∴ (1) (4) 0ff??。 5． 若存在常數(shù) T，使得 f(x+T)=f(x)對(duì) f(x)定義域內(nèi)任意 x 恒成立，則稱(chēng) T 為函數(shù) f(x)的周期，一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集 。 五．思維總結(jié) 1． 判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式： f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0； 2． 對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(x)=f(x)和 f(x)=f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(x)=f(x)， f(x)=f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件 。 例 14 ． 已知函數(shù) ()y f x? 是定義在 R 上的周期函數(shù)，周期 5T? ，函數(shù)( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數(shù)，在 [1,4] 上是二次函數(shù)，且在 2x? 時(shí)函數(shù)取得最小值 5? 。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問(wèn)題，考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行處理。 (1)證明：當(dāng) m∈ M 時(shí)， f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若 f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 都有意義，則 m∈ M； 第 26 頁(yè) 共 29 頁(yè) (2)當(dāng) m∈ M 時(shí)，求函數(shù) f(x)的最小值； (3)求證：對(duì)每個(gè) m∈ M,函數(shù) f(x)的 最小值都不小于 1。 ②當(dāng) x≥ a 時(shí)，函數(shù) f（ x） =x2+x－ a+1=（ x+21 ） 2－ a+43 。 題型六：最值問(wèn)題 例 11． （ 20xx 全國(guó)理， 21）設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（ x） =x2+|x－ a|+1， x∈ R。 ∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥ 2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－ 2 ② 由①得 x2+5x+4≥ 4，∴ x≤－ 5 或 x≥ 0 ③ 由②得 0＜ x2+5x+4≤41得 2 105??≤ x＜－ 4 或－ 1＜ x≤2 105?? ④ 由③④得原不等式 的解集為 第 24 頁(yè) 共 29 頁(yè) {x|x≤－ 5 或2 105??≤ x≤－ 4 或－ 1＜ x≤2 105??或 x≥ 0} 。 顯然 82)( 2 ????? xttfg 在 ),1( ?? 上是單調(diào)遞減的， )1,(?? 上單調(diào)遞增； 而 22 xt ?? 在 ),0(),0,( ???? 上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。抽象函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類(lèi)比較特殊的問(wèn)題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。 ∴ 11( )( )xxaeae??0?對(duì)一切 xR? 成立，則 1 0aa??，∴ 1a?? ， ∵ 0a? ，∴ 1a? 。 答案：－ 1；解：因?yàn)?x≥ 0 時(shí)， f（ x） =log3（ 1+x），又 f（ x）為奇函數(shù)，所以 f（－x） =－ f（ x），設(shè) x＜ 0，所以 f（ x） =－ f（－ x） =－ f（ 1－ x），所以 f（－ 2） =－ log33=－ 1。 （ 2）須要分兩段討論： 第 19 頁(yè) 共 29 頁(yè) ①設(shè) )。那么，稱(chēng) M 是函數(shù) y=f(x)的最大 值。 （ 2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： ○ 1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關(guān)系； ○ 3 作出相應(yīng)結(jié)論： 若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)； 若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)。 ②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如：),(,)( 2 nmxcbxaxxf ???? 的形式； ③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”） ④換元法：通過(guò)變 量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想； ⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域； ⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： )0( ??? kxkxy，利用平均值不等式公式來(lái)求值域； ⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域 。 點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)題目通過(guò)重新構(gòu)造函數(shù)解決了實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用。這說(shuō)明 ,隨著 a 的值的最少總用水量 , 最少總用水量最少總用水量。 解： (Ⅰ )設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為 x 與 z。 （ 2）設(shè)每輛車(chē)的月租金定為 x 元，則租賃公司的月收益為： 第 12 頁(yè) 共 29 頁(yè) f（ x） =（ 100－ 503000?x ）（ x－ 150）－ 503000?x 50， 整理得： f（ x） =－ 502x +162x－ 21000=－ 501 （ x－ 4050） 2+307050。 易驗(yàn)證該函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件。 （Ⅱ）因?yàn)閷?duì)任意 x∈ R， 有 f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。 （ 4） 12 ( ) ( ) 3f x f xx?? ① ， 把 ① 中的 x 換成 1x，得 132 ( ) ( )f f xxx?? ② ， ① 2??② 得 33 ( ) 6f x x x??， 第 11 頁(yè) 共 29 頁(yè) ∴ 1( ) 2f x xx??。 （ 8） 2 12 1 ( 2 1 ) 1 1 1 1212 1 2 1 2 1 2 22x x x xy x xx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ∵ 12x?， ∴ 1 02x??， ∴ 1111222 ( ) 222 ()xxxx? ? ? ? ???， 當(dāng)且僅當(dāng) 11 2122xx???時(shí)，即 122x ??時(shí)等號(hào)成立 。 又 ∵ 226 5 ( 3 ) 4 4x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 04???，故