【正文】 ，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．總結(jié)：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)． 思考：能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為（x2－x1，y2－y1）的P點嗎？平移到，則P（x2－x1，y2－y1）．（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．（1）求－的坐標(biāo)．（2）求ABCD中D點的坐標(biāo)．放開思考，展開討論，看學(xué)生們有哪些不同方法．（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）．（2）解法1：設(shè)D（x，y），∴x＝y(tǒng)＝2，D（2，2）．＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），思考：你能比較出對（2）的兩種解法在思想方法上的異同點嗎？（解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想），已知點A（3，2），點B（－2，4），求向量方向和長度．＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．設(shè)＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．由兩點的距離公式，得設(shè)相對x軸正向的轉(zhuǎn)角為α，則查表或使用計算器，得α＝80176。角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量四、拓展延伸 ，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運算類比，向量是否也能進(jìn)行運算？向量的概念教材分析向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節(jié)的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．教學(xué)目標(biāo)，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維．，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．任務(wù)分析在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時地結(jié)合實例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便．教學(xué)設(shè)計一、問題情景數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問題：，你接觸過哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別．？二、建立模型 學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大?。┖拖蛄浚扔写笮∮钟蟹较颍┑母拍睿?人們在長期生產(chǎn)生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個實數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定． 任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． ，組織學(xué)生討論（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？（4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？（5）方向為南偏西60176。的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．相等、平行和共解：都是單位向量．［練習(xí)］，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．，那么四邊形ABCD的形狀如何？，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？，點P在點O“東偏北60176。角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量四、拓展延伸，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運算類比，向量是否也能進(jìn)行運算？向量加法運算及其幾何意義教材分析引入向量后，考查向量的運算及運算律，是數(shù)學(xué)研究中的基本的問題．教材中向量的加法運算是以位移的合成、力的合成等物理模型為背景引入的，在此基礎(chǔ)上抽象概括了向量加法的意義，總結(jié)了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則．向量加法的運算律，教材是通過“探究”和構(gòu)造圖形引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運算律，驗證向量的交換律和結(jié)合律．例2是一道實際問題，主要是要讓學(xué)生體會向量加法的實際意義．這節(jié)課的重點是向量加法運算（三角形法則、平行四邊形法則），向量的運算律．難點是對向量加法意義的理解和認(rèn)識．教學(xué)目標(biāo)、力的合成等實例，認(rèn)識理解向量加法的意義，體驗數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程．，熟練運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量．，能熟練地運用它們進(jìn)行向量運算．，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題，數(shù)學(xué)地解決問題．任務(wù)分析這節(jié)的主要內(nèi)容是向量加法的運算和向量加法的應(yīng)用．對向量加法運算，學(xué)生可能不明白向量可以相加的道理，產(chǎn)生疑惑：向量既有大小、又有方向，難道可以相加嗎？為此，在案例設(shè)計中，首先回顧物理學(xué)中位移、力的合成，讓學(xué)生體驗向量加法的實際含義，明確向量的加法就是物理學(xué)中的矢量合成．在此基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．向量加法的運算律發(fā)現(xiàn)并不困難，主要任務(wù)是讓學(xué)生對向量進(jìn)行探究，構(gòu)造圖形進(jìn)行驗證．關(guān)于例2的教學(xué)，主要是幫助學(xué)生正確理解題意，把問題轉(zhuǎn)化為向量加法運算．教學(xué)設(shè)計一、問題情境，某物體從A點經(jīng)B點到C點，兩次位移點的位移結(jié)果相同．，的結(jié)果，與A點直接到C，表示橡皮筋在兩個力F1，F(xiàn)2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結(jié)果相同．位移認(rèn)為：與合成為等效，力F與分力F1，F(xiàn)2的共同作用等效，這時我們可以與、分力F1與F2某種運算的結(jié)果．?dāng)?shù)的加法啟發(fā)我們，F(xiàn)分別是位移位移、力的合成可看作數(shù)學(xué)上的向量加法．，歸納并抽象概括出向量加法的定義已知非零向量a，b（如圖373），在平面內(nèi)任取一點A，作向量，則向量叫a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝a，＝.＝b，再作求兩個向量和的運算，叫作向量的加法．這種求向量和的作圖法則，稱為向量求和的三角形法則，我們規(guī)定0＋a＝a＋0＝ａ．，組織學(xué)生討論（1）根據(jù)力的合成的平行四邊形法則，你能定義兩個向量的和嗎？（2）當(dāng)a與b平行時，如何作出a＋b？強(qiáng)調(diào)：向量的和仍是一個向量．用三角形法則求和時，作圖要求兩向量首尾相連；而用平行四邊形法則求和時，作圖要求兩向量的起點平移在一起．（3）實數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系，類似地，向量的加法是否也有運算律呢？首先，讓學(xué)生回憶實數(shù)加法運算律，類比向量加法運算律．向量加法的交換律由平行四邊形法則容易驗證．向量加法的結(jié)合律的驗證則比較困難，教學(xué)時，應(yīng)放手讓學(xué)生進(jìn)行充分探索．最后通過下面的兩個圖形驗證加法結(jié)合律．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］，b，就（1）a與b不共線，（2）a與b共線，分別求作向量a＋b． 注：要求寫出作法，規(guī)范解題格式．，常常通過輪船進(jìn)行運輸．一艘輪船從長江南岸Ａ點出發(fā)，以5km／h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km／h．（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度．（2）求船實際航行的速度的大小與方向（速度的大小保留2個有效數(shù)字，方向用與江水速度間的夾角表示，精確到度）．［練習(xí)］，已知a，b，畫圖表示a＋b．，F(xiàn)2的夾角是直角，合力F與F1的夾角是60176。b＝ba＝｜a｜2，于是｜a｜＝a求四、建立向量數(shù)量積的運算律｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab）； 同理ac＝a（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）a－aa－6b2＝｜a｜－｜a｜｜b｜cos60176。＋21［練習(xí)］1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120176。＝⊥）＝cos30176。的差或者分解成60176。cos105176。．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cαβ中的α角，用B角替換β角．2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30176。＋α）sin（α－54176。角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準(zhǔn)備多長的鋼絲繩？設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75176。＋α）．，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45176。－135176?！螧＝176。20′，求BC的長． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點間的距離公式）如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．∵｜c｜2＝c邊長精確到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝，ｂ＝，ｃ＝，解三角形．（角精確到1′）．分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．，A為建筑物的最高點．設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測量出建筑物的高．由解直角三角形的知識，只要能知道一點C到建筑物頂部A的距離CA，并能測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖439），使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習(xí)］△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1176。）（1）ａ＝，ｂ＝，C＝176。但當(dāng)B≈149176。b）c＝a（b求aa（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）b）；當(dāng)λ＝0時，（λa）c＝ab）c＝a（bb＋bb＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60176。． 22因此，當(dāng)k＝177。＋．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．點 評這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時，經(jīng)常以實數(shù)為對象進(jìn)行類比．以物理學(xué)中的力對物體做功的實例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學(xué)生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應(yīng)用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問題，越來越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個重要方面．認(rèn)識向量并會使用向量是這一部分的基礎(chǔ)，也是重點．總之，這篇案例較好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，同時，關(guān)注類比方法的運用，以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高．美中不足的是，對學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺．第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 38平面向量的基本定理平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是說明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據(jù)．這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過把一個向量在其他兩個