【正文】 0176。＋b＝c2，∴2｜a｜．同理∠AOC＝∠BOC＝120176。問(wèn)：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？解：由同理⊥＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．兩角和與差的余弦教材分析這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書(shū)中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力．，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和初步的應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．、求值和恒等式證明．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以問(wèn)題情景中的問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過(guò)程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過(guò)程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺(jué)主動(dòng)地學(xué)習(xí)．教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情景我們已經(jīng)學(xué)過(guò)誘導(dǎo)公式，如可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問(wèn)題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來(lái)表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：右圖411是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長(zhǎng)AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢(shì)比A點(diǎn)高．AD表示水平線(xiàn)，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過(guò)程中，如何確定點(diǎn)B離開(kāi)水平線(xiàn)AD的高度BE？由圖可知BE＝asin（α＋β）．我們的問(wèn)題是：如何用α和β的三角函數(shù)來(lái)表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問(wèn)題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α177。－30176。．顯然，對(duì)任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． （1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過(guò)的知識(shí)？（2）由三角函數(shù)線(xiàn)的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線(xiàn)段有關(guān)系，那么，這些有向線(xiàn)段之間是否有關(guān)系呢？通過(guò)學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線(xiàn)，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線(xiàn)段來(lái)表示OM．過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． ，組織學(xué)生討論（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過(guò)程還能成立嗎？若要說(shuō)明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考．事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋?xiě)?yīng)用［例 題］176。與30176?？蛇M(jìn)行類(lèi)似地處理，cos105176。的值．（2）求cos75176。的值．（3）化簡(jiǎn)cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215176。再用例題1中的結(jié)果即可．對(duì)于（2），逆向使用公式Cαβ，即可將原式化為cos30176。求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30176。）＋sin（36176。均看成單角，進(jìn)而直接運(yùn)用公式Cαβ，不必將各式展開(kāi)后再計(jì)算．分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸，可知角α，β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cαβ呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)推＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，對(duì)于任意角α，β都有：本節(jié)問(wèn)題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來(lái)表示sin（α＋β）的問(wèn)題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．兩角和與差的正弦教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過(guò)程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時(shí)，通過(guò)練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過(guò)誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意－（α＋β）］角），可以實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cαβ即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sαβ．Cα+β，Cαβ，Sα+β和Sαβ四個(gè)公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點(diǎn)為公式Sα+β，Sαβ兩邊的運(yùn)算符號(hào)相同，Cα+β與Cαβ兩邊的運(yùn)算符號(hào)相反．Sα+β與Sαβ中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cαβ與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．任務(wù)分析這節(jié)課計(jì)劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對(duì)三角函數(shù)中的每一個(gè)公式要求學(xué)生會(huì)推導(dǎo)，會(huì)使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會(huì)把“asinｘ＋bcosｘ”類(lèi)型的三角函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察、類(lèi)比的方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時(shí)提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類(lèi)比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點(diǎn)是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明，難點(diǎn)是公式的變形使用和逆向使用．教學(xué)目標(biāo) ，兩角和差的正弦公式，并了解各個(gè)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明．，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情景如圖421，為了保持在道路拐彎處的電線(xiàn)桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75176。與30176。再利用已知條件求出cos（30176。－sinαsin45176。）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60176。），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．四、拓展延伸出示兩道延伸性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同解決．＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60176。20′，計(jì)算BC的長(zhǎng)．（）問(wèn)題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型在問(wèn)題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝176。sinB．由此可得AC－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA， 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問(wèn)題？ （2）這一實(shí)際問(wèn)題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝，AC＝，夾角為6176。B＝176。解三角形．（角精確到1176。ｃ＝10cm．（2）A＝60176。．△ABC中，已知下列條件，解三角形．（176。求B．（精確到1176。或B≈149176。． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形呢？（1）當(dāng)A為鈍角或直角，必須滿(mǎn)足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無(wú)解），并且由sinB＝計(jì)算B時(shí)，只能取銳角，因此，只有一解，如圖4310．（2）當(dāng)A為銳角時(shí)，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖4011．計(jì)算B時(shí)，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無(wú)解．如圖4312．③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖4313．④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角的值，如圖4314．思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來(lái)解三角形時(shí)，它們的解會(huì)是怎樣的？第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 40平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線(xiàn)段的垂直等問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．兩向量的數(shù)量積“ab＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ae＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。＝－10． ［練習(xí)］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）ab＝b（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（ab）． 總之，（λa）b）．（3）（a＋b）a＋cc．思考：（1）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足結(jié)合律，即（ab，那么a＝c嗎？五、應(yīng)用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類(lèi)似地，對(duì)任意向量a，b，也有類(lèi)似結(jié)論嗎？為什么？解：類(lèi)比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2aa＋ab＋b2，22（a＋b）a－b（a－3b）＝ a2－3a（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。c＋2b＋b，即以b在a上射影的長(zhǎng)和ａ的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系．，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問(wèn)：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。＝（－）＝0，即的向量與北偏東60176。角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度．（3）向量四、拓展延伸，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運(yùn)算類(lèi)比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？案例點(diǎn)評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．該案例首先通過(guò)實(shí)例闡述了向量產(chǎn)生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計(jì)有新意，有深度．為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)．