【正文】 9時，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。所以這個多位數(shù)除以9余1。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)相同。因為0≠1，所以這個算式不正確。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。4．有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。因為17＜32，所以應給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。11=799247。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋32=11，這個數(shù)就能被11整除?；喌肂A＝4或AB＝7。5A634B能被33整除，求A+B。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291247。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。3的余數(shù)與51247。6＝3??2知，320247。4；（2）8111247。從整個算式來看，78是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋172=20。所以答案為 與綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程例3 下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□247。分析與解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：18或24。例5 從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結果盡可能大：[○247。1（8＋7）]－[23＋4－6]=131。4．在下面的□里填上+，，247。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。滿足條件的解如右式。下面采用逐一試驗的方法求解。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，?表示□內(nèi)應填入的數(shù)字（見右上式）。666666247。例3 下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程如果“學”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。第10講 數(shù)字謎（二）例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補上：分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。2．加上適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立：＝100。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。例4 將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□□=8，□□=6，□□247。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應該是偶數(shù)。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的78所得的積比20大得多。練習81．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）172．求下列各式運算結果的個位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）4696211；（4）3748+59610。7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由55247。因為10a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。由29247。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91247。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表： 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復出現(xiàn)一次。由88247。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25（3+6+7）=9。12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈412＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數(shù)重復出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。因為六位數(shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。例5 用1～9九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。6236＝3748；（4）12345247。乘積的九余數(shù)是7。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。只剩下7，6，1，5四個數(shù)，這時口算一下即可。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。因為B，C應盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B＝1，C＝5。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有54＝20（個）。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝23，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。利用上面關于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關的問題。問：時鐘一晝夜敲打多少次？。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。4＋1＝25，原式=（3＋99）25247。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構成等差數(shù)列。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例4 28657265＝？解：練習2計算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。（1）由乘法分配律和結合律，得到7838 ＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8 ＝7030+830＋708＋88 ＝7030＋8（30＋70）＋88 ＝73100＋8100＋88 ＝（73＋8）100＋88。7278的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；2686的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。例6 7791＝？解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0，本例為71＝07。解：9932=993993＝（993＋7）（9937）+72＝1000986＋49＝986000＋49＝986049。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如77＝49（七七四十九）。加數(shù)的個數(shù)。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號表示這個數(shù)比80小。對照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農(nóng)民。例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；（2）在北京工作的不是教師；（3）在上海工作的是工人；（4）席輝不是農(nóng)民。問：這幾天中共有幾個雨天？7．振興小學六年級舉行數(shù)學競賽，共有20道試題?？汕蟪鲂访糠昼娞?80——60）247。小學奧數(shù)基礎教程（四年級）＋＝（元）。9＝16（噸）。解：小瓶有（45020）247。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多200——20=180（只）。在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。因此這類問題也叫置換問題。（42）=6（只），有雞166＝10（只）。問：祖孫三人各多少歲？8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了。因而只需求出12里面有幾個2即可。小學奧數(shù)基礎教程（四年級）事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為（204－20）247。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為55247。（5——1）＝7（歲）。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？小學奧數(shù)基礎教程（四年級）7．。解：（60806020）247。解：（605）247。12＝10（時）。7）247。7=12（噸）。3247。（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？2400247。5247。（2）95000千克能制造多少根鋼軌？95000247。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。（1900247。解：（630247。（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？25600247。例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。5＝7（輛）。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價等。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。練習111．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲