【正文】 如圖 ，頂部跨式組合的盈虧圖與圖 。寬跨式組合也分底部和頂部，前者由多頭組成，后者由空頭組成。 ? 強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為 ， 不僅是已公布的信息 ， 而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中 ， 因此任何信息（ 包括 “ 內(nèi)幕信息 ” ） 對挑選證券都沒有用處 。 在這個過程中 ， 只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān) ， 變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān) 。 ?對于相互獨(dú)立的正態(tài)分布 ， 方差具有可加性 ， 而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性 。同樣，在任意時間長度 T后 x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 b2T。 ( , ) ( , )dx a x t dt b x t dz??2221()2G G G GdG a b dt bx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 從式 （ ） 中 ， 我們可得： （ ） ? 我們知道 ， 衍生證券的價格是標(biāo)的證券價格 S和時間 t的函數(shù) 。 ? 實際上，有些假設(shè)條件我們可以放松，如、和 r可以是 t的函數(shù)。 ? 于是，我們就可以利用布萊克 —— 舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)： ? 在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。 ? 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I時，我們只要用（ S－I）代替 S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價 ? 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格從開始的 S運(yùn)動到兩個新值 Su和 Sd中的一個，如圖 。 ? 例： S0 = 50。 p = 據(jù)此我們可以畫出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹型圖，如下圖： ? 在時刻，股票在第 j個結(jié)點(diǎn)（ j=0， 1， 2， ?? i）的價格等于。在 E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行將使期權(quán)價值為 0 ，所以不應(yīng)提前執(zhí)行。 () (1 )r q te pu p d?? ? ? ?()r q tedp ud?? ?? ?1 dpud???（二）支付已知收益資產(chǎn)的期權(quán)定價 1．已知紅利率 ? 若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定時間將支付已知收益率 ?，我們只要調(diào)整在各個結(jié)點(diǎn)上的證券價格就可算出期權(quán)價格。 2023/3/82023/3/8Wednesday, March 8, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 2023/3/82023/3/82023/3/82023/3/8 ? 沒有失敗，只有暫時停止成功！。 2023/3/82023/3/8March 8, 2023 ? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 2023年 3月 8日星期三 2023/3/82023/3/82023/3/8 ? 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。勝人者有力，自勝者強(qiáng)。 2023年 3月 8日星期三 2023/3/82023/3/82023/3/8 ? 1楚塞三湘接，荊門九派通。 2023年 3月 2023/3/82023/3/82023/3/83/8/2023 ? 1行動出成果，工作出財富。 通過把未來收益現(xiàn)值加在每個結(jié)點(diǎn)的證券價格上，就會使原來的二叉樹轉(zhuǎn)化為另一個模擬 S的二叉樹。 , max( ,0)j N jNf j X Su d ???1 1, 1[ (1 ) ]rtij i i jjf e pf p f?????? ? ?1 1, 1max{ , [ (1 ) ]}j i j r tij i i jjf X Sud e pf p f? ?????? ? ??二、有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價 （一）支付連續(xù)復(fù)利收益率資產(chǎn)的期權(quán)定價 ? 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率 q的收益時，在風(fēng)險中性條件下，證券價格的增長率應(yīng)該為 r－ q， 因此可得： ? 對于股價指數(shù)期權(quán)來說， q 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， q為國外無風(fēng)險利率，因此上式也可用于股價指數(shù)和外匯的美式看跌期權(quán)的定價。這意味著所計算的期權(quán)價值是時間內(nèi)期權(quán)價值期望值的現(xiàn)值。 d = 。一般而言，在時刻 i ?t ，證券價格有 i+1種可能，它們可用符號表示為： ? 其中 j=0， 1， 2， …… ， i j i jS u d ?（三）倒推定價法 ? 由于在 T時刻的期權(quán)價值是已知的。 2．美式看跌期權(quán) ? 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。 ? 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量， SN（ d1)就是股票的市值 , erTXN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。 fs??t?fs?? （二）風(fēng)險中性定價原理 ? 從上可以看出受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。 ? 根據(jù)式 （ ） 和對數(shù)正態(tài)分布的特性 ,可知ST的期望值 E(ST)為： ? 這與作為預(yù)期收益率的定義相符 。 dS d t d zS ????2? ?t?S ttS ? ??? ? ? ? ?~ ( , )S ttS ? ? ?? ??T?四、伊藤過程和伊藤引理 ? 普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時間 t的函數(shù)，我們可以從公式（ ）得到伊藤過程（ Ito Process）： （ ） 其中， dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2。方差率為 段長度為 T的時間段后， z的方差為 ?T。從特征 2可知 ， 是相互獨(dú)立的 ， 因此 z（ T） z（ 0） 也具有正態(tài)分布特征 ， 其均值為 0， 方差為 N?t=T， 標(biāo)準(zhǔn)差為 。 根據(jù)變量取值范圍是否連續(xù)劃分 ， 隨機(jī)過程可分為離散變量隨機(jī)過程和連續(xù)變量隨機(jī)過程 ， 前者指變量只能取某些離散值 ， 而后者指變量可以在某一范圍內(nèi)取任意值 。 ? 弱式效率市場假說認(rèn)為 ， 證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息 ， 也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益 。 3． 寬跨式組合?？缡浇M合分為兩種：底部跨式組合和頂部跨式組合。 ? （ X1， T*）空頭加（ X2， T）多頭組合。 ?一份看跌期權(quán)多頭與一份期限較長的看跌期權(quán)空頭的組合，稱看跌期權(quán)的反向差期組合。兩者的圖形剛好與 X軸對稱。 牛市差價組合 ? 牛市差價組合在不同情況下的盈虧可用表 。 ? 圖 （ a）反映了標(biāo)的資產(chǎn)多頭與看漲期權(quán)空頭組合的盈虧圖，該組合稱為有擔(dān)保的看漲期權(quán)（ Covered Call）空頭。 因此組合 A的價值大于組合 B。 ? 有收益美式看跌期權(quán)價格曲線與圖 ， 只是把 X換成 D+X。 ? 根據(jù)式 （ ） ， 在 tn時刻期權(quán)的價值 （ Cn） ()max[ ,0]nrT tn n n nC c S D Xe??? ? ? ?? 因此 ， 如果： 即： （ ） 則在 tn提前執(zhí)行是不明智的 。 因此 ， 同一種無收益標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價值是相同的 ， 即： C=c （ ） ? 根據(jù) （ ） ， 我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限： （ ） ?()rTS X Xe ?? ?????S ?,0Tr? ??? ?()r T tXe X?? ?()max[ ,0]r T tC SX e???? 2． 看跌期權(quán) ? 為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)是否合理 ， 我們考察如下兩種組合： 組合 A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 組合 B：金額為 的現(xiàn)金 ? 若不提前執(zhí)行 ， 則到 T時刻 ， 組合 A的價值為max（ X， ST） ， 組合 B的價值為 X， 組合 A的價值大于等于組合 B。 max( , )TSX()r T tXe ??? 由于 ， 因此 ， 在 t時刻組合 A的價值也應(yīng)大于等于組合 B， 即 : c+Xer(Tt)≥S 所以 c≥SXer(Tt) ? 由于期權(quán)的價值一定為正 ， 因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為 （ ） （ 2） 有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限 ? 我們只要將上述組合 A的現(xiàn)金改為 +D， 并經(jīng)過類似的推導(dǎo) ， 就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為： （ ） ()max[ ,0]r T tc S Xe????max( , )TTS X S?()max[ ,0]r T tc S D Xe??? ? ?()r T tXe??2． 歐式看跌期權(quán)價格的下限 （ 1） 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 ? 考慮以下兩種組合： 組合 C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 組合 D：金額為 的現(xiàn)金 ? 在 T時刻 ， 組合 C的價值為： max（ ST， X） ? 假定組合 D的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資 ， 則在 T時刻組合 D的價值為 X。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。 ? 歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為 (STX)的現(xiàn)值。有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價值也等于 SD Xer(Tt)。當(dāng) SX er(Tt)的絕對值增大時，期權(quán)的時間價值是遞減的，如圖。 ? 為了精確地推導(dǎo)這個結(jié)論 ， 我們考慮如下兩個組合： 組合 A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金 組合 B：一單位標(biāo)的資產(chǎn) ? T時刻組合 A的價值為 max（ ST， X） ， 而組合 B的價值為 ST， 可見組合 A在 T時刻的價值一定大于等于組合 B。 一般來說 ， 只有當(dāng) S相對于 X來說較低 ， 或者 r較高時 ， 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的 。 ? 同樣 ， 在 ti時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是： （ ） ? 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性 ，