【正文】 內(nèi)曼分配？ 一個(gè)模擬總體的分配情況 hNhS hhSNh 1 5 400 2023 2 10 500 5000 3 200 10 2023 4 400 20 8000 合計(jì) 615 — 17000 hN hS2023/2/3 97 解： 計(jì)算各層的樣本量： （ 1）第一層樣本量的分配： 而 ，可見 ，則 （ 2）將 個(gè)待分配的樣本量分到 2— 4層： 1700020238041111 ????????hhh SNSNnn51 ?N 11 Nn ? 5/1 ?n 75580/1 ???? nn2515000500075)( 4222/12 ????????hhh SNSNnnn2023/2/3 98 而 ，可見 ， 則 ? （ 3）將 個(gè)待分配的樣本量分到 4層： 因?yàn)? ， ，所以 102 ?N 22 Nn ? 10/2 ?n 6510580/2/1 ?????? nn1310000202365)(4333/2/13 ?????????hhh SNSNnnnn2023 ?N 33 Nn ? 13/3 ?n（ 4）將 6510580/2/1 ?????? nnn個(gè)待分配的樣本量分到第 4層： 2023/2/3 99 因?yàn)? ， ，所以 因此，各層所分配的樣本量是： 5， 10， 13， 52 5210000800065)(4344/2/14 ?????????hhh SNSNnnnn4004 ?N 44 Nn ? 52/4 ?n 此時(shí)上題計(jì)算總體均值估計(jì)量的最小方差為： )2061540010615200(6151)2061540010615200(651)(1)(1)(222/2///?????????????? ??hhhhhhstSWNSWnyV對(duì)第三、四層計(jì)算 2023/2/3 100 第五節(jié) 總樣本量的確定 一 .影響樣本總量 n的因素 1. 估計(jì)量精度的要求 : (1)對(duì)總體參數(shù)估計(jì)的精度 (2)對(duì)各層參數(shù)估計(jì)的精度 (1)總費(fèi)用的限制 (2)不同層中平均抽取一個(gè)單元的費(fèi)用 3. 層的劃分和層的樣本量的分配形式 2023/2/3 101 由于估計(jì)量的精度實(shí)際上取決于每層樣本量的大小，因此在總樣本量給定的情況下，對(duì)層樣本量的不同分配，其精度也不同。 （ 2）由于最優(yōu)分配時(shí)需對(duì) 層標(biāo)準(zhǔn)差 進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)又不可能十分精確，加上計(jì)算時(shí) 樣本量必須取整數(shù) ，因此理論上的最優(yōu)分配的最小方差并不一定能達(dá)到。是各層標(biāo)準(zhǔn)差按層權(quán)的其中222)(112023/2/3 120 ? 從上式可以看出，最優(yōu)分配在精度取決于各層標(biāo)準(zhǔn)差的差異，差異越大，最優(yōu)分配的效果越好，反之若各層間標(biāo)準(zhǔn)差（方差）差別不大，那么最優(yōu)分配的效果就不會(huì)比比例分配的效果好很多。 ? 思路 : 設(shè)總體分成 h層 ,假定 與 分別為總體的最小與最大可能值。 ２．分層考慮費(fèi)用。 2023/2/3 135 如果樣本是按某一個(gè) 輔助指標(biāo) 分層后抽取的 ,只要這個(gè)事先分層抽樣是嚴(yán)格按 比例分配 進(jìn)行的 ,則這個(gè)樣本是自加權(quán)的 ,總體中每個(gè)單元被抽中的概率相同 ,可以將這個(gè)樣本看做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ,分別對(duì)其它指標(biāo)進(jìn)行事后分層估計(jì)。式中 y2023/2/3 132 當(dāng) 固定且都大于零的條件下 ,落到各層的樣本可以看成是獨(dú)立地從各層中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ,這時(shí) ,事后分層估計(jì)量 的方差為 : 式中 , psty? ? ??????LhhhLh hhhp s t SWNnSWyV12122 1? ?21211 ?????hNihhihh YYNS2023/2/3 133 事后分層的合理性 , 即認(rèn)為既然簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是總體的一個(gè)惟妙惟肖地刻畫 ,那么按樣本特征所聚的類恰好反映了總體的某一特色部分的層 ,而樣本的各層恰好可認(rèn)為是來自總體相應(yīng)層的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 一般以目標(biāo)量 作為分層指標(biāo) ,但 未知，一般 通過與高度相關(guān)的輔助指標(biāo) 來進(jìn)行。這個(gè)標(biāo)志可以是目標(biāo)量的前期值，也可 以完全是另一個(gè)變量。事實(shí)上正因?yàn)閷娱g的這種變異不進(jìn)入分層隨機(jī)抽樣的方差，因此才有分層隨機(jī)抽樣精度高于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)果。在調(diào)查 多個(gè)目標(biāo)量 時(shí)，按比例分配的分層抽樣可能更好些。 hn hN hh Nn ?knn?hchShN2023/2/3 94 以不考慮費(fèi)用的內(nèi)曼分配為例，實(shí)際操作步驟如下： 2023/2/3 95 ? 在這種情況下，對(duì)于方差 的一般公式，可以直接將修正后的最優(yōu)分配所得的 帶入，而內(nèi)曼分配最小方差公式則需必要的調(diào)整： 其中， 是僅對(duì)最后實(shí)際分配的樣本量 嚴(yán)格小于 的各層求和， 也只是這些層中抽取的單元總數(shù)。 hNhS hchn hhSW hhSN c2023/2/3 84 由此得出下面的行為準(zhǔn)則，如果某一層： ? 單元數(shù)較多 ? 內(nèi)部差異較大 ? 費(fèi)用比較省 則對(duì)這一層的樣本量分配較多些。 2023/2/3 77 ? 自加權(quán)： 如果總體總量 (或均值 )的無偏估計(jì)量可以寫成樣本觀測(cè)值的總和 (或平均數(shù) )的常數(shù)倍（如： Y=ky或 ），那么這種樣本 (或估計(jì)量 )稱作 自加權(quán) 的或 等加權(quán) 的。另一個(gè)重要考慮因素是由于 的不同而帶來數(shù)據(jù)處理的困難。 當(dāng)回歸系數(shù)未知時(shí)，取 為 的樣本估計(jì)： ?? ?? ????????Lh hxhhhLh hyxhhhcnSfWnSfWB1221211? ?lrcyV?cB? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ??????????????hxhhhhhyxhhhhhniihhhhhnihhihhihhhhcsnfWsnfWxxnnfWxxyynnfWbhh222122111111122 2 21( 1 )( ) ( 2 )L hhlr c y h c x h c x y hh hWfV y S B S B Sn??? ? ?? 22 2 21( 1 )( ) ( 2 )L hhlr c y h c x h c x y hh hWfv y s b s b sn??? ? ??2 :hr第 h層樣本相關(guān)系數(shù)的平方 ? ?? ?21221( 1 ) /( 1 ) /Lh h x y h hhc Lh h x h hhW f s nbW f s n???????2023/2/3 65 這時(shí)聯(lián)合估計(jì)是有偏的 ,但當(dāng)樣本量 n 較大時(shí) ,估計(jì)量的偏倚趨于零 ,回歸估計(jì)是漸近無偏的，且 ? ? ? ? ? ?yxhcxhcyhh hhhlr c SBSBSnfWyV 21 2222 ???? ?? ?lrcyV ? ?? ? ? ?yxhcxhcyhh hhhlr c sbsbsnfWyv 21 2222 ???? ?方差 的樣本估計(jì)為 : 2023/2/3 66 (三 )分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的比較 ? 當(dāng)回歸系數(shù) 事先設(shè)定 時(shí)，分別回歸估優(yōu)于聯(lián)合回歸估計(jì)，尤其在 各層回歸系數(shù)相差較大時(shí)，分別回歸估計(jì)更好。 hRhR【 例 】 某市 1996年對(duì) 950家港口生產(chǎn)單位完成的吞吐量進(jìn)行了調(diào)查， 1997年欲對(duì)全市港口生產(chǎn)單位完成的吞吐量進(jìn)行抽樣調(diào)查。 2023/2/3 28 解 : 2023/2/3 29 2023/2/3 30 ? 全市年戶均收入的置信區(qū)間 : ,即 — (元 ) 注 :由于城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民收入水平，抽樣比不同 (前者大于后者 )。 2023/2/3 10 三．符號(hào)說明 層號(hào)： h(h=1,2…,L) 第 h層的記號(hào)如下 : 單元總數(shù)： 樣本單位數(shù)： 第 i個(gè)單元標(biāo)志值為 : 從該層中抽取的樣本的單元值為 : 層權(quán)： 抽樣比： 總體均值： 樣本均值： ),.. .,2,1( hhi niy ?NNW hh ?hhh Nnf ? ??hNihihh YNY11??hnihih yny11),.. .,2,1( hhi NiY ?2023/2/3 11 ? 層內(nèi)方差： ? 樣本方差： 2023/2/3 12 第二節(jié) 簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì) 一．總體均值的估計(jì) (一 )簡(jiǎn)單估計(jì)量的定義 對(duì)于分層樣本，對(duì)總體均值 的估計(jì)是通過對(duì)各層的 的估計(jì) ,按層權(quán) 加權(quán)平均得到的。 2023/2/3 7 (三 )作用 可以對(duì)各層的參數(shù)進(jìn)行估計(jì) , 有助于提高估計(jì)精度 。如果每層都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則稱為分層隨機(jī)抽樣，所得到的樣本稱為分層隨機(jī)樣本。 2023/2/3 5 分層隨機(jī)抽樣三原則： （ 1） 每層都抽樣 ； （ 2）各層都 獨(dú)立 地抽樣； （ 3）各層的抽樣都是 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 。 ２．盡可能使層內(nèi)單元的標(biāo)志值相近，層間單元的差異盡可 能大，從而達(dá)到提高抽樣估計(jì)精度的目的。 的方差為 : YhY?hYstY?YstY?? ? ? ????Lhhhst YVWYV12 ??由于各層的抽樣是相互獨(dú)立的 2023/2/3 14 證明：因各層抽樣是相互獨(dú)立，則 也相互獨(dú)立，則有 ? ? ? ? ? ?? ??? ????? ?????????????????LhhhLhLjhhLhhstYVWWWWVYV121 hjjhL1h2h1h?Y?,Y?cov2Y?VWY??hY? ? ? 0Y?,?covj ?hY2023/2/3 15 性質(zhì) 2 對(duì)于 分層隨機(jī)抽樣 , 是 的無偏估計(jì) , 的方差為 : 2023/2/3 16 性質(zhì) 3 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣 , 的一個(gè)無偏估計(jì)為： ??????????????LhhhLh hhhhLh hhhLhhhstNsWnsWsnfWyvWyv12122212121)()(2023/2/3 17 ? 注 : 當(dāng)