離散數(shù)學(xué)(存儲(chǔ)版)
【正文】 學(xué) 15 例 1(1)的符號(hào)化 (1) π是無(wú)理數(shù) . 解 : 個(gè)體 : π(代表圓周率 ) 謂詞 : … 是無(wú)理數(shù) , 以 F表示 則此命題可表示為 F(π). 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 16 例 1(2)的符號(hào)化 (2) 張三與李四同在計(jì)算機(jī)系 . 解 : 個(gè)體 : 張三 , 李四 : 分別以 a, b表示 謂詞 : … 與 … 同在計(jì)算機(jī)系 : 以 G表示 則此命題可表示為 : G(a, b) 個(gè)體 : 張三 : 以 a表示 謂詞 : … 與李四同在計(jì)算機(jī)系 : 以 G’表示 此命題可表示為 : G’(a) 個(gè)體 : 李四 : 以 b表示 謂詞 : 張三與 … 同在計(jì)算機(jī)系 : 以 G’’表示 此命題可表示為 : G’’(b) 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 17 例 1(3)的符號(hào)化 (3) x與 y的和等于 z (x, y, z 是確定的數(shù) ). 解 : 個(gè)體 : x, y, z 謂詞 : … 與 … 的和等于 …: 以 R表示 符號(hào)化 : R(x, y, z) 個(gè)體 : x, z 謂詞 : … 與 y的和等于 …: 以 R’表示 符號(hào)化 : R’(x, z) 個(gè)體 : x, y, z 函詞 : … 與 … 的和 : 以 f2表示 謂詞 : … 等于 …: 以 R’’表示 符號(hào)化 : R’’(f2(x, y), z) 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 18 例 1(4)的符號(hào)化 (4) π的平方是非負(fù)的 . 解 : 個(gè)體 : π的平方 : 以 a表示 謂詞 : … 是非負(fù)的 : 以 R表示 符號(hào)化 : R(a) 個(gè)體 : π 函詞 : … 的平方 : 以 f表示 謂詞 : … 是非負(fù)的 : 以 R表示 符號(hào)化 : R(f(π)) 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 19 例 1(5)的符號(hào)化 (5) 所有實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)的 . 解 : 個(gè)體 : 每一個(gè)實(shí)數(shù) : 以 x表示 函詞 : … 的平方 : 以 f表示 謂詞 : … 是非負(fù)的 : 以 R表示 量詞 : 所有 : 以 ? 表示 符號(hào)化 : ?xR(f(x)) x可以代表不同的個(gè)體 , 稱為個(gè)體變?cè)? 相對(duì)地 π等稱為個(gè)體常元 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 20 例 1(5)的符號(hào)化 (續(xù) ) (5) 所有實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)的 . 解 : 個(gè)體 : 每一個(gè)實(shí)數(shù) : 以 z表示 謂詞 : … 是一個(gè)實(shí)數(shù) , 以 R’表示 函詞 : … 的平方 : 以 f表示 謂詞 : … 是非負(fù)的 : 以 R表示 量詞 : 所有 : 以 ? 表示 符號(hào)化 : (?z)(R’(z) → R(f(z)) 最清晰 個(gè)體變?cè)?x和 z的取值范圍不同 . 個(gè)體變?cè)娜≈捣秶Q為它的論域 . 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 21 例 1(6)的符號(hào)化 (6) 有一個(gè)比 21000大的素?cái)?shù) . 解 : 個(gè)體 : 一個(gè)素?cái)?shù) : 以 y表示 謂詞 : … 比 21000大 : 以 P1表示 量詞 : 有一個(gè) : 以 ?表示 符號(hào)化 : (?y)P1(y) 還可以表示為 : (?x)(P2(x) ∧ P1(x)), 其中 : x表示某個(gè)數(shù) , P2表示 ‖… 是一個(gè)素?cái)?shù) ‖, P1同上 . 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 22 表示命題的符號(hào) ? 個(gè)體變?cè)?: x, y, z, … ? 個(gè)體常元 : a, b, c, … ? 謂詞 : Fn, Gn, Hn, … ? 函數(shù) : fn, gn, hn, … ? 量詞 : 全稱量詞 ? , 存在量詞 ? ? 聯(lián)結(jié)詞 : 172。 E(x)), 從而命題可表示為 : 172。 (y=x))→ xy)) x, y: 數(shù) Z: … 是整數(shù) 注 : 此符號(hào)串中 , ―=―和 ‖‖是什么類型的符號(hào) ? 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 29 例 2(6)的符號(hào)化 (6) 任意 ε 0, 存在 δ 0, 如果 |xa| δ, 則 |F(x) – b| ε. 解 : ? ε (ε 0 → (? δ )(δ 0 ∧ (|xa| δ → |f(x)b| ε ))) 注 : 此符號(hào)串中有哪些謂詞符號(hào) ? 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 30 例 2(7)的符號(hào)化 (7) 恰有三個(gè)互不相同的素?cái)?shù)小于 7. 解 : (?x1)(?x2)(?x3)( (x17 ∧ x27 ∧ x37) ∧ (P(x1) ∧ P(x2) ∧ P(x3)) ∧ (172。 A)是公式 。 對(duì) ∨ , ∧ , ? 也類似規(guī)定 . (4) ?x, ?x的優(yōu)先級(jí)高于所有聯(lián)結(jié)詞 . 將 (?x)A, (?x)A分別記為 ?xA, ?xA. (5) (?x1)…(?xn)A簡(jiǎn)記為 ?x1…xnA。 稱公式 (?x)A中的 A為量詞 (?x)的轄域 . 例 : 在 ?x1?x2(?x3F(x1, x2)→ F(x2, x3))中 , (?x1)的轄域?yàn)??x2(?x3F(x1, x2)→ F(x2, x3)), (?x2)的轄域?yàn)?(?x3F(x1, x2)→ F(x2, x3)), (?x3)的轄域?yàn)?F(x1, x2). 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 45 約束出現(xiàn)與自由出現(xiàn) 定義 4: 變?cè)?hào) x在公式 A中的某處 出現(xiàn) 稱為是 約束出現(xiàn) , 如果 ? 此處出現(xiàn)是在 (?x)或 (?x)的轄域內(nèi) , 或者 ? 是 (?x)中的 x, 或者 ? 是 (?x)中的 x. 若 x在 A中的某處出現(xiàn)不是約束出現(xiàn) , 則稱 x的 此處 出現(xiàn) 為 自由出現(xiàn) . 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 46 例 4 下列公式中 , 指出變?cè)母魈幊霈F(xiàn)是自由出現(xiàn)還是 約束出現(xiàn) . (1)?x1?x2(F(x1, x2)→ F(x1, x3)) (2)?x1F(x1)→ F(x1) (3)?x1F(x1, x2)→ ?x1F(x2) 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 47 例 4的解 解 : (1) ?x1 ?x2 (F(x1, x2) → F(x1, x3)) 約束 約束 約束 約束 約束 自由 (2) ?x1 F(x1) → F(x1) 約束 自由 (3) ?x1 (F(x1, x2)) → ?x1 F(x2) 約束 約束 自由 約束 自由 注 : 同一個(gè)變?cè)谕粋€(gè)公式中可能既有自由出現(xiàn) ,又有約束出現(xiàn) . 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 48 約束變?cè)c自由變?cè)? 定義 5: 設(shè)個(gè)體變?cè)?hào) x在公式 A中出現(xiàn) . ? 如果 x在 A中的所有出現(xiàn)都是約束出現(xiàn) , 稱 x為 A的約束變?cè)?。 (2) 若 ? 的公式 A中不含任何自由變?cè)?hào) , 則稱 A為 ? 的一個(gè)閉公式 , 簡(jiǎn)稱閉式 . 例如 ?x?y(F(x)?G(y)?H(x,y)) 為閉式， ?x(F(x)?G(x,y)) 不是閉式 2022/8/27 離 散 數(shù) 學(xué) 60 定義 設(shè) L 是 ?生成的
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