現(xiàn)代控制理論第4章(存儲版)
【正文】 ???????????????????????nnVVVxVxVxVV2121?2）向量的曲線積分 變力做功問題 ：變力 F沿著給定路徑 L所做的功可用曲線積分來計算。則平衡狀態(tài)）（）（時，若隨著0,333)()()(23221221322121322121???????????????????????????eTxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxVx關(guān)于定理的幾點說明： （ 1）該定理對非線性系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)只給出了穩(wěn)定的充分條件，若 不是負定的，則不能給出任何結(jié)論。以外，沒有其他平衡點中，除說明：在整個狀態(tài)空間 0?x???????)0()0(0)()()(xxxfxfxV T正數(shù)正定負定時，上式表明： )()(? xVxF負定負定 )()(?)2( xVxF ??)()()()()()( xfxFxxFdtdxx xfdt xdfxf ?????? ??)()()()()( xfxfxfxfxV TT ??? ??? ? )()()()()()( xfxFxfxfxfxF TT ??)()()()()()( xfxFxfxfxFxf TTT ??? ?)()(?)()()()()(xfxFxfxfxFxFxfTTT???。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 分析 線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。原點是漸近穩(wěn)定的。 )(? xF（ 2）使 為負定的必要條件是， F(x)主對角線上的所有元素不為零，即： )(? xF),2,1(0 nixfii ?????（ 3） 線性系統(tǒng)是 非線性系統(tǒng)的特例，該定理也適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。 ??LF d LA積分的結(jié)果與積分路徑的選擇無關(guān)。 2） 由 ?V寫出 ，即： )(xv?xVxv T ?? )()( ??3）限定 是負定的或至少是負半定的，并用 n(n1)/2個旋度方程 )(xv?),1,( njixFxFijji ???????確定待定系數(shù) aij 。則若21212112)(,0)21(xxxxxvxx??? ?（ 4）求出李氏函數(shù) ?????????????????21212 xxVVV01221 ????????xVxV滿足旋度方程條件，于是有 021)(222102201121??????? ??xxdxVdxVxvxx可見，李氏函數(shù)是正定的。 為了判斷 n?n維矩陣的正定性， 可采用賽爾維斯特準則， 即矩陣為正定的充要條件是矩陣的所有主子行列式均為正值。 (5) 為了確定矩陣 P的各元素，可使矩陣 和矩陣 –Q 的各元素對應(yīng)相等。 ?????????????????????21211110xxxx??[例 ] 設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 從方程組中解出 、 、 ，可得 11p 12p 22p為了檢驗 P的正定性，可校核各主子行列式 將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為 01212123,02321 ?????? 顯然， P是正定的。因為由式 (）可得 顯然， 對于 ，其秩為 3。( 0xt?對線性定常系統(tǒng)，可以定出 隨時間 的衰減上界。不妨取 Lyapunov函數(shù) *IPAPA T ???實對稱矩陣 P可由下式確定 ????????4001*IQ上式可寫為 將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為 從方程組中解出 、 、 ，可得 11p 12p 22p各主子行列式均大于零 ,P是 正定性的。 ??||)(|| kx ??))(( kxV(iv) 當 時， 有 。 反之對于選定 正定對稱矩陣 Q ， 由矩陣方程 Q = – (G T P G – P ) 解出 P陣， P為正定對稱矩陣是系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的必要條件。 313221232221 242113 xxxxxxxxxQ ??????? 試確定下列二次型是否為負定的。 例： 設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定的條件。 證明： 設(shè)所選李氏函數(shù)為 v[x (k)]=x T (k) P x (k) 式中： P 為正定實對稱矩陣。因此，可相應(yīng)對其放寬，而得到較少保守性的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理。 結(jié)論： 對線性定常系統(tǒng) (),設(shè)正定對稱矩陣 PQ,成立： () [例 ] 設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ?????????????????????21213120xxxx??求系統(tǒng)的 Lyapunov函數(shù)，并求從封閉曲線 v(x)=100邊界上的 一點到封閉曲線 v(x) =。 () 當系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定時， 正定，而 為負定，因此引入如下定義的一個正實數(shù) 衰減系數(shù) )(xV?)(xV系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)的正定函數(shù)， 是系統(tǒng)某種 “ 能量 ” 的度量，而 則為 “ 能量 ” 隨時間的變化速率。因此，為了分析穩(wěn)定性，可采用由式 (）定義的矩陣 Q。 IQ?IPAPA H ???上式可寫為 IPAPA T ???此時實對稱矩陣 P可由下式確定 PxxxV T?)([解 ] 不妨取 Lyapunov函數(shù) 顯然，平衡狀態(tài)是原點。 則 沿任意軌跡不恒等于零。 式中 由于 取為正定，對于漸近穩(wěn)定性， 要求為負定的，因此必須有： )(xV )(xV?QxxxV H??)(?因此，對于式 (）的系統(tǒng)，其漸近穩(wěn)定的充分條件是 Q正定。 解： （ 1） 假定 v (x)的梯度為 ???????????????????2121212121112 VVxxaxaxaV（ 2） 寫出 的形式 )(xv? xVxvT ?? )()( ????????????????????222112121212111 22)(xxxxxxaxaxaxVT???????????????????222112121212111 22)(xxxxxxaxaxaxVT?))(2()2)(( 221212211212111 xxxaxxxxaxa ???????)2()22( 222121222112211223111211
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