彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問(wèn)題(存儲(chǔ)版)
【正文】 此 ， 我們總是盡可能應(yīng)用前者 ， 而只有在無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者 。 單位體積的形變勢(shì)能（ 形變勢(shì)能密度 ）。 2xyγ2μ1?U?U?彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 二 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 22 lC D E F A B 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 二 例題 2 圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來(lái)，若在其中切開一小口 AB時(shí)，試說(shuō)明板的形變勢(shì)能將發(fā)生什么變化？ 解： ⑴當(dāng) AB線切開時(shí)， AB線上的應(yīng)力趨于 0，而形變勢(shì)能是正定， ，當(dāng)應(yīng)力 時(shí)，相應(yīng)的形變勢(shì)能也失去。 usζsu v(a) 其中⑴，⑵屬于 靜力平衡條件 ，⑶屬于 約束條件 。 .dd)(?? ??? A xyxyyyxx yxζζU ????????21( j ) 位移變分方程 三 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 32 （ 1）在 封閉系統(tǒng) 中，假設(shè)沒(méi)有非機(jī)械能的改變，也沒(méi)有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律， 在虛位移過(guò)程中形變勢(shì)能的增加 應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少 （即等于外力所做的虛功 ）。 一、差分公式的推導(dǎo) 二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 三、位移變分方程 四、位移變分法 五、位移變分法例題 第五章 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 內(nèi)容提要 彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程 (第三版 ) 徐芝綸院士 (19111999) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 38 位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。 因 全部為位移邊界條件且均已滿足，所以從 167。 1q 2q位移變分法例題 五 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 47 位移邊界 .0)(,0)( 00 ?? ?? yx vu.,111111yBvBvxAuAu???? (a) 1 2 31 2 3()u x A A x A yv y B B x B y? ? ? ??? ? ? ? ??應(yīng)用瑞利 里茨法 ，設(shè)定位移 只取 和 1A 1B位移變分法例題 五 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 48 ?????????????????????????????????????????????????????yxyuxvyxyvxuyvxuEUdd21dd2)1(22222??? 在平面應(yīng)力狀態(tài)下 ? ? ???? a b d x d yBABAEU 0 0 1121212 )2()1(2 ??可得 )2()1(2 1121212 BABAE a bU ?? ????即 位移變分法例題 五 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 49 1 1 1 211 d , dxyUUf u s q a b f v s q a bAB??? ? ? ? ? ???由 abqBUabqAU 2111, ???? ????可得 abqABE a babqBAE a b21121112)22()1(2)22()1(2????????????即 EqqBEqqA 121211 ,?? ??????yE qqvxE qqu 1221 , ?? ??????解得 位移變分法例題 五 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 50 ????????????????).1()( ,0)(,0),(,0),(2202/bxηvuvuvubybyyαx (e) 例 2 本題 全部為位移邊界條件： 位移變分法例題 五 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 51 本題以 y軸為對(duì)稱軸，所以 u應(yīng)為 x的奇函數(shù) , v應(yīng)為 x的偶函數(shù)。 54式 (a)。其中的自變量為坐標(biāo)變量 x,y，而因變量為函數(shù)，如位移，有 變分 －－是在同一點(diǎn)位置上， 由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。 ⑵ 用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在 上 )。 xyyx ??? ,對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中 ， 變換為 ? ?2 2 221( 3 ) .221 x y x y x yAEU d x d y?? ? ? ? ? ???? ? ? ????2 , . ( b )1E μE μμ 1 μ????E ?解： 平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢(shì)能： (a) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 20 ? 代入，得 顯然，方括號(hào)內(nèi) 將式 (a)中的 ， 都作為式 (b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢(shì)能公式， ? ?? ?? ?2222 2 2211( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ,1 1 1 1 21E E E??? ? ? ????? ?? ? ? ???推出? ? .1]211[ 2 ???μμ? ? ??????? A yxEU )(21 )1([1 2222 ?????.]21)21 1(2 2 d x d yxyyx ??????? ????E ?(c) 彈性體的形變勢(shì)能和
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