【正文】 (s)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都是普通的復(fù)數(shù)值，所以在復(fù)平面上繪出它們是一種便利的方法，在此例子中，阿根圖被廣泛的稱(chēng)之為“平面”圖。也就是說(shuō)，它的持續(xù)時(shí)間和平均高度乘積為1，即使它精確的波形不定。為了更好地討論數(shù)據(jù)采樣信號(hào)的頻譜，我們有必要對(duì)單位脈沖函數(shù)的頻譜進(jìn)行分析。因此，當(dāng)高頻率分量越來(lái)越多時(shí)，結(jié)果會(huì)成為一個(gè)以t=0為中心的極窄脈沖。用s代替給出其頻譜。然而，此類(lèi)譜的一些主要特征可以參考以下一些方法。 快速傅里葉變換為了找到采集數(shù)據(jù)信號(hào)譜，我們很有必要去計(jì)算下列形式函數(shù)的值： = (38)該表達(dá)式的實(shí)部和虛部可以通過(guò)一系列恰當(dāng)?shù)臄?shù)值進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果顯示，當(dāng)用到FFT時(shí)，N個(gè)樣本的變換計(jì)算時(shí)間近似比例于，而當(dāng)沒(méi)有采取任何事先措施去減少重復(fù)計(jì)算時(shí)則是N2。存在 (311)我們已經(jīng)看到這一項(xiàng)表明了與頻率成正比的相位偏移，因此有一個(gè)秒的固定時(shí)間延遲?？墒牵蓸訑?shù)據(jù)信號(hào)分析技術(shù)變得沒(méi)什么價(jià)值，因?yàn)閮H考慮幾個(gè)有限的極點(diǎn)和零點(diǎn)。最后一種情況是假定，得到。每隔改變弧度/秒，繪出整個(gè)單位圓，在頻譜上這個(gè)矢量的模和相位是重復(fù)的。如果現(xiàn)在消除時(shí)的零點(diǎn)，我們得出新的z變換形式為 (317)把它乘開(kāi)得到 (318)對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)由一組8個(gè)單位高度的采樣集合組成。這樣頻譜總是純實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，它表明一個(gè)由余弦函數(shù)或者正弦函數(shù)組成的時(shí)間函數(shù)。拿一個(gè)數(shù)字來(lái)說(shuō)明，假定以及。相反地，在原點(diǎn)處單個(gè)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于在t=T時(shí)采第一個(gè)值。但是即使一個(gè)實(shí)際的采樣數(shù)據(jù)信號(hào)包括無(wú)限窄的脈沖也從來(lái)不會(huì)遇到。20。這就意味著如果我們想用連續(xù)的正弦波形來(lái)合成數(shù)據(jù)信號(hào)集合就需要考慮波形中較高的頻率，這就是我們選擇無(wú)限窄的沖激脈沖來(lái)表示采樣信號(hào)值。最終的點(diǎn)是與純時(shí)移對(duì)應(yīng)的在平面原點(diǎn)處的極點(diǎn)或零點(diǎn)，并且不會(huì)影響時(shí)間函數(shù)的形式。既然無(wú)限形式可以通過(guò)處單個(gè)的極點(diǎn)來(lái)表示，那么我們可以推出在半徑為的圓上零點(diǎn)的集合等價(jià)于在同樣圓上的單個(gè)極點(diǎn)。如果我們回想一下單位圓上零點(diǎn)有限集等價(jià)于s平面內(nèi)虛軸上的無(wú)限的重復(fù)集合，就很清楚這個(gè)結(jié)論了。很明顯，有兩個(gè)零點(diǎn)是和，其他六個(gè)零點(diǎn)分布在單位圓上。那么它的z變換式子為，用替換s，得出它的頻譜為。另一種是令，這里是實(shí)數(shù)，得出。連續(xù)信號(hào)的采樣形式和初始的s平面上的極—零點(diǎn)配置相同是確實(shí)有可能的，除非所有的極－零點(diǎn)在虛軸方向上不停的重復(fù)。 (39)現(xiàn)在我們定義新的變量，并且記信號(hào)的z變換為。然而，一個(gè)細(xì)致的研究指出，許多乘法運(yùn)算都是重復(fù)的，而快速傅里葉變換(FFT)就是為了盡可能地減少這些重復(fù)。一個(gè)單矩形脈沖有一個(gè)連續(xù)的 （）形狀的譜，采樣之后，這個(gè)譜會(huì)每弧度每秒重復(fù)，在這兩個(gè)采樣信號(hào)譜中，從到的低頻區(qū)域代表了連續(xù)信號(hào)波形的分量，而譜的重復(fù)則是來(lái)源于采樣過(guò)程本身。幸運(yùn)的是，正如我們接下來(lái)所看到的，此頻譜的離散表達(dá)并不意味著我們漏掉任何關(guān)鍵環(huán)節(jié)。相同結(jié)果可由拉普拉斯變換得出：一個(gè)以t=0為中心的單位脈沖的拉普拉斯變換也為1。所以 (33)這個(gè)結(jié)果告訴我們，所有的頻率分量都可以被余弦分量所代表。我們可以很方便地把所有信號(hào)采樣都看作在各自采樣點(diǎn)的持續(xù)時(shí)間一定、高度與信號(hào)值成比例的脈沖。必須強(qiáng)調(diào)的是，這一連串采樣值只有當(dāng)連續(xù)采樣點(diǎn)間隔足夠小時(shí)才能充分替代該連續(xù)信號(hào)波形。在圖形上表示G(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)是通過(guò)在所謂的阿根圖（復(fù)平面）上標(biāo)出它們位置。這類(lèi)函數(shù)的一般特性是使得G(s)趨近于無(wú)窮大和趨近于零時(shí)的復(fù)頻變量的取值，我們把的值分別稱(chēng)為 的極點(diǎn)和零點(diǎn)。這種方法要求各函數(shù)之和的拉普拉斯反變換等于它們反變換之和，這稱(chēng)為部分分式法。令，我們?cè)噲D計(jì)算出一個(gè)永遠(yuǎn)連續(xù)的波的傅里葉變換，而它的積分是不收斂的，這樣困難就應(yīng)運(yùn)而生。 拉普拉斯變換的應(yīng)用作為第一個(gè)例子。但是，正如傅里葉積分所表現(xiàn)的形式那樣，是一個(gè)帶有形如指數(shù)項(xiàng)的無(wú)限集，因此拉普拉斯變換等式的形式表明我們應(yīng)該用具有無(wú)限集的指數(shù)項(xiàng)的拉普拉斯變換表示f(t)，這里的是一個(gè)稱(chēng)為復(fù)頻的復(fù)數(shù)。盡管由于正數(shù)隨著時(shí)間t無(wú)限制的增加，的值變得越來(lái)越小而使得這類(lèi)“收斂因子”不適用于整個(gè)時(shí)間上的信號(hào)波形，但是上述實(shí)用的方法還是廣泛應(yīng)用于其他波形當(dāng)中。奇異點(diǎn)概念經(jīng)常出現(xiàn)在信號(hào)理論中。然而，幸運(yùn)地是，可以把它們作為進(jìn)行傅里葉變換的有限的幾個(gè)波形。如果我們考慮一個(gè)時(shí)間偶函數(shù)，例如前面已經(jīng)討論過(guò)的單脈沖波形，則方程在時(shí)域和頻域具有極好的對(duì)稱(chēng)性，有一個(gè)僅包含余弦的偶函數(shù)的頻譜。既然已經(jīng)定義了傅里葉變換方程，那么就有可能計(jì)算各種不同的非重復(fù)信號(hào)的頻譜。這個(gè)脈沖波形的頻譜說(shuō)明了許多有關(guān)時(shí)限信號(hào)的重要性質(zhì)。因此，函數(shù)可認(rèn)為是頻率密度函數(shù)。第一個(gè)方程告訴我們波形的能量是在頻率范圍上連續(xù)分布的，第二個(gè)方程說(shuō)明，實(shí)際上，該波形可以由的相關(guān)值與形如的無(wú)限指數(shù)函數(shù)集加權(quán)合成。在這種情況下，基頻趨向于零，它的諧波將近占滿(mǎn)整個(gè)空間，而振幅極其的小。兩種形式的系數(shù)關(guān)系如下：。換句話(huà)說(shuō)，它們不可能經(jīng)常被假定為全部時(shí)間（過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)）總存在，重要的是了解它們?cè)谟邢迺r(shí)間上頻譜。再次使用，是因?yàn)樗１徽J(rèn)為是一個(gè)電壓波通過(guò)1歐姆電阻所產(chǎn)生的功率。在具有上述函數(shù)的例子中，這些比較近似算法是合適的，因?yàn)樵谶@種情況下，積分是重復(fù)的，而在一個(gè)周期內(nèi)還有“半波對(duì)稱(chēng)”時(shí)，積分要重復(fù)2次。同理，如果f(t)是奇函數(shù)，那么系數(shù)A必為零，級(jí)數(shù)中只有正弦項(xiàng)。幸運(yùn)的是，實(shí)際中的信號(hào)波形都能滿(mǎn)足這些條件。然而，用正弦函數(shù)描述一個(gè)周期信號(hào)的一個(gè)循環(huán)在任何時(shí)候都是等效的，因?yàn)檫@些函數(shù)都是正交的。誤差如下式 (19)在區(qū)間t1tt2內(nèi)，均方差為 (110)對(duì)C12偏微分可以得到使得均方差再次最小化的C12值，交換積分和微分的次序，又可得到 (111)換言之，如果f2(t)與f3(t)在所選擇的時(shí)間區(qū)間內(nèi)正交，在并入用f3(t)表示的附加項(xiàng)以改善逼近程度時(shí)，系數(shù)C12不需要修正。如果我們選擇使均方差最小，而不是誤差本身（相當(dāng)于使平均誤差的平方根最小化，）最小，這個(gè)缺點(diǎn)可以避免。有 (13)其中，矢量Ve是近似式中的誤差。另一個(gè)正弦函數(shù)在信號(hào)分析中如此重要的原因是它們?cè)谖锢砩蠌V泛被采用，并且易于進(jìn)行數(shù)字處理。當(dāng)信號(hào)是周期性的，傅里葉級(jí)數(shù)描述的精度可以始終保證，因?yàn)檫@個(gè)信號(hào)可以表示成一系列的正弦函數(shù)的和，而正弦函數(shù)本身是周期性的。盡管一個(gè)多項(xiàng)式逼近可以以一定數(shù)量的點(diǎn)擬合實(shí)際波形，但泰勒級(jí)數(shù)逼近可以針對(duì)一個(gè)固定點(diǎn)提供一條光滑的連續(xù)曲線。周期信號(hào)的完整的時(shí)域描述包括詳細(xì)指明其在每個(gè)瞬間的精確值。第1課 周期信號(hào) 時(shí)域描述借助于時(shí)間和頻率的信號(hào)處理理論，許多常被看作是信號(hào)的函數(shù)都用來(lái)進(jìn)行信號(hào)處理。討論周期信號(hào)的主要原因之一是當(dāng)處理周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)這種分析方法有很大幫助。應(yīng)注意到，在擬合點(diǎn)范圍之外，正確的信號(hào)波形與多項(xiàng)式之間的誤差一般很大，而且多項(xiàng)式本身也不是周期的。相比較而言，傅里葉級(jí)數(shù)逼近在延拓時(shí)間間隔上，更好地符合信號(hào)波形的表達(dá)。后面將證明使用這種方法可以使得真實(shí)信號(hào)與它的近似波形間的誤差降到最低。假如有兩個(gè)矢量V1和V2，幾何學(xué)上通過(guò)在V1末端到V2上構(gòu)造直角，我們沿著矢量V2來(lái)定義的矢量V1。這種誤差標(biāo)準(zhǔn)的缺點(diǎn)是在不同時(shí)刻出現(xiàn)的正負(fù)誤差趨近于互相抵消。由于并入了附加項(xiàng)C13f3(t)，均方差進(jìn)一步降低了。在t時(shí)刻上，多項(xiàng)式函數(shù)集不是周期的，但是它可用來(lái)描述周期波形的一個(gè)循環(huán)；在選定區(qū)間外，真實(shí)信號(hào)和近似式之間的誤差會(huì)理所當(dāng)然的迅速增加。在整個(gè)周期上的積分必須有上下限，也不可在限定的區(qū)間上有太多的斷點(diǎn)。因此，所有的系數(shù)B都是零，級(jí)數(shù)中只剩下余弦項(xiàng)了。另外，如果波形既是偶函數(shù)或者及函數(shù)，也表現(xiàn)出“半波對(duì)稱(chēng)”，那么只要在1/4個(gè)周期上積分，然后乘以4就可以了。如果這種過(guò)程應(yīng)用到所有傅里葉級(jí)數(shù)的諧波中去，就得到以下兩種形式 或 (116)其中, , (117)最后，要注明的是用任何波形表達(dá)的正弦平均功率是 (118)項(xiàng)的功率簡(jiǎn)單的表示成，總的波形平均功率為 (119)但是，功率P可表示為的一個(gè)周期上的平均值。首先，自身多次重復(fù)的信號(hào)總是處于 “開(kāi)”和“關(guān)”的狀態(tài)