福建省連江縣20xx屆高三數(shù)學3月模擬檢測試題文(存儲版)
【正文】 參考公式：22 ()( ) ( ) ( ) ( )n ad bcK a b c d a c b d?? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ?） (19)（本小題滿分 12分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC?中，底面 ABC是正三角形，點 D是BC的中點， 1BC BB?． （Ⅰ）求證： 1AC∥平面 1ABD； （Ⅱ）試在棱 1CC上找一點 M，使得 1MB AB?，并說明理由。 4分 所以 ? ?1 1 1nan? ? ? ? ，即 nan? ． 12分 （ 18）（本小題滿分 12分） 某學校高三年級有學生 500人，其中男生 300人，女生 200人，為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100名學生，先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數(shù)分成 5 組：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?100 , 110 , 110 , 120 , 120 , 130 , 130 , 140 , 140 , 150分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （Ⅰ） 從樣本中分數(shù)小于 110分的學生中隨機抽取 2人，求兩人恰好為一男一女的概率； （Ⅱ） 若規(guī)定分數(shù)不小于 130 分的學生為 “ 數(shù)學尖子生 ” ， 得到數(shù)據(jù)如下表： 請你根據(jù)已知條件完成下列 22 列聯(lián)表： 數(shù)學尖子生 非 數(shù)學尖子生 合計 男生 女生 合計 100 并判斷是否有 90%的把握認為 “ 數(shù)學尖子生與性別有關 ” ？ 參考數(shù)據(jù)： 2()PK k? k （參考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d?? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? ） 【解析】 由已知得，抽取的 100名學生中，男生 60名，女生 40名；分數(shù)小于等于 110分的學生中，男生 人有 60=3( 人 )，記為 A1， A2， A3；女生有 40=2 (人 )，記為 B1，B2． 4分 其中，兩名學生恰好為一男一女的可能結果有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2, , , , , , , , , , ,A B A B A B A B A B A B， 共有 6種， 2分 因為 AB BC? ，所以 ABF ADB? ?? ， 3分 所以 ADB CEF? ?? ， 10分 FEOAB CDFEOAB CD （ 23）（本小題滿分 10分）選修 4－ 4：坐標系與參數(shù)方程 已知在直角坐標系 xy? 中， 以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系， 圓錐曲線C 的極坐標方程為 2 2123 sin? ?? ? ，定點 (0, 3)A ? ， 12,FF是圓錐曲線 C 的左、右焦點 ．直線 l 經(jīng)過點 1F 且平行于直線 2AF ． （Ⅰ） 求圓錐曲線 C 的直角坐標方程和直線 l 的參數(shù)方程； （Ⅱ） 若直線 l 與圓錐曲線 C 交于 ,MN兩點，求 11FM FN? ． 【解析】 （Ⅰ）圓錐曲線 C 的普通方程為 22:143xyC ??， 10分 （ 24）（本小題滿分 10分）選修 4－ 5：不等式選講 已知函數(shù) ? ? 3f x x a x? ? ? ?（ a?R ）． （Ⅰ）當 1a? 時，求不等式 ? ? 8f x x?… 的解集； （Ⅱ）若函數(shù) ??fx的最小值為 5，求 a 的值． 【解析】（Ⅰ）當 1a? 時，不等式 ? ? 8f x x?… ，即 1 3 8x x x? ? ? ?… ，等價于 ? ? ? ?1,1 3 8 ,x x x x????? ? ? ? ?? …或 ? ? ? ?1 3,1 3 8,xx x x??? ? ? ?? 剟 …或 ? ? ? ?3,1 3 8 .xx x x??? ? ? ? ?? … 7分 當且僅當 ? ?? ?30x a x??… 時取等號． 8分 所以，1 1 1 2 1 2 125F M F N t t t t? ? ? ? ?． 9分 當 1e1aa?? ，即 1a… 時， ()fx在 (1, )?? 單調(diào)遞增， ( ) (1) 0f x f??恒成立； 當 1e1aa? ? ，即 01a?? 時， ()fx 在 1(1,e )aa? 單調(diào)遞減，在 1(e , )aa? ?? 單調(diào)遞增，存在1(e ) (1) 0aaff? ??，與已知相矛盾． 5分 當直線 AB 斜率存在時， 設直線 AB 方程為 ( 1)y k x??， 1 1 2 2( , 0) , ( , ), ( , ),N t A x y B x y 4分 （Ⅱ）當 M 為棱 1CC 中點時， 1MB AB? ，理由如下： 6分 （Ⅱ）由頻率分布直方圖可知， 在抽取的 100名學生中， 數(shù)學尖子生 男生 600 .25=15(人 )，女生 40=15( 人 )7分 據(jù)此可得 22 列聯(lián)表如下： 數(shù)學尖子生 非 數(shù)學尖子生 合計 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合計 30 70 100 5分 故所求的概率 6310 5P??． (20)（本小題滿分 12分） 已知直線 : 4 3 10 0l x y? ? ?，半徑為 2的圓 C與 l相切，圓心 C在 x軸上且在直線 l的上方． （Ⅰ）求圓 C的標準方程； （Ⅱ）過點 (1,0)M的直線與圓 C交于 ,AB兩點（ A在 x軸上方），問在 x軸正半軸上是否存在點 N，使得 x軸平分 ANB?？若存在，請求出點 N的坐標 ；若不存在，請說明理由． (21)（本小題滿分 12分） 已知函數(shù) ? ? ln 1f x ax x x? ? ?（ 0a…）。 7分 ? ? 111 1n nn??? ? ??????， 9分 假設數(shù)學尖子生與性別無關，則 2K 的觀測值 21 0 0 (1 5 2 5 1 5 4 5 ) 2 5 1 .7 96 0 4 0 3 0 7 0 1 4k ? ? ?? ? ?? ? ? 6分 聯(lián)立圓 C 的方程和直線 AB 的方程得， 22 2 2 2 24, ( 1 ) 2 4 0( 1 )xy k x k x ky k x? ?? ? ? ? ? ? ?? ???， 7分 故 221 2 1 224,11kkx x x x ?? ? ?
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