【正文】 11 ?????）（ ?51 例 e?)ln( 21 naaa ?2211111121111(lnln1limnxxaaaaaaanxnxxnxxx???????））（ ??e? naaa ?21?52 xx x）（例： 1lnlim00 ?? ”“0?e?）（ xxx1lnlnlim00???e?xxx100lnlnlim ）（ ???e?21ln100 1li mxxxx ?????）（e?xxx lnli m00???10 ?? e53 但不能用洛必達法則。那么又怎樣從函數(shù)本身找到我們所需要的多項式呢？ 62 在微分應用中知， 此式左端是一函數(shù)，而右端是 x 的一次多項式。 82 一,函數(shù)的單調性判定 (上升 ) （下降） a b a b 函數(shù)單調性的判定法：一 .y 0 x 0 x y 83 從幾何上看 , y = f(x) 在 [a, b] 上單增 (或單減 )， 其圖形是一條沿 x 軸正向上升 (或下降 )的曲線。直接用定義判別函數(shù)的凸性較困難，下面給出利用函數(shù)的 一階及二階導數(shù)的性質來判別函數(shù)的凸性的方法： 101 凸性判別定理 定理 2（凸性的第一判別法） 定理 2的證明可見教材 P191頁。 同號，)( xf ??則 (x0,f(x0)) 不是 y = f(x) 的拐點。000 ??????????? yxyxx 時，當）點左右不變號，在（即 00y ??無拐點即）點不是曲線的拐點，所以（ 400 xy ?）是下凸的。4 3 2)6()4( 6 為極大值??? ef.16)2( 12 為極小值???? ef128 Th3 判別極值的第二種充分條件 定理 3 (判別極值的第二種充分條件 ) ? ? ,0 處二階可導在點設 xxf? ? ? ? ,0,0 00 ????? xfxf且則 ? ? ? ? 時，01 0 ??? xf f(x)在 x0處取到極大值； ? ? ? ? 時，02 0 ??? xf f(x)在 x0處取到極小值。 142 斜漸近線 L: y = ax + b x y 0 K M L 143 :驟利用導數(shù)作圖的一般步。 –1 0 1 – 0 (拐點 ) 間斷點 間斷點 – + 曲線有垂直漸近線 x =1， x = –1 x = 0 ?????????? 221 )1(lim xxx?）1,( ??? )0,1(? )1,0( ),1( ??149 1 –1 ????? )( xxy.0 x y ?150 作 業(yè) P213頁： 36(A) 1(1)(3), 2(2) P206頁： 36(B) 1(雙 ), 2(4) 作業(yè) 151 的斜漸近線求函數(shù)例xxxf??1)(21)1(lim)(lim2??????? xxxxxfxx?解：11lim)1(lim])([lim2???????????????? xxxxxaxxfbxxx1??? xy斜漸近線方程為。能較好的表達該零件的時當 xn xxxx n???? ??21138 作業(yè) 作 業(yè) P205頁： 35(A) 1(1)(4)(9), 2(1), 7 P206頁： 35(B) 1, 5, 7 139 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 140 一、曲線的漸近線 定義 如果曲線 C 上的點 M 沿曲線 C 離原點無限遠離時 , M 與某一直線 L 的距離越來越近，趨近于零，則稱 L 為 C 的一條 漸近線 。在則 0)( xxf點無極值在則不變號的左右在當 00 )(,)()3 xxfxfxx ?.別法易證因為由函數(shù)單調性的判證略 ??124 求極值的步驟 的極值求函數(shù)例 xxf ?)(:???????00)(:xxxxxf解???????????01001)(xxxxf 不存在的極小值為 xxfx ?? )(0125 :求函數(shù)極值的步驟)()1 xf ?求出不存在的點求出全部駐點以及令 )(0)()2 xfxf ???進行判別用定理 2)3的全部極值即為值求出各極值點處的函數(shù) )(,)4 xf126 例 ? ? 的極值。1266: 2 ???????? xyxxy解。 坐標。在則稱 Ixf )(凸（上凸），則稱在整個定義區(qū)間上是下若 )( xf 凸）的。 69 )(!)0()0()0()( )( nnn xoxnfxffxf ?????? ?稱為 麥克勞林公式 。在但這與 )1,1()1)(1(333)( 2 ??????? xxxxf? ?上至多有一個實根，在 11?59 第三節(jié) 泰勒公式 第三節(jié) 泰勒公式 ）00 )(()()(: xxfxfxfThL ????? ?))(()()( 00 xxfxfxf ??? ?＝或：之間與在 0xx?60 泰勒 ( Taylor ) ( 1685 — 1731 ) 英國數(shù)學家 61 不論在近似分析或理論分析中，我們總希望能用一個簡單的函數(shù)近似地表達一個比較復雜的函數(shù)，而在函數(shù)中又以多項式較為簡單。 2,用洛必達法則求極限時每做一步都要查看一下 是否還為不定型 ,若不是就不能用洛必達法則 ,否則 會出錯 ???? 4433l i m321 xxx21126lim21 ?? ? xxx46 ??? 30s i nlim:xxxx例?????xxx 1s ina r c t a n2lim:?例11l i m 22?????? xxx??? 20 3c o s1limxxx 616sinl i m0?? xxx???????)1(1c o s11lim22xxxx2211c o s1l imxxxx ????47 例 ,。處有平行于在但 xxxg 2)( ?10 例 xxf c o s)( ?例：驗證? ? ? ?，、上滿足在證：顯然 21]2,0[c o s ?x? ? ? ? 02,0 ?????? xf使???正確對 xxfThR c o s)( ???的正確性上，在 ThR ?]20[ ?)3(,1)2()0( 滿足且 ?? ?ff? ? ??????? xxxf 0s in令11 ,0 01110 xxaxaxa nnn 有正根若方程例： ???? ?? ?? ? 01 12110 ????? ??? nnn axanxna ?則的正根必有小于 0x則由題設設證： ,)( 1110 xaxaxaxf nnn ?? ???? ?上在則顯然有 ],0[)()0(0)( 00 xxffxf ??? ? 使一點至少的條件，滿足 0,0 xThR ???? ?? ? 01)( 12110 ??????? ??? nnn aannaf ????12 例 ? ?? ?? ?? ?的導數(shù)，不用求出例： 4321)( ????? xxxxxf? ? 有幾個實數(shù)根，說明方程 0?? xf且的條件上滿足，在易見解 ,]4,3[],32[]21[)(: ThRxf ?0)(,0)4()3()2()1( ??????? xfThRffff 所以由.)4,3(),3,2(),2,1(,3 內(nèi)分別位于個根有出他們所在的區(qū)間并指13 ? ? ，恒不為內(nèi)可導，且上連續(xù)，在在設例： 0),(],[)( xfbabaxf ?內(nèi)有且僅有一個實根在試證又 ),(,0)(.0)()( baxfbfaf ??由零點定理，且上連續(xù)在證： ,0)()(,],[)( ?bfafbaxf? ? ? ? :,0, 00 再證唯一性一點至少 ???? xfbax? ? ? ? ，有若還有用反證法 0, 1101 ??? xfbaxxx? ?? ?baxxThRxfxxxx ,],[)(],[, 101001 ??? 滿足上則在不妨設的零點唯一矛盾）（一點至少 )(0)(, 10 xffxx ??????? ??14 若 f (x) 在 [0, 1]上有二階導數(shù)，且 f (1) = 0,設 F (x) = x2 f (x)， 試證在（ 0, 1）內(nèi)至少存在一點 ξ ， 使 例 證： ∵ F (x) 在 [0,1]上 連續(xù) ,在 (0, 1)內(nèi) 可導 (由題意 ), 則由羅爾定理， 又由羅爾定理 ， 15 三、拉格朗日定理 )( ThL ?拉格朗日中值定理三、上連續(xù)，）在滿足（若 ],[1)( baxf內(nèi)可導，）在（ ),(2 ba? ?ba ,?? ?一點則至少 ? ? ? ? ? ?? ?abfafbf ???? ?有? ? ? ? ? ?ab afbff ???? ?或LTh 的幾何意義： 16 ? ? ? ? ? ? ? ?axabafbfafyAB ?????:的方程為證：? ? ? ? yxfx ???令? ? ? ? ? ? ? ? ? ?axab afbfafxf ??????? ? ? ? 0???? ba則? ? 0),( ?? ????? ?? baThR由? ? ? ? ? ? ? ?ab afbfxfx ?????? ?? ? ? ? ? ? ?ab