【正文】 雜度由原來的降為（為目標函數(shù)的個數(shù)，為種群的大?。?。在這一步中，所有在第一個非支配層中的個體都被尋找到，為了找到隨后各個等級中的個體，重復前面的操作。為了克服NSGA算法中的這種不足，NSGAII中引用了擁擠度的概念[16]：擁擠度表示在種群中給定點的周圍個體的密度，用表示，直觀上用個體周圍包含個體但不包含其余個體的最大長方形的長來表示，具體如圖31所示。NSGAII算法引入了精英策略，以防止在種群的進化過程中優(yōu)秀個體的流失，通過將父代種群與其產(chǎn)生的子代種群混合后進行非支配排序的方法，能夠有較好地避免父代種群中優(yōu)秀個體的流失。 NSGAII算法的擁擠度距離公式改進在傳統(tǒng)的NSGAII算法中，如果種群規(guī)模大小為N，當前非支配集大小為M，并且有MN。也就是說，在一次種群維護中，種群中個體的擁擠度距離只計算一次。2) 對中的個體按新?lián)頂D度距離進行升序排序。 NSGAII算法流程NSGAII算法的基本流程是：首先，隨機產(chǎn)生種群規(guī)模大小為的父代種群，然后由父代種群產(chǎn)生子代種群，其種群規(guī)模大小同樣為。（41）在式（41）中，和分別是目標函數(shù)和約束函數(shù)，它們?yōu)殛P于設計變量x與不確定參數(shù)u的非線性連續(xù)函數(shù)。由圖可知，在4種不同的可能度水平下，獲得不同的Pareto解集。圖43 不同多目標權系數(shù)β下的Pareto前沿在不同的β值下，可以獲得到不同的目標函數(shù)和約束函數(shù)的區(qū)間。 交叉參數(shù)mu與變異參數(shù)mum的影響在遺傳算法中，交叉和變異是最重要的兩個算子。 本章小結本章首先給出了區(qū)間數(shù)多目標優(yōu)化的matlab仿真代碼的最終優(yōu)化結果，然后便對算法中的重要算子進行分析，通過給出各個不同參數(shù)下的仿真結果，分析每個參數(shù)取值對最終優(yōu)化結果的影響。 接下來，分析在給定變異參數(shù)mum=20，交叉參數(shù)mu作不同取值（mu=0，20，5000）時的最終結果。下面列出當λ=0，β=1時，正則化因子取值分別是，和時的最終優(yōu)化結果。 多目標權系數(shù)β的選取本節(jié)將討論相同目標函數(shù)在不同多目標權系數(shù)β取值下的優(yōu)化結果，進而得出多目標權系數(shù)β對最終優(yōu)化結果的影響。下面是在權系數(shù)β=1下，可能度水平取值分別為λ=0，λ=，λ=，λ=。最后，文章介紹了NSGAII算法的基本流程后，給出算法的程序流程圖。2) 由于使用式(32)來計算個體的，在式中不僅考慮了種群個體之間的擁擠情況，而且還考慮了種群個體在不同維目標上擁擠度距離的差異情況。下面討論基于新?lián)頂D度距離保持解的多樣性策略的具體描述。而對于個體F，由于其在各個維目標上的差值都相差不是很大，使得F的擁擠度距離也比較大，此時傳統(tǒng)NSGAII算法會誤認為F的分布性比B要好，但事實上，B的分布性要比F好。在NSGAII算法中，通過引入擁擠度比較算子來確保非劣解的多樣性。條件2是根據(jù)它們的擁擠距離來選擇處在相同的非支配層的兩個個體，位于較不擁擠區(qū)域的個體（有較大的擁擠度）會被選擇。于是，整個迭代過程的計算復雜度最大是。下面，簡要說明二者計算復雜度的由來：（1） 非支配排序算法的計算復雜度：為了對優(yōu)化對象的個數(shù)為m，種群規(guī)模大小為N的種群進行非支配排序，每一個個體都必須和種群中其它的個體進行比較，從而得出該個體是否被支配，這樣每個個體就總共需要次的比較，需要O（）的計算復雜度。3) 需要指定共享參數(shù)，在NSGA算法中保持種群和解的多樣性方法都是依賴于共享的概念，共享的主要問題之一就是需要人為指定一個共享參數(shù)。NSGA算法是在上世紀90年代初期由Srinivas和Deb教授首先提出的，該算法是基于對種群中所有的個體按照不同的層次進行分類的。所以在本文中，一律把類似于式(248)的問題稱為無約束優(yōu)化問題。針對任一設計變量，因為不確定參數(shù)的存在，并且目標函數(shù)為的連續(xù)函數(shù)，所以的可能取值是在一定范圍內的區(qū)間： （238）式中， （239） （240）基于(231)式表述的區(qū)間序關系，可以通過目標函數(shù)區(qū)間的中點和半寬來判斷不同的設計變量之間的優(yōu)劣：設計變量優(yōu)于，則處的目標函數(shù)的區(qū)間優(yōu)于處的目標函數(shù)的區(qū)間，即并且。對于最大化和最小化的優(yōu)化問題，同一區(qū)間序關系可以具有不同的表述形式，因為在這兩種問題中它們的評價指標并不相同，例如在最大化問題中目標函數(shù)的函數(shù)值大的決策變量為優(yōu)，而在最小化問題中剛好相反，目標函數(shù)的函數(shù)值小的決策變量為優(yōu)。對于型的不等式約束函數(shù)，如，可以簡單地將其轉換為型約束來進行處理： （223）上式中，通過公式(216)或公式(218)進行求解。4) 若，則區(qū)間等于區(qū)間，即=。如對于圖22中的第二種情況，在和之間的概率為，而此時不管取值多少的概率都為l；在和間的概率，在和之間的概率為，此時的概率為50%。所以，上述問題無法通過傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法來進行求解，因為在傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法中，決策的選擇和判斷都是建立在目標函數(shù)和約束函數(shù)在各個設計變量處的具體數(shù)值的基礎上進行的。對于這樣復雜的非線性優(yōu)化問題，要找到在要求的空間中有好的多樣性的一組解也是一項非常重要的任務。因而，在多目標優(yōu)化中主要完成以下兩個任務：1) 找到一組盡可能接近Pareto最優(yōu)域的解。非劣解也成為有效解(Efficient Solution)、非支配解(Nondominated Solution)、Pareto最優(yōu)解(Pareto Optimal Solution)或Pareto解，它是多目標優(yōu)化中的一個最基本的概念。（向量序） 設是維歐氏空間中的兩個向量。約束給出了設計變量需要滿足的限制條件，用含有等式和不等式的約束函數(shù)來表示。 多目標優(yōu)化的數(shù)學描述一般來講，多目標優(yōu)化問題是由多個目標函數(shù)與有關的一些等式以及不等式約束組成，從數(shù)學角度可以做如下描述[8]： （21）式中，函數(shù)稱為目標函數(shù)；和稱為約束函數(shù)；是維的設計變量。 本文的研究目標和主要研究內容綜上所述，在目前的區(qū)間數(shù)優(yōu)化研究方面，特別是在非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的研究方面，還存在著一些難點和技術問題。第三種方法叫做區(qū)間數(shù)優(yōu)化方法，在區(qū)間數(shù)優(yōu)化中，往往是基于區(qū)間序關系[6]或者最大最小后悔準則[7]。在這兩種方法中，分別是基于概率統(tǒng)計理論[4]和模糊統(tǒng)計理論[5]來進行轉換的。為此，不確定性優(yōu)化理論方法的研究具有非常重要的現(xiàn)實意義。然而，在大多數(shù)實際工程中，不可避免地存在著與材料性質、溫度變化、工程邊界、噪音影響、測量偏差等有關的誤差或不確定性，這些誤差或不確定性雖然在大多數(shù)情況下都比較小，但耦合在一起可能使整個工程系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差或偏差。從辯證法的角度來看，確定性是相對的，而不確定性卻是絕對的。這些理論的產(chǎn)生，為解決實際工程中不確定性優(yōu)化問題的研究提供了理論基礎。如在1984年，StancuMinasian在他編著的《隨機多目標規(guī)劃》一書中，對隨機規(guī)劃的方法進行了詳細深入的說明，給出了一些隨機多目標規(guī)劃問題的求解方法。每個目標函數(shù)的罰函數(shù)表示是由該目標函數(shù)的中值和半寬以及約束函數(shù)的罰函數(shù)組成的，最終得到的是基于區(qū)間不確定參數(shù)的Pareto解集。第2章 多目標區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學轉換模型第2章 多目標區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學轉換模型 多目標優(yōu)化的基本概念多目標優(yōu)化是在現(xiàn)實各個領域中都普遍存在的問題，每個目標不可能都同時達到最優(yōu)，必須各有權重。如果上述多目標優(yōu)化問題式(21)的目標函數(shù)全部是極小化目標函數(shù)，約束函數(shù)全都是不等式約束，則可以得到一個標準多目標優(yōu)化模型： （22）設計變量是一組確定的向量，對應維歐氏設計變量空間上的一點，而相應的目標函數(shù)則對應一個維的歐氏目標函數(shù)空間的一點。由于在實際工程應用中，我們遇到的問題大多都是非線性的。3) 若，并且至少有一個是嚴格不等式，則稱向量A小于向量B，即向量A優(yōu)于向量B，記作AB。所有非劣解對應的目標函數(shù)構成了多目標優(yōu)化問題的非劣最優(yōu)目標域，也成為Pareto前緣(Pareto Front)，再不引起混淆的情況下也可以稱為非劣解集。除了要求優(yōu)化問題的解要收斂到近似Pareto最優(yōu)域，求得的解也必須均勻稀疏地分布在Pareto最優(yōu)域上。同時，區(qū)間還可以定義為如下： （24）式中，和分別表示區(qū)間的中點和半寬：即 （25） （26）圖21給出了對于區(qū)間的幾何描述：圖21 區(qū)間的幾何描述區(qū)間的不確定性水平(uncertainty level)被定義為 （27）所以，利用區(qū)間描述優(yōu)化問題中參數(shù)的不確定性，其一般形式的非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題可以描述為： （28）式中，是維設計向量，其取值范圍為。又可以寫成：， （29）式中 ，基于上述兩式，不確定水平可以寫成：其中，假設中所有變量的不確定水平都比較小，則可對不確定參數(shù)在其中點處進行一階泰勒展開[13]： （210）屬于式中定義的區(qū)間向量，對上式進行自然區(qū)間擴展： （211）由此可知，的上界、下界分別分別為： （212） （213） 區(qū)間可能度和不確定約束的轉換對于兩個實數(shù)，可以通過它們的具體數(shù)值來比較其大小關系，但是對于區(qū)間數(shù)來說，因為它表示的是一個實數(shù)的集合，所以無法通過使用單個的實數(shù)值來判斷一個區(qū)間是否大于（優(yōu)于）另一個區(qū)間。2) 并未考慮有一區(qū)間退化為實數(shù)的可能情況，而此情況在實際的區(qū)間數(shù)優(yōu)化中是十分常見的問題，所以這種方法的實用性在一定程度上也因此受到了影響。根據(jù)以下的位置關系，區(qū)間可能度構造如下： （217）