【正文】 確定性轉(zhuǎn)換為確定性。四年的大學時光一起攜手共進，能交得幾位摯友是比獲得學士學位更令人欣慰的事。教授。參考文獻參考文獻1 范玉玲．遺傳算法在高校排課系統(tǒng)中應用的研究[D]．濟南：山東師范大學，2004．2 Nocedal J，Wright S J，Numerical optimization New York：Springer，l999．3 姜潮．基于區(qū)間的不確定性優(yōu)化理論與算法（博士學位論文）．長沙：湖南大學，2008，1326．4 Hafika R T，Gurdal Z．Elements of structural optimization．Netherlands：Kluwer Academic Publishers，1992．5 黃海．基于遺傳算法排課系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)[J]．大眾科技，2005（09）：1720．6 張勇．區(qū)間多目標優(yōu)化問題的微粒群優(yōu)化理論及應用（博士學位論文）．北京：中國礦業(yè)大學，2009，940．7 蔣崢，戴連奎，吳鐵軍．區(qū)間非線性規(guī)劃問題的確定化描述及其遞階求解[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐，2005，(1)：110116．8 謝濤．多目標優(yōu)化與決策問題的演化算法，中國工程科學，2002，13(2)：8091．9 蔣崢，劉斌．不確定優(yōu)化問題的研究動向．武漢科技大學學報，2006，29(6)：599602．10 馮向前．區(qū)間數(shù)不確定多屬性決策方法研究[D]．南京：南京航空航天大學，2007：80143．11 肖健梅，黃有方，李軍．基于離散微粒群優(yōu)化的物流配送車輛路徑問題[J]．系統(tǒng)工程，2005，23(4)：97100．12 夢紅云．多目標進化算法及其應用研究(博士學位論文)．西安：西安電子科技大學．2005，2135．13 崔連瓊．多目標遺傳算法及其在船舶型線優(yōu)化中的應用（碩士學位論文）．武漢：武漢理工大學，2008，1520.14 張全，樊治平，潘德惠．不確定性多屬性決策中區(qū)間數(shù)的一種排序方法．系統(tǒng)工程理論與實踐，1999，5：129133．15 李莉．基于遺傳算法的多目標尋優(yōu)策略的應用研究（碩士學位論文）．無錫：江南大學，2008，1722．16 Deb K，Agrawal S，Pratap A，et al．A fast elitist nondominated sorting genetic algorithm for multiobjective optimization：NSGAII [C]．Proc of the Parallel Problem Solving from Nature VI Conf，Paris，2000，849858．17 羅彪，鄭金華．多目標進化算法中基于動態(tài)聚集距離的分布性保持策略 [A]．湘潭：湘潭大學，2008．77章及標題 致謝在即將完稿的本科畢業(yè)論文之后補上“致謝”，仿佛一切塵埃落定，修成正果。本論文對非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的理論和算法進行了一些研究。a) mu=20 mum =0 b) mu=20 mum=20c) mu=20 mum =10000000圖45不同變異參數(shù)mum下的最終優(yōu)化結果由上圖可見，當交叉參數(shù)mu保持恒定時，變異參數(shù)mum對整體優(yōu)化結果影響不大。即當β達到最小值(β=0)時，Pareto解集分布在最內(nèi)層，而當β=，Pareto解集分布在最外層 正則化因子Φ和Ψ的選取在線性加權法中，另一個比較重要的參數(shù)就是正則化因子了，正則化因子選取的得當，可以防止“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象發(fā)生。而當可能度水平λ=，由于嚴格滿足約束條件，所以優(yōu)化問題的可行域變小，目標函數(shù)和有一區(qū)域不在約束可行域范圍之內(nèi)，即在Pareto解圖中，有一區(qū)域沒有分布Pareto解，并且整個Pareto前沿分布在最外層。因此，本節(jié)將討論不同可能度取值下的Pareto前沿，通過對最終matlab仿真結果的分析，說明可能度取值對最終優(yōu)化結果的影響。接著總結了非支配排序遺傳算法(NSGA)在實際應用中存在的不足，隨后便介紹了一種NSGA的改進算法——帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGAII)，由于使用快速非支配排序法和引入擁擠度的概念，使種群中優(yōu)秀個體得以保持，并克服了NSGA算法中需要人為指定共享參數(shù)的缺陷，同時在NSGAII算法中引入精英策略，使得父代中的優(yōu)良個體得以保持，保證種群中優(yōu)秀的個體不會被遺失，從而提高優(yōu)化結果的準確度。這樣就可以避免一次性去除過多個體而造成解個體在某一區(qū)域的缺失，最終可以得到分布更為均勻的Pareto前沿。如此，式(32)中定義的新?lián)頂D度距離計算公式，可以使種群中類似個體B的解個體，即在不同維目標上擁擠度距離差異程度較大的個體，在種群維護過程中有更多的機會得到保留。2) 對于個體B來說，由于其在其中一維目標上的差值很大，而在另一維目標上差值卻很小，這使得B的擁擠度距離也比較小。然后通過遺傳算子，如選擇、交叉、變異，來產(chǎn)生新的子代種群。條件1用來確保被選擇的個體屬于在種群中比較優(yōu)秀的非劣等級。每一次迭代操作，即上述快速非支配排序算法步驟的1)和2)需要N次計算。 快速非支配排序法在NSGA算法中采用的是非支配排序方法，該方法的計算復雜度是O（），而在NSGAII算法中采用快速非支配排序的方法，其計算復雜度僅為O（）。研究結果表明，引用精英策略可以加快遺傳算法(GA)的執(zhí)行，并且還助于防止優(yōu)秀的個體丟失。這種思想已經(jīng)產(chǎn)生了多種基于Pareto最優(yōu)解的多目標遺傳算法，其中非支配排序遺傳算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithm）——NSGA算法是最能體現(xiàn)Goldberg思想的一種方法。因為在本文中，我們將采用遺傳算法來求解此類問題，而在遺傳算法的求解過程中可以直接在算法中設定而并不需要把它們當做約束來處理。因為從工程的角度來看，相比其它幾種區(qū)間序關系而言，具有更加直觀的工程意義和更好的工程實用性，所以在本文的數(shù)學轉(zhuǎn)換模型中選用來處理不確定性目標函數(shù)。由于在區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題中，需要比較在不同的設計變量下目標函數(shù)取值區(qū)間的優(yōu)劣，進而評價相應設計變量的優(yōu)劣，以尋找到最優(yōu)的設計變量。為不確定性在X處由不確定參數(shù)而造成的可能取值的區(qū)間： （220）其中，、分別約束區(qū)間的下界和上界，即： ， （221）對式(221)進行自然區(qū)間擴展，可獲得約束函數(shù)的上下界： （222）一旦求出的區(qū)間值，即可通過公式(216)或公式(217)來求解約束可能度（依據(jù)是區(qū)間還是實數(shù)的具體情況），并判斷約束可能度是否滿足提前給定的可能水平。3) 若，則表示區(qū)間小于等于區(qū)間。針對如圖22所示的三種位置情況，區(qū)間大于等于的可能度構造如下[14]： （214）上式中，假設區(qū)間和在各自的區(qū)間內(nèi)都服從均勻分布的隨機變量和，通過計算隨機變量大于等于的概率獲得可能度。因為是目標函數(shù)和約束函數(shù)是關于的連續(xù)函數(shù)，并且的波動范圍是在一個區(qū)間矢量之內(nèi)，所以對于任一確定的設計變量，其目標函數(shù)或第個約束函數(shù)，由不確定參數(shù)區(qū)間引起的函數(shù)可能值都將構成一區(qū)間。盡管對于大多數(shù)問題而言，在一個空間中的多樣性通常意味著在另一個空間中的多樣性，但是此結論并不是對所有的問題都是成立的。由此可知，對于多目標優(yōu)化問題，最重要的任務是找到盡可能多的關于該優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解。若，則稱是多目標優(yōu)化問題的非劣解，即Pareto最優(yōu)解。在這里將給出占優(yōu)的概念以及相關術語的定義[10]。所有的目標函數(shù)構成了多目標優(yōu)化問題(22)的目標函數(shù)向量。所以，基于遺傳算法的多目標尋優(yōu)策略已經(jīng)被應用于各個領域中。但是，就目前看來多目標區(qū)間數(shù)優(yōu)化所研究的問題缺乏一般性，在為數(shù)不多的關于非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題的研究中，還沒有總結出針對一般非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學轉(zhuǎn)換模型，這一定程度上阻礙了區(qū)間數(shù)優(yōu)化的研究進展。但是，在實際工程系統(tǒng)中，以上這兩種方法都需要大量的信息來構造隨機變量的分布或模糊隸屬度函數(shù)，這對于實際的優(yōu)化問題來說有一定的困難。隨機規(guī)劃方法[4]和模糊規(guī)劃方法[5]是兩類比較傳統(tǒng)的不確定性優(yōu)化方法。以實際工業(yè)生產(chǎn)為例，企業(yè)可以借助不確定性優(yōu)化技術來提高產(chǎn)品安全性和可靠性，以滿足生產(chǎn)安全規(guī)范，減少對環(huán)境破壞以及不必要的能耗，從而能夠更好地適應復雜多變的市場，為企業(yè)創(chuàng)造出更為可觀的經(jīng)濟、社會效益。一般來說，對實際工程領域中問題的分析和優(yōu)化設計通?；诖_定性的系統(tǒng)參數(shù)和優(yōu)化模型，并且借助傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法[2]來進行求解。為此，本文將針對多目標區(qū)間數(shù)優(yōu)化展開系統(tǒng)的研究，力求通過改進多目標確定數(shù)優(yōu)化問題來解決多目標區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題。（ ）；（ ）；（ ）。 ） 主要內(nèi)容1 學習多目標優(yōu)化求解算法；2掌握NSGAⅡ算法的原理，對其缺陷進行改進；3 利用遺傳算法完成多目標優(yōu)化求解。其次，在多目標確定數(shù)優(yōu)化問題中，不可能存在一個使每個目標都達到最優(yōu)的解，所以多目標優(yōu)化問題的解往往是一個非劣解的集合——Pareto解集。事實上，在絕大多數(shù)實際工程中，都或多或少地存在著一些不確定因素，只是由于對這些工程系統(tǒng)從數(shù)學角度上處理困難，所以在很多情況下不得不做出簡化，將多目標轉(zhuǎn)化為單目標以及將不確定性轉(zhuǎn)化為確定性[3]。為此，用以專門處理不確定性優(yōu)化問題的理論應運而生。許多專家學者對這種方法進行了深入的探討和研究。最后利用罰函數(shù)法[3]，將具有約束的多目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)確定的無約束多目標罰函數(shù)。本文的整個研究內(nèi)容和研究思路將按三個方面展開：首先，從區(qū)間序規(guī)劃的理論層面上找出一種能處理一般非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學轉(zhuǎn)換模型；其次，基于數(shù)學轉(zhuǎn)換模型，將不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化問題，繼而利用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGAII)，對多目標優(yōu)化問題進行優(yōu)化和求解；最后，本文將利用區(qū)間數(shù)多目標函數(shù)來測試算法的有效性，以及對算法中的重要算子進行研究，通過對比各個不同參數(shù)下的最終仿真結果，分析并說明參數(shù)的取值對最終優(yōu)化結果的影響。在這個多目標優(yōu)化問題中有個目標函數(shù)(個極小化目標函數(shù)，個極大化目標函數(shù))和個約束函數(shù)(其中有個不等式約束和個等式約束)。根據(jù)目標函數(shù)、約束函數(shù)以及設計變量的特點，多目標優(yōu)化問題可以分成以下幾種類型[9]：如果在多目標優(yōu)化問題中，所有的目標函數(shù)和約束函數(shù)都是線性的，則稱此類優(yōu)化問題為線性多目標優(yōu)化問題；如果至少有一個目標函數(shù)或約束函數(shù)是非線性的，則稱此類優(yōu)化問題為非線性多目標優(yōu)化問題；如果系統(tǒng)模型中設計變量是連續(xù)的，則此類優(yōu)化問題是連續(xù)多目標優(yōu)化問題；反之，就稱之為離散問題。2) 若，則稱向量A小于等于向量B，記作 。多目標優(yōu)化問題的非劣解一般不止一個，由所有非劣解構成的集合稱為非劣解集(Noninferior Set)。第一個任務是在任何優(yōu)化工作中都必須的做到的，收斂不到接近真正Pareto最優(yōu)解集的解是不可取的，只有當一組解收斂到接近真正Pareto最優(yōu)解，才能確保該組解近似最優(yōu)的這一特性。當=時，區(qū)間退化為一實數(shù)。 不確定性區(qū)間結構分析假設對于多目標優(yōu)化中目標函數(shù)和約束函數(shù)的不確定參數(shù)，有。然而此方法卻也具有兩方面的局限性：1) 以上可能度是基于圖22中的三種位置關系而構造的，而此三種位置關系只是區(qū)間和所有可能情況的一部分，因此需要用兩個可能度公式，即(214)式和(215)式來進行對同樣區(qū)間對的比較，影響了可能度使用的方便性。對于區(qū)間退化成一實數(shù)b的情況，區(qū)間和實數(shù)b之間可能的位置關系如圖24所示。例如，對于帶有不確定參數(shù)的等式約束函數(shù)，可以將其轉(zhuǎn)化為如下形式： （224）進而，可以將其表示成兩個不等式約束： （225）利用前面敘述的對于不等式約束的轉(zhuǎn)換方法處理上式，可得： （226）上式中的可能度和可以通過公式(218)和公式(217)進行求解。，并且僅當， （最大化優(yōu)化問題），并且僅當， （228），并且僅當， （最小化優(yōu)化問題），并且僅當， （229）2）區(qū)間序關系：該序關系表達了決策者對區(qū)間中點和半徑的偏好。此處，仍采用文獻[22]的方法，通過兩次優(yōu)化來求解不確定目標函數(shù)的區(qū)間范圍： （242）對公式(242)進行自然區(qū)間的擴展，可獲得目標函數(shù)的上下界： （243）(241)式中的兩個目標函數(shù)類似于統(tǒng)計數(shù)學中的期望值和標準偏差。具體來講，即利用區(qū)間序關系處理含不確定參數(shù)的目標函數(shù)，利用可能度水平處理含不確定參數(shù)的約束函數(shù)，最后利用多目標權系數(shù)、罰函數(shù)和罰因子，將帶有不確定性約束的區(qū)間數(shù)多目標優(yōu)化轉(zhuǎn)化成為不含約束的單目標優(yōu)化問題，從而可以利用傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化方法來求得其Pareto解集。這種方法能夠解決任意數(shù)目的多目標優(yōu)化問題，并且能夠分析和解決最大化和最小化的優(yōu)化問題。為了克服非支配排序遺傳算法(NSGA)的上述不足，印度科學家Deb于2002年在NSGA算法的基礎上進行了改進，提出了帶精英策略的非支配排序遺傳算法(Elitist NonDominated Sorting Genetic Algorithm，NSGAII)，NSGAII 算法針對NSGA的缺陷通過以下三個方面進行了改進[16]：1) 提出了快速非支配的排序算法，降低了計算非支配序的復雜度，使得優(yōu)化算法的復雜度由原來的降為（為目標函數(shù)的個數(shù)，為種群的大?。?。在這一步中，所有在第一個非支配層中的個體都被尋找到，為了找到隨后各個等級中的個體，重復前面的操作。為了克服NSGA算法中的這種不足，NSGAII中引用了擁擠度的概念[16]：擁擠度表示在種群中給定點的周圍個體的密度，用表示，直觀上用個體周圍包含個體但不包含其余個體