【正文】 【解】（1）利用能控性判據(jù)rankQc=rankB AB A2B=rank000122012=23可知該系統(tǒng)不能控。 【解】（1）利用能觀性判據(jù)rankQo=rankCCA=rank1111=12可知該系統(tǒng)不能觀。46 （例5）系統(tǒng)計算結果（3）對比單輸入系統(tǒng)極點配置的兩種求解方法，可以看出該極點配置控制器設計合理有效。 （1）計算系統(tǒng)的特征多項式det?(sIA)=dets100s115s+6=s3+6s2+5s+1（2）計算由期望閉環(huán)極點組決定的特征多項式?s=s+10s+2j4s+2+j4=s3+14s2+60s+200 （3）計算k=a*3a3,a*2a2,a*1a1=[199 55 8] （4）計算Q=bAbA2ba2a11a110100=100010001和 P=Q1=100010001 （5）定出滿足極點配置要求的狀態(tài)反饋矩陣。圖412 （例8）系統(tǒng)計算結果 （3）根據(jù)第（2）步所計算出的各系數(shù)，列寫降維狀態(tài)觀測器方程z=1616z+10u+6080y x=111001z+1256 （4）對比設計給定系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器的兩種方法，可以看出上述狀態(tài)觀測器設計合理有效。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多典型問題，如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等[20]。應用牛頓－歐拉方程對系統(tǒng)進行線性化，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：xxθθ=001(I+ml2)bIM+m+Mml20m2gl2IM+m+Mml20000010mlbIM+m+Mml2mgl(M+m)IM+m+Mml20xxθθ+0I+ml2IM+m+Mml20mlIM+m+Mml2uy=xθ=10000010xxθθ+00u (51)式中，x為小車的位移，x為小車的速度，θ為擺桿的角度，θ為擺桿的角速度，u為輸入（采用小車加速度作為系統(tǒng)的輸入），y為輸出。在專門為直線式一級倒立擺控制系統(tǒng)所設計的GUI界面下對上述控制過程進行仿真，得到倒立擺系統(tǒng)偏轉角度變化曲線和小車位移變化曲線，如圖54，系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線和降維觀測器觀測結果如圖55所示。0 0 1 0]D=0P=[2+sqrt3*j2sqrt3*j1010]再取Q=1 0 0 0。這是因為LQR綜合考慮了各個狀態(tài)量在輸入控制量下的變化規(guī)律，從而保證了良好的穩(wěn)態(tài)效果，但是犧牲了系統(tǒng)的魯棒性和瞬態(tài)性。建立如圖510所示坐標系圖510 模型分析坐標系忽略一些次要因素，利用拉格朗日法，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式θ1θ2θ1θ2=02I2J1MJ1Fθ1θ2θ1θ2+02J1Ku y=1001000000100001θ1θ2θ1θ2 (57)式中J=J2+m2R12m2R1L2m2R1L2J2, F=f1+KmKe00f2M= m1L1+m2R1 0 0 m2gL2, K=Km0其中，m1,m2分別為旋臂和擺桿的質量，R1,R2分別為旋臂和擺桿的長度，L1,L2分別為旋臂質心到轉軸的距離和擺桿質心到轉軸的距離，f1,f2分別為旋臂繞軸轉動的摩擦力矩系數(shù)和擺桿繞軸轉動的摩擦力矩系數(shù)，J1,J2分別為旋臂繞軸轉動的轉動慣量和擺桿繞軸轉動的轉動慣量，Km,Ke分別為電機力矩系數(shù)和電機反電勢系數(shù)，u為加在電機上的控制電壓。將圖54和圖57進行比較，很容易看出，圖57中的曲線比圖54中的曲線要平滑得多，但其超調量較大，反應較遲緩，過渡過程較長，沒有極點配置法來得迅速。0。]C=[1 0 0 0。 直線式一級倒立擺系統(tǒng)的平衡控制 數(shù)學模型的建立圖51 直線式一級倒立擺示意圖倒立擺系統(tǒng)控制的目標是通過給小車底座加一個外力F(控制量)，使小車停留在預定的位置，并使桿不倒下，即不超過一個預先定義好的垂直偏離角度范圍。 本章小結 本章通過多個實例考查了給定系統(tǒng)的能控/能觀性判斷、狀態(tài)反饋與極點配置、全維/降維狀態(tài)觀測器的設計和線性二次型最優(yōu)控制等知識點，并采用兩種方法來驗證或計算結果，翔實準確的數(shù)據(jù)（結論）證明了本論文所設計的反饋控制器和狀態(tài)觀測器是合理有效的。取 D=010001則 P=CD=111010001 P1=Q1Q2=111010001進而Q1=100 , Q2=111001計算得A=PAP1=60111111311 B=PB=010從而A22=1111A12=01設所需的E為 E=e1e2則有detsIA22EA12=dets+1e1+11s+e2=s2+7s+12至此，不難得知E=56則降維狀態(tài)觀測器為z=1616z+10u+6080y x=111001z+1256 方法二（利用MATLAB程序求解） （1）在控制器中輸入?yún)?shù)，單擊“能觀性判斷”按鈕，彈出如圖411所示界面圖411 （例8）系統(tǒng)的能觀性判斷（2）系統(tǒng)能觀，意味著可以設計降維狀態(tài)觀測器。 狀態(tài)觀測器設計舉例 全維狀態(tài)觀測器設計舉例 【例7】給定單輸入3維連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)受控系統(tǒng)為x=001105016x+201u y=001x 再指定一組期望觀測器極點λ*1=10，λ*2=2+j4, λ*3=2j4，設計全維狀態(tài)觀測器。 方法二（利用MATLAB程序求解） （1）在控制器中輸入相關參數(shù)，單擊“能控性判斷”按鈕，彈出圖45圖45 （例5）系統(tǒng)的能控性判斷（2）系統(tǒng)能控，意味著可以任意配置極點。圖43（例3）系統(tǒng)的能觀性判斷由此表明該控制器設計合理有效。圖41（例1）系統(tǒng)的能控性判斷由此表明該控制器設計合理有效。界面效果圖如圖314所示： 4）降維觀測器圖解界面 出于同樣的考慮，初次接觸降維觀測器設計的讀者可能對其設計原理不甚熟悉，故添加了一個降維觀測器圖解界面，簡潔明了地揭示了其結構與原理，效果圖如圖315所示：圖314 全維觀測器求解界面效果圖圖315 降維觀測器圖解界面效果圖 5）降維觀測器求解界面降維觀測器求解界面主要實現(xiàn)如下功能：若系統(tǒng)能觀，且輸入?yún)?shù)完整合法，則根據(jù)給定參數(shù)計算出相應系數(shù)值，并實時顯示在右方對應的框圖內(nèi)。開始登錄界面軟件簡介參數(shù)輸入?yún)?shù)是否有效NY能觀性判斷NY觀測器設計類型選擇降維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器參數(shù)是否完整有效參數(shù)是否完整有效NNYY輸出結果輸出結果結束結束圖311 狀態(tài)觀測器設計流程圖 2）全維狀態(tài)觀測器的自動求解,求解全維狀態(tài)觀測器的實質就是先確定選擇矩陣E的取值，再根據(jù)一定方法構造出動態(tài)系統(tǒng)，得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計值x(t)。)。String39。 39。set(,39。,39。 %關閉本界面panduan(39。string39。,A)。C = get(,39。 由于MATLAB本來就是以矩陣或數(shù)組的形式讀入或寫出數(shù)據(jù)的，故可直接在可編輯文本中寫入矩陣，只是要將寫入的數(shù)據(jù)進行運算時，再用str2num命令將字符串轉化為數(shù)值數(shù)據(jù)即可[18]。off39。 , 39。 3）LQR最優(yōu)控制器的自動求解,求解LQR最優(yōu)控制器的實質就是確定反饋控制律u=Kx中K的取值。鑒于此，我們分別用MATLAB語言實現(xiàn)上述功能。 GUIDE簡介 GUIDE是MATLAB圖形用戶接口開發(fā)環(huán)境（Graphical User Interface Development Environment）的簡稱，它提供了一系列建立GUI對象的開發(fā)工具，圖形化的界面極大的簡化了GUI設計過程中的界面布局操作。它所對應的最優(yōu)軌跡是下式的解x*t，即x*t=[ABR1BTP]x*t (229)矩陣P為Riccati代數(shù)方程的惟一對稱正定解。這類問題稱為無限時間的狀態(tài)調節(jié)器問題。其設計方法為： （1）選取nm x n階常數(shù)矩陣D，使得n x n 矩陣P=CD為非奇異。圖21 開環(huán)全維狀態(tài)觀測器圖22 閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器根據(jù)圖22不難寫出閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為x=AECx+Bu+Ey (215)因為由式（215）所表述的動態(tài)系統(tǒng)（即狀態(tài)觀測器）所得到的xt是和x(t)的維數(shù)相同的，故稱它為全維狀態(tài)觀測器。在給定系統(tǒng)矩陣A,B和期望極點配置P的情況下，其調用格式為K=ackerA,B,P 或 K=place(A,B,P)其中acker()函數(shù)可以求解多重極點的配置，但只能用于單輸入系統(tǒng)；place()函數(shù)可用于單輸入或多輸入系統(tǒng)，但不能求解多重極點配置的問題[11]。 對偶原理 若系統(tǒng)1的狀態(tài)空間表達式為x1t=Ax1t+Bu1(t) y1t=Cx1(t)若系統(tǒng)2的狀態(tài)空間表達式為x2t=ATx2t+CTu2(t) y2t=BTx2(t) 稱系統(tǒng)1和2互為對偶的，即系統(tǒng)2是系統(tǒng)1的對偶系統(tǒng)，反之，系統(tǒng)1是系統(tǒng)2的對偶系統(tǒng)。當矩陣A(t)和B(t)為定常時，系統(tǒng)（24）化為x=Axt+But, xt0=x0, t≥t0 (25) 定理22 線性定常系統(tǒng)（25）能控的充分必要條件是rankB AB ? An1B=n (26)MATLAB中的ctrb函數(shù)可以根據(jù)動態(tài)系統(tǒng)生成系統(tǒng)的能控性矩陣Qc，調用格式為：Qc=ctrb(A,B)。因此，我們可以得出如下結論：（1）狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的特征方程和特征值； （2）狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣方程。 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入變量之間關系的一階微分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。3）狀態(tài)觀測器的設計狀態(tài)觀測器的本質就是通過重構系統(tǒng)的狀態(tài)來實現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋，從而使系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足一定的性能指標[8]。現(xiàn)在，隨著狀態(tài)觀測器理論和狀態(tài)估計方法的發(fā)展，特別是卡爾曼濾波法的出現(xiàn)，在很多情況下已不難獲得狀態(tài)變量的良好實時估計值，狀態(tài)反饋方法已進入了實用階段[3]。由于經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)的，因此，只能從輸出引出信號作為反饋量。前者是控制理論在廣度上的開拓，后者是控制理論在深度上的挖掘。貝爾曼于1956年發(fā)表了“動態(tài)規(guī)劃理論在控制過程中的應用”一文，提出了尋求最優(yōu)控制的動態(tài)規(guī)劃法。經(jīng)典控制理論能夠較好地解決單輸入單輸出反饋控制系統(tǒng)的問題，但它也具有明顯的局限性，突出的是難以有效地應用于時變系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)，也難以揭示系統(tǒng)更為深刻的特性。就其發(fā)展過程而言，大體可分為三個階段。1875年英國學者勞斯和1895年德國學者赫爾維茨先后提出了根據(jù)代數(shù)方程的系數(shù)來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則。后來，英國學者麥克斯韋于1868年發(fā)表了“論調速器”一文，對調速器的穩(wěn)定性進行了分析，指出控制系統(tǒng)的品質可用微分方程來描述，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可用特征方程根的位置和形式來研究。 隨著科學技術的進步，特別是計算機技術的發(fā)展，控制理論日漸成熟，對促進生產(chǎn)發(fā)展和社會進步產(chǎn)生了深遠影響。埃文斯于1948年提出了直觀而簡便的圖解分析法，即根軌跡法，在控制工程上得到了廣泛應用。這一時期的主要代表人物有美國的貝爾曼、前蘇聯(lián)的龐特里亞金和美籍匈牙利人卡爾曼等。（3）“大系統(tǒng)理論”和“智能控制理論”等時期（20世紀70年代至今）。 本論文的選題意義及主要內(nèi)容 本論文的選題意義無論是在經(jīng)典控制理論，還是在現(xiàn)代控制理論中，反饋都是系統(tǒng)設計的主要方式。狀態(tài)觀測器的出現(xiàn)，不但為狀態(tài)反饋的技術實現(xiàn)提供了現(xiàn)實可能性，而且在控制工程的許多方面也得到了實際應用。本論文在完成系統(tǒng)能控性判斷，并得出系統(tǒng)能控的結論后，精心設計了閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置，即利用MATLAB語言自動求取合適的反饋矩陣K，并設計恰當?shù)姆答伩刂坡桑怪畡討B(tài)顯示在所設計的GUI界面里，從而將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得給定系統(tǒng)所期望的動態(tài)性能。 以狀態(tài)空間變量x1(t)，x2(t