【正文】 H的距離平方與圓到象素 D的距離平方之差。如汽車的外形曲線、等高線等。 xp,yp xp+1, 當(dāng)斜率為 1時(shí)則： 2b2x=2a2y 上半部分的條件是： 2b2x=2a2y 下半部分的條件是： 2b2x=2a2y 假如上半部分橢圓 判別式為： dp=F(xp+1,)=b2(xp+1)2+a2()2a2b2 如果 dp ＝ 0, 中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則取正右方的那個(gè)象素 且判別式應(yīng)更新為 : dp+1=F(xp+2,)=dp+b2(2xp+3) 如果 dp 0,中點(diǎn)在橢圓外，則取右下方的那個(gè)象素 且判別式應(yīng)更新為： dp+1=F(xp+2,)=dp+b2(2xp+3)+2a2(yp+1) 42 弧的起點(diǎn)為（ b, 0) 第一個(gè)中點(diǎn)是 (1, ) 判別式的初值 dp0=b2+a2(b+). 步進(jìn)方向由 x改為方向 y dp=b2(xp+)2+a2(yp1)2a2b2 下半部分的終止條件為 y=0 假如為橢圓弧的下半部分 如果上半部分的最后一個(gè)象素為（ xp,yp)，則 且應(yīng)改為從正下方和右下方兩個(gè) 象 素中選擇一個(gè)象素 中點(diǎn)是（ xp+,yp1) 如果 dp ＝ 0, 中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則取右下方的那個(gè)象素 Pr(xp+1,yp1) 且判別式應(yīng)更新為 : dp+1=F(xp+,yp2)=dp+b2(2xp+2)+a2(2yp+3) 如果 dp 0,中點(diǎn)在橢圓外，則取正下方的那個(gè)象素 Pl（ xp,yp1） 且判別式應(yīng)更新為： dp+1=F(xp+,yp2)=dp+a2(2yp+3) 在編寫程序時(shí)應(yīng)先更新決策變量 d，再更新（ x， y） 上半部分的終止條件為： b2 (x+1) a2（ ) 下半部分的 d的初值為上半部分計(jì)算的最后點(diǎn) 下半部判別式的初值 dp0=b2(x+)2+a2(y1)2a2b2 43 ???????ayax22????????????????????????d22)d(d2d12211aayaaaxnnnnnnn?????????????????????d2)d(dd1211ayyayxxnnnnnnn或 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 : y178。 常用名詞術(shù)語 49 P39。 53 8. 逼近 逼近設(shè)計(jì)方法 :用這種方法建立的曲線與曲面數(shù)學(xué)模型只是近似地接近已知的型值點(diǎn)。0， P39。0 P39。1 )t2+P39。1 ]T —— 幾何系數(shù)矩陣或邊界條件矩陣 58 ? ? TMtttH ??????????????????0001010012331122123? ???????????????????????????????39。 若切矢的方向和大小改變，則曲線的形狀也隨之變化。1 Q39。 矩陣表示： P(t)= [t 1] 1 1 1 0 Q0 Q1 0=t=1 當(dāng) n=2時(shí) Bezier曲線的表達(dá)式： ????????20221022, ,)1(2)1()()(iii QtQttQttBQtP0=t=1 P(t)=[t2 t 1] 1 2 1 2 2 0 1 0 0 Q0 Q1 Q2 0=t=1 矩陣表示： 69 Bezier曲線的不足： （ 1）曲線離特征多邊形較遠(yuǎn)，逼近效果不好 （ 2） Bezier曲線改變某一個(gè)控制點(diǎn)的位置對整條曲線都有影響，不能作局部修改，不易控制形狀。239。239。)(21)0(39。 （ 4） 連續(xù)性 。 putpixel((int)x,(int)y,2)。delty=?y。 if f=0 then begin y:=y+1。 ε(xi+2) + 2m, 當(dāng) ε(xi+2) ≤ 0 ε(xi+2) + 2m 1, 當(dāng) 1≥ε(xi+2)0 ε(xi+2) + 2m 2, 當(dāng) ε(xi+2)1 ε(xi+4)=yi+4 yi+2,r = yi+2 + 2m yi+2,r 類似式 (4)可取 ε(x3)=y3 y1 = 2m 相應(yīng)的程序?yàn)椋? yi+2 yir + 2m , 當(dāng) ε(xi+2) ≤ 0 yi+2 yir + 2m 1, 當(dāng) 1≥ε(xi+2)0 yi+2 yir + 2m 2, 當(dāng) ε(xi+2)1 { = { = 83 圓的多邊形迫近法 當(dāng)圓的內(nèi)接多邊形邊數(shù)足夠多時(shí)，該多邊形可以和圓接近到任意程度，因此在允許的范圍內(nèi)，可以用顯示多邊形代替顯示圓。 用正多邊形迫近圓弧法 [。 當(dāng) 1 ≤ yi+2yir≤ 時(shí)繪制圖 C。 x:=x+1 e:=e+m end。i=k。 m=(y2y1)/(x2x1)。 即曲線位于控制多邊形凸包范圍內(nèi)； （ 2） 幾何不變性 。0XXXXXXXX?????和 考慮函數(shù)的對稱性 ,可以假設(shè) X0(t)= X3(1t) X1(t)= X4(1t) 75 其矩陣表達(dá)式 : 23!2110 )()()()()( ??? ???? iiiii QtXQtXQtXQtXtPQi1 Qi Qi+1 Qi+2 Pi(0) Pi(1) ? ???????????????????????????????????211230141030303631331611)(iiiiittttP 10 ?? t2,2,1 ?? ni ?式中 Qi1 Qi Qi+1 Qi+2 為特征多邊形的四個(gè)相鄰頂點(diǎn) 特征多邊形有更多的頂點(diǎn)，則一條完整的 BSpline曲線將由若干段曲線所組成。339。039。1 23 Pt ??? 時(shí)，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式 ? ??????????????????????????????3210200010033036313310123)(39。 BEZIER曲線 61 Coons曲線的幾何信息是端點(diǎn)的位矢和切矢，曲線的形狀很大程度上取決于切矢的大小。0， P 39。 H1(t) H2(t) H3(t) H4(t) B=[P0 P0 P39。1 )t3+(3P0 +3P12P39。(t)=3A3t2+2A2t+A1 A0=P0 A1=P39。0 P0 P‘1 P1 t=1, P1 t=0, P0 P(0)=P0=A0 P(1)=P1=A0 + A 1t =P1 P(t)=P0+(P1 P0 )t 55 P(0)=P0=A0 P(1)= A0 + A 1t + A 1t2 = P1 2210)( tAtAAt ???P二次曲線： P39。 在曲線、曲面中最常用的是線性插值和拋物線插值。如 BEZIER曲線段中的 Q1與 Q2點(diǎn)。并根據(jù)判別式符號確定哪個(gè)象素離橢圓更近。 ?HD=2(?1+y1)1=2(14+8)1=130 取 H點(diǎn) ?2=?1+2x2+1=14+2*1+1=110 ?HD =2(?2+y2)1 =2(11+8)1=70 ?HD =2(?3+y3)1 =2(6+8)1=30 取 D點(diǎn) 取 H點(diǎn) 點(diǎn)亮點(diǎn) (0,8) 可能點(diǎn)亮 H或 D點(diǎn) x2 =1 y2 =8 ?3=?2+2x3+1=11+2*2+1=60 x3 =2 y3 =8 x4 =3 y4 =7 Δ4 = Δ3+2x4 2y4 +2=6+2*32*7+2=120 ?HD =2(?3+y4)1 =2(12+7)1=110 取 H點(diǎn) x4 =4 y4 =7 Δ5 = Δ4+2x5 +1=12+2*4+1=30 ?HD=2(?4+y4)1=2(3+7)1=90 取 D點(diǎn) x5 =5 y5 =6 Δ6 = Δ5+2x5 2y5 +2=3+2*52*6+2=30 ?HD=2(?6+y6)1=2(3+6)1=50 取 D點(diǎn) x6 =6 y6 =5 V(xi,yi1) P(xi,yi) H(xi+1,yi) D(xi+1,yi1) Δ7 = Δ6+2x6 2y6 +2=3+2*62*5+2=10 取 D點(diǎn) x7 =7 y7 =4 ?DV=2(?6x6)1=2(16)1=110 Δ8 = Δ7+2x7 2y7 +2=1+2*72*4+2=90 ?DV=2(?7x7)1=2(97)1=30 取 V點(diǎn) x8 =7 y8 =3 Δ9 = Δ8 2y8 +1=92*3+1=40 ?DV=2(?9x8)1=2(47)1=70 取 D點(diǎn) x9=8 y9 =2 Δ10 = Δ9+2x9 2y9+2=4+2*82*2+2=180 ?DV=2(?10x9)1=2(188)1=190 取 V點(diǎn) x10=8 y10 =1 Δ11 = Δ10 2y10 +1=192*2+1=160 ?DV=2(?11x10)1=2(168)1=150 取 V點(diǎn) x11 =8 y11 =0 34 Y y=0 Y N 結(jié)束 起點(diǎn) x=0 y=R 222 )1()1( RyxD ??????初值ΔD0 0?HD?122 ??? ? yDHD?N Y N ΔD0 122 ??? ? xDDV?Y 0?DV?N Y 12 ???????xDDxH取)1(2 ??????????yxDDyxD取12 ??????? yDDyV取N 1/4圓程序流程圖 35 上機(jī)： ； （下次上機(jī)時(shí)提交） 、運(yùn)行圓弧的 Bresenham算法程序； 手工： 畫圓心為 (0,0),半徑 R=10的四分之一的圓弧用圓弧的Bresenham算法計(jì)算各個(gè) 象 素點(diǎn)的坐標(biāo)值 作業(yè) : DDA算法程序的實(shí)現(xiàn) （ 0， 0）到（ 8，－ 4）之間的線段 Bresenham算法完整程序 36 概述 曲線 規(guī)則曲線 —— 可用標(biāo)準(zhǔn)的解析式來描述的曲線。 已知圓的圓心坐標(biāo)為（ 0,0），半徑為 R (0,0) (R,0) 角度 DDA算法 (近似法 ) 19 Pi Pi+1 原因： Pi+1是在 Pi上加一個(gè)小的矢量而得到，這個(gè)矢量垂直于位置矢量 Pi 。d+=const2。 /*注意此時(shí)誤差的 */ const2=2*(dydx)。else s2=1。 T=dx dx=dy dy=T inter=1 ?x ?y Inter=0 d=2(x*dxy*dy)+2*dydx i=1。 13 一個(gè)完整的直線算法應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面 1. 水平線 2. 垂直線 4. 直線的斜率為 m,|m|1 5. |m|1 6. Δy0 7. Δx0 等 ?線 Bresenhanm算法的優(yōu)點(diǎn)： (3)只有加法和乘 2 運(yùn)算 , 在計(jì)算機(jī)內(nèi)部是用位移操作實(shí)現(xiàn)的 ,效率高。 s t Ti Si (r,q) 直線的 Bresenham算法 10 為討論方便 , 假定 : 直線斜率 k在 0,1 之 間 起點(diǎn)坐標(biāo) A(x1,y1) 終點(diǎn)坐標(biāo) B(x2,y2) 將直線平移到原點(diǎn) 則起點(diǎn)坐標(biāo) （ 0， 0),終點(diǎn)坐標(biāo) B(dx,dy) dx=x2x1 dy=y2y1 其中 直線方程為： xdxdyy ?且 dxdyrqs ???1其中 r=xi1,q=yi1 s t Ti Si (r,q) 所以 qrdxdys ??? )1()1(11 ?????? rdxdyqstdxdydxqd