【正文】 ),其碼多項式可以表示為 A (1) (x)=an2xn1+an3xn2+… +a0x+an1 (446) 同理 ,左移 i位的碼組 A（ i） =(ani1 ani2 … ani+1 ani),其碼多項式為 A (i) (x)=ani1xn1+ani2xn2+… +ani+1x+ani (447) 第 4章 信道編碼技術 利用代數理論知識 ,A（ i） (x)也可以用下式求得： xig(x)、 … 、 xk1g(x)=Q(x) 上面我們討論了循環(huán)碼的基本原理 ,下面就系統循環(huán)碼的產生進行分析。 當信息碼為 110時 ,編碼器的工作過程如表 44所示 。 我們知道 ,校正子與錯誤圖樣之間存在某種對應關系 。 第 4章 信道編碼技術 卷積碼 卷積碼編碼器的一般形式如圖 49所示 ,它包括：一個由 N段組成的輸入移位寄存器 ,每段有 k級 ,共 Nk位寄存器；一組 n個模 2相加器；一個由 n級組成的輸出移位寄存器 。 隨著第二個位的輸入 ,第一位右移一位 ,此時輸出比特同時受當前輸入位和前一個輸入位的影響 。 上分支對應于輸入 0狀態(tài) ,下分支對應于輸入 1狀態(tài) 。 第 4章 信道編碼技術 圖 412 （ 2, 1, 3）卷積碼的網絡圖表示 00 00 00 00 00111111111110狀態(tài)a ＝ 00b ＝ 01c ＝ 10d ＝ 1110 10 10010101010101 010000001011 11 1110 10第 4章 信道編碼技術 3. 由圖 411可以看到 ,對于每一個節(jié)點當前狀態(tài) a、 b、 c、 d,根據不同的輸入將進入不同的狀態(tài) ,基于這一原理 ,我們可以構造出當前狀態(tài)與下一狀態(tài)之間的狀態(tài)轉換圖 ,也可以稱之為卷積碼的狀態(tài)圖 。 常以最大的最小碼距作為糾錯能力的度量 。 計算自由碼距的一種解析方法是利用卷積碼的生成函數 。 求最大似然函數的對數 ,就相當于求 X和 Y之間的漢明距最小 。 第 4章 信道編碼技術 2. 卷積碼的網格圖中共有 2k(N1) 種狀態(tài) ,每個節(jié)點(即每個狀態(tài) )有 2k條分支引入 , 也有 2k條分支引出 。 有時會出現兩條路徑的對數似然函數累加值相 等的情形 ,在這種情況下可以任意選擇其中一條作為 “ 幸存 ” 路徑 。 然后在剩下的 “ 幸存 ” 路徑中重新選擇譯碼路徑 ,這樣一直進行到最后第 L級 。 第 4章 信道編碼技術 卷積碼的最佳譯碼 —— 1. 利用最大似然序列估計器 ,使似然函數最大的一個參數作為估計值 ,鑒于似然函數的性質 ,我們通常選擇似然函數的對數最大 ,而不是似然函數本身最大 ,現在我們就根據卷積碼編譯碼系統的特點構造似然函數 。 當采用維特比譯碼或序列譯碼算法 ,且譯碼所考察的編碼后序列長度大于 nN時 ,自由碼距 dfree就是一個重要參量 。 第 4章 信道編碼技術 圖 414 （ 2,1,3）卷積碼的編碼過程及路徑 a輸出 碼狀態(tài)輸入 碼111b11011d010c001b011d101d010c110a111b100c110a000a0001010001100111 111011第 4章 信道編碼技術 通過上述分析以及對具體實例的研究 ,我們可以得到 (n,k,N) （ 1） 對于每組 k位的輸入 ,利用卷積碼編碼后將得到 n位的輸出； （ 2） 樹狀圖中每個節(jié)點可引出 2k條分支； （ 3） 網格圖和狀態(tài)圖都有 2k(N1) 種可能的狀態(tài) ,每個狀態(tài)可以引出 2k條分支 ,同時也有 2k條分支從其他狀態(tài)或本狀態(tài)引入； （ 4） 在任何情況下 ,只要卷積碼編碼器一確定 ,相應的樹狀圖 、 網格圖和狀態(tài)圖都將確定 ,與輸入的碼序列無關 。 網格圖中分支上標注的碼元為對應的輸出 ,自上而下 4行節(jié)點分別表示 a、 b、 c、 d四種狀態(tài) 。 當輸入第二位時 ,移位寄存器右移一位后 ,在上分支情況下 ,移位寄存器的狀態(tài)仍為 00,下分支的狀態(tài)則為 01,把 01狀態(tài)記作b。 第 4章 信道編碼技術 圖 410 （ 2,1,3）卷積碼編碼器 mj輸入 序列m1m2… mj…mj － 1mj － 2輸出 序列x1 , jx2 , j第 4章 信道編碼技術 1. 在 (2,1,3)卷積碼編碼器當中 ,輸出移位寄存器用轉換開關代替 ,每輸入一個位信息 ,經編碼產生兩位輸出 。 它的生成多項式 g(x)與最小碼距之間有密切的關系 ,人們可以根據所要 求的糾錯能力 t,BCH碼 。 這種錯誤 被稱為不可檢錯誤 ,不可檢錯誤的錯碼數必將超過這種編碼的檢錯能力 。 設該 (7, 3) 循 環(huán) 碼 的 生 成 多 項 式 為g(x)=x4+x2+x+1,則構成的系統循環(huán)碼編碼器如圖 47所示 ,圖中有 4個移位寄存器 ,一個雙刀雙擲開關 。(x3+x2+1) (452) 由式 (452)可構成如表 43所示的 (7,k)循環(huán)碼 。 ??????????????????????)()()()()(21xgxgxxgxxgxxGkk? (449) 第 4章 信道編碼技術 根據 g(x)定義可知 ,它是 (n, k)循環(huán)碼中惟一的一個 (nk)次碼多項式 ,當然也就是該循環(huán)碼的許用碼組 。 在循環(huán)碼中 ,一個 (n, k)碼有 2k個不同的碼組 ,若用 g(x)表示其中前 (k1)位皆為 “ 0”的碼組 ,則 g(x)、 x 若 (an1 an2 … a1 a0)為一循環(huán)碼組 ,則 (an2an3… a0 an1)、 (an3an4 … an1an2)… 還是許用碼組 。 第 4章 信道編碼技術 2. 哈達碼 (Hadamard) 哈達碼矩陣 Mn是一個由 “ 0”和 “ 1”構成的 n n維矩陣 （ n是偶數 ） ,矩陣中任意兩行相比較 ,都存在 n/2個不同的元素 ,矩陣中有一行是全 0行 ,其他行都包含 n/2個 “ 0”和n/2個 “ 1”。 當然對于上述 (7, 4)碼而言 ,最小碼距 d0=3,因此 ,它可以糾正一個錯誤或檢測兩個錯誤 ,如果超出這個范圍 ,糾錯功能就要失敗 。 在實際設計過程中 ,需要根據具體指標要求 ,盡量簡化編碼實際的復雜度 ,節(jié)省設計費用 。 在圖中用 A和 B分別表示兩個碼距為 d0的碼組 ， 若 A發(fā)生 e個錯誤 ， 則 A就變成以 A為球心 ， e為半徑的球面上的碼組 ， 為了能將這些碼組分辨出來 ， 它們必須距離其最近的碼組 B有一位的差別 ， 即 A和 B之間最小距離為 d0≥ e+1。 下面我們將介紹幾個與信道編碼有關的基本概念 。 除了個別情況 ， 系統碼的性能大體上與非系統碼相同 ， 同時非系統碼的譯碼較為復雜 ， 因此 ， 系統碼得到了廣泛的應用 。 （ 2） 按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗關系 ， 可以將它分為線性和非線性碼 。 同時 ARQ也存在某些不足 ， 主要表現在： （ 1） 需要反向信道 ， 故不能用于單向傳輸系統 ， 并且實現重發(fā)控制比較復雜； （ 2） 當信道干擾增大時 ， 整個系統有可能處在重發(fā)循環(huán)當中 ， 因而通信效率低； （ 3） 不大適合于嚴格實時傳輸系統 。 第 4章 信道編碼技術 圖 45 ARQ系統組成方框圖 編碼 器和緩沖 存儲 器信源重發(fā) 控制雙向信道指令 產生 器解碼 器正確 時輸 出錯誤 時刪 除輸出 緩沖存儲 器收信者第 4章 信道編碼技術 停發(fā)等候重發(fā)系統的發(fā)送端在某一時刻向接收端發(fā)送一個碼組 ， 接收端收到后經檢測若未發(fā)現傳輸錯誤 ， 則發(fā)送(ACK)給發(fā)送端 ， 發(fā)送端收到 ACK信號后再發(fā)下一個碼組； 如果接收端檢測出錯誤 ， 則發(fā)送一個否認信號 (NAK)， 發(fā)送端收到 NAK信號后重發(fā)前一個碼組 ， 并再次等待 ACK和 NAK信號 。 圖中帶陰影的方框圖表示在該端檢測錯誤 。 首先將式 (424)改寫為 當 B→∞ 時 ， 上式變?yōu)? )1(000 nBSlbSnBnSC?????? (425) 00000)1(l i ml i m nSl benSnB SlbS nBnSCBB??????????????(426) 第 4章 信道編碼技術 式 (426)中的近似利用了關系式： 。 ?????????ppppxyPii 11)/(