插值與曲線擬合論文(存儲版)
【正文】 … 插值余項(xiàng).由插值多項(xiàng)式的唯一性知，因此，牛頓插值與拉格朗日插值有相同的余項(xiàng)表達(dá)式，即由此有.例2 已知函數(shù)表如下.0試求方程的根的近似值.解 采用牛頓插值，作均差表如下：一階均差二階均差三階均差四階均差0按4次牛頓插值公式可得 . 等距結(jié)點(diǎn)的牛頓插值 若插值結(jié)點(diǎn)為等距結(jié)點(diǎn)，即，稱為步長，表示在上的值，則有等距結(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式.定義4 令分別稱為在點(diǎn)的一階向前差分和一階向后差分。由此可遞推階向前差分和階向后差分為.并規(guī)定零階差分為均差與差分有以下關(guān)系，即..差分表…… 牛頓前插、后插插值公式及其余項(xiàng)牛頓前插公式為.其余項(xiàng)為.牛頓后插公式為.其余項(xiàng)為.例3 設(shè)，給出在的值，試用3次等距結(jié)點(diǎn)插值公式求及的近似值.解 前插公式 .后插公式 . 埃爾米特插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式除了滿足插值條件外，還要求與被插函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，即有.上面等式共有個條件可唯一確定次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式，稱之為埃米爾特插值多項(xiàng)式，它用插值基函數(shù)可表示為其中，和是插值基函數(shù). 插值基函數(shù)和是滿足下列條件 的次多項(xiàng)式.容易求得其中，是拉格朗日插值基函數(shù).若在插值區(qū)間內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，則次艾爾米特插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為其中 特別地，當(dāng)時，結(jié)點(diǎn)為滿足條件的艾爾米特插值多項(xiàng)式為.例4 求在上的分段3次埃爾米特插值函數(shù)，并估計(jì)誤差.解 令 ，分點(diǎn)當(dāng)時，有 誤差估計(jì). 三次樣條插值定義5 設(shè)在上取個互不相同的結(jié)點(diǎn)，即給定各結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，如果函數(shù)在區(qū)間上滿足下列條件，則稱之為三次樣條插值函數(shù)，簡稱三次樣條：①， ；②在每個小區(qū)間
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