【正文】 . 8．觀察下列圖形： ① ② ③ ④ 根據(jù)圖 ①、②、③ 的規(guī)律，圖 ④ 中三角形的個(gè)數(shù)為 . 9．如圖所示，已知電線桿 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC上，如果 CD 與地面成 45186。 所以 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ G=540176。此時(shí)有 AD=0， CD=AC， BD=AB. 所以 122222222 ??????? BCBCBC ABACBC BDCD ， 1????? ABABAB BDAD . 從而第（ 1）小題中的等式成立 . ……（ 13 分） （ 3）當(dāng)點(diǎn) D 在 BA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（ 1）小題中的等式不成立 . 作 DE⊥ BC，交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，則 ,21222222BCCEBCBECEBCBECEBCBDCD????????? 而 1????? ABABAB BDAD , (第 12 題圖 ) C A B D E A B C D E 第 41 頁 41 所以 AB BDADBC BDCD ???222 . ……（ 15 分） 〖說明〗第（ 3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清 者不扣分） . 14B． 已知實(shí)數(shù) a， b， c 滿足： a+b+c=2， abc=4. （ 1）求 a， b， c 中的最大者的最小值； （ 2）求 cba ?? 的最小值 . 解： （ 1）不妨設(shè) a 是 a， b， c 中的最大者，即 a≥ b， a≥ c， 由題設(shè)知 a0， 且 b+c=2a， abc 4? . 于是 b， c是一元二次方程 04)2(2 ???? axax 的兩實(shí)根， aa 44)2( 2 ????? ≥ 0， 1644 23 ??? aaa ≥ 0， )4)(4( 2 ?? aa ≥ 0. 所以 a≥ 4. ……（ 8 分） 又當(dāng) a=4， b=c=1時(shí)，滿足題意 . 故 a， b， c 中最 大者的最小值為 4. ……（ 10分） （ 2）因?yàn)?abc0，所以 a， b， c 為全大于 0或一正二負(fù) . 1） 若 a， b， c 均大于 0，則由（ 1）知， a， b， c 中的最大者不小于 4，這與a+b+c=2 矛盾 . 2）若 a， b， c 為或一正二負(fù)，設(shè) a0， b0， c0，則 22)2( ?????????? aaacbacba ， 由（ 1）知 a≥ 4，故 2a2≥ 6，當(dāng) a=4， b=c=1時(shí)，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號(hào)成立。= 62 （ m） . 因?yàn)?3330ta n ?? ?BEAB ，所以 2633 ??? BEAB （ m） . 10.－ 4. 由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) A（－ 1， 4），點(diǎn) B（ 2， 1），所以??? ??? ??? ,124 ,4cba cba 解得 ??? ?? ??? .23 ,1ac ab 因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以 042 ???? acb ， 0)23(4)1( 2 ????? aaa ，即 0)1)(19( ??? aa ，由于 a 是正整數(shù)，故 1?a ， 所以 a ≥ 2. 又因?yàn)?b+c=－ 3a+2≤－ 4，且當(dāng) a=2， b=－ 3， c=－ 1 時(shí)，滿足 題意，故 b+c 的最大值為－ 4. 三、解答題 （共 4 題，每小題 15 分，滿分 60 分） A B E C D F (第 9 題圖 ) 第 39 頁 39 11． 如圖所示，已知 AB 是⊙ O 的直徑， BC是⊙ O 的切線， OC 平行于弦 AD，過點(diǎn) D 作DE⊥ AB 于點(diǎn) E，連結(jié) AC， 與 DE 交于點(diǎn) P. 問 EP 與 PD 是否相等？證明你的結(jié)論 . 解： DP=PE. 證明如下： 因?yàn)?AB 是 ⊙ O 的直徑， BC 是切線， 所以 AB⊥ BC. 由 Rt△ AEP∽ Rt△ ABC，得 ABAEBCEP? . ① ……（ 6 分 ） 又 AD∥ OC，所以 ∠ DAE=∠ COB，于是 Rt△ AED∽ Rt△ OBC. 故ABAEABAEOBAEBCED 221 ??? ② ……（ 12 分 ） 由 ①，② 得 ED=2EP. 所以 DP=PE. …… （ 15 分） 12． 某人租用一輛汽車由 A 城前往 B 城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示 . 若汽車行駛的平均速度為 80千米 /小時(shí)，而汽車每行駛 1 千米需要的平均費(fèi)用為 元 . 試指出此人從 A 城出發(fā)到 B 城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？ 解： 從 A 城 出發(fā)到達(dá) B 城的路線分成如下兩類： （ 1）從 A 城出發(fā)到達(dá) B 城，經(jīng)過 O 城 . 因?yàn)閺?A 城到 O 城所需最短時(shí)間為 26小時(shí)，從 O 城到 B 城所需最短時(shí)間為 22 小時(shí) . 所以，此類 路線所需 最短時(shí)間為26+22=48（小時(shí)） . ……（ 5 分） （ 2）從 A 城出發(fā)到達(dá) B 城，不經(jīng)過 O 城 . 這時(shí)從 A 城到達(dá) B 城，必定經(jīng)過 C，D， E 城或 F， G， H 城，所需時(shí)間至少為 49 小時(shí) . ……（ 10 分） 綜上，從 A 城到達(dá) B 城所需的最短時(shí)間為 48 小時(shí)，所走的路線為： A→ F→ O→ E→ B. ……（ 12分） 所需的費(fèi)用最少為： 80 48 =4608（元）…（ 14 分） 答：此人從 A 城到 B 城最短路線是A→ F→ O→ E→ B，所需的費(fèi)用最少為 P D O C A B E (第 11 題圖 ) 9 18 12 17 6 14 15 7 11 10 13 5 O B C D E A F G H 第 40 頁 40 4608 元 ……（ 15 分） 13B． 如圖所示，在△ ABC 中，∠ ACB=90176。 ， ∠ FNM+∠ F+∠ A+∠ C=360176。 (C) 540176。 1某商品的標(biāo)價(jià)比成本高 p%，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣（即降價(jià)的百分?jǐn)?shù)）不得超過 d%，則 d 可以用 p 表示為 。那么他在第 10次射擊中至少要得多少環(huán)？（每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到 環(huán)） 1如圖，已知點(diǎn) P 是⊙ O 外一點(diǎn)， PS、 PT 是⊙ O 的兩條切線，過點(diǎn) P 作⊙ O 的割線 PAB，交⊙ O 于 A,B 兩點(diǎn)，并交 ST 于點(diǎn) C。 今設(shè)電梯停在第 層，在第一層有 人直接走樓梯上樓，那么不滿意總分為： 當(dāng) x＝ 27， y＝ 6時(shí)， s＝ 316。 對(duì)于每個(gè)乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。 解：由題設(shè)得 AB2＝ 2AE2＝ AE 解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以 ， ∴ 。直線 通過點(diǎn) D（ 15， 5），故 BD＝ 1。 如圖，工地上豎立著兩根電線桿 AB、 CD，它們相距 15米，分別自兩桿上高出地面 4米、 6米的 A、 C處，向兩側(cè)地面上的 E、 D； B、 F點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿。作 AE、 BF垂直于 DC，垂足分別為 E、 F，由 BC＝ 6 ，∠BCD ＝ 45176。 二、填空題 已知： ，那么 ＝ ________。 設(shè) a， b， c分別是 △ABC 的三邊的長(zhǎng)，且 cba baba ???? ，則它的內(nèi)角 ∠A 、 ∠B的關(guān)系是（ ）。 甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙 10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲 25歲，那么（ ）。 ，那么點(diǎn) B的坐標(biāo)是 ． 11．設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正三角形，記作 A1（如圖 3），將 A1的每條邊三等分，在 中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作 A2（如圖 4）；將 A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作 A3（如圖 5）；再將 A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作 A4，那么 A4的周長(zhǎng)是 ． 12．江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出， 假定每分鐘涌出的水量相等．如果用兩 臺(tái)抽水機(jī)抽水， 40分鐘可抽完；如果用 4臺(tái)抽水機(jī)抽水， 16分鐘可抽完．如果要在 10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺(tái)． 第 13 頁 13 三、解答題（本題共 3 小題，每小題 20分，滿分 60 分） 13．設(shè)實(shí)數(shù) s， t分別滿足 19s2 + 99s + 1 = 0， t2 + 99t + 19 = 0，并且 st≠1 ，求的值． 14．如圖 6，已知四邊形 ABCD 內(nèi)接于直徑為 3 的圓 O，對(duì)角線 AC 是直徑，對(duì)角線 AC 和BD的交點(diǎn)是 P， AB=BD，且 PC=，求四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)． 15．有人編了一個(gè)程序：從 1 開始，交錯(cuò)地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加 2或加 3；每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘 2或乘 3．例如， 30 可以這樣得到： ． （ 1）（ 10 分）證明：可以得到 22； （ 2）（ 10 分）證明：可以得到 2100 + 297－ 2． 1999年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案 一、 1． C 2． B 3． D 4． B 5． A 6． D 二、 7． 10 8． y = 5x + 50 9． 10． 11． 12． 6 三、 13．解： ∵s≠0 ， ∴ 第一個(gè)等式可 以變形為： ． 又 ∵st≠1 ， 第 14 頁 14 ∴ ， t 是一元二次方程 x2 + 99x + 19 = 0 的兩個(gè)不同的實(shí)根， 于是，有 ． 即 st + 1 =－ 99s， t = 19s． ∴ ． 14．解：設(shè)圓心為 O，連 接 BO并延長(zhǎng)交 AD于 H． ∵AB=BD ， O是圓心， ∴BH⊥AD ． 又 ∵∠ADC=90176。 （ 2）設(shè)從 A 市調(diào) x 臺(tái)到 D 市， B 市調(diào) y 臺(tái)到 D 市，當(dāng) 28 臺(tái)機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后，用 x、 y 表示總運(yùn)費(fèi) W（元），并求 W 的最大值和最小值。 已知圓環(huán)內(nèi)直徑為 acm，外直徑為 bcm，將 50 個(gè)這樣的圓環(huán)一個(gè)接一個(gè)環(huán)套地連成一條鎖鏈，那么這條鎖鏈拉直后的長(zhǎng)度為 ___________cm。 第 2 頁 2 三、解答題：（每小題 20 分，共 60 分） 1如圖，在等腰三角形 ABC 中， AB=1，∠ A=900，點(diǎn)E 為腰 AC 中點(diǎn)，點(diǎn) F 在底邊 BC 上，且 FE⊥ BE，求△CEF 的面積。 所以 ∠ ABE=∠ CED． 于是 Rt△ ABE∽ Rt△ CED，所以 又∠ ECF=∠ DCF=45176。 答：（ B）。由題意知 3 （甲－乙）＝ 25－ 10， ∴ 甲－乙＝ 5。由 cba baba ?